1、中档题专练(二) 1.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,cos B=45.(1)若c=2a,求sinBsinC的值;(2)若C-B=4,求sin A的值.2.(2019南京、盐城二模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,A1CBC1,AB1BC1,D,E分别是AB1,BC的中点.求证:(1)DE平面ACC1A1;(2)AE平面BCC1B1.3.(2018苏北四市高三第一次调研测试)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的
2、高所在直线AO旋转180而成,如图2.已知圆O的半径为10 cm,设BAO=,00,解得sin C=255,所以sinBsinC=3510.(2)因为cos B=45,所以cos 2B=2cos2B-1=725.又0B,所以sin B=1-cos2B=35,所以sin 2B=2sin Bcos B=23545=2425.因为C-B=4,即C=B+4,所以A=-(B+C)=34-2B,所以sin A=sin34-2B=sin34cos 2B-cos34sin 2B=22725-222425=31250.2.证明(1)连接A1B,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1B1B是平行四边形,因为
3、D是AB1的中点,所以D也是BA1的中点.在BA1C中,D和E分别是BA1和BC的中点,所以DEA1C.又因为DE平面ACC1A1,A1C平面ACC1A1,所以DE平面ACC1A1.(2)由(1)知DEA1C,因为A1CBC1,所以BC1DE.又因为BC1AB1,AB1DE=D,AB1,DE平面ADE,所以BC1平面ADE.又因为AE平面ADE,所以AEBC1.在ABC中,AB=AC,E是BC的中点,所以AEBC.因为BC1BC=B,BC1,BC平面BCC1B1,所以AE平面BCC1B1.3.解析(1)设AO交BC于点D,过O作OEAB,垂足为E,在AOE中,AE=10cos ,AB=2AE=
4、20cos ,在ABD中,BD=ABsin =20cos sin ,所以S=12220sin cos 20cos =400sin cos202.(2)要使侧面积最大,由(1)得:S=400sin cos2=400(sin -sin3),设f(x)=x-x3(0x0,当x33,1时, f (x)0,所以f(x)在区间0,33上单调递增,在区间33,1上单调递减,所以f(x)在x=33时取得极大值,也是最大值.所以当sin =33时,侧面积S取得最大值,此时等腰三角形的腰长AB=20cos =201-sin2=201-332=2063.答:侧面积S取得最大值时,等腰三角形的腰AB的长度为2063
5、cm.4.解析(1)因为A(-3,4),所以OA=(-3)2+42=5,又因为AC=4,所以OC=1,所以C-35,45,由AC=BD=4,得D(5,0),所以直线CD的斜率为0-455-35=-17,所以直线CD的方程为y=-17(x-5),即x+7y-5=0.(2)证明:设C(-3m,4m)(00),则有F=0,9m2+16m2-3mD+4mE+F=0,(5m+4)2+(5m+4)D+F=0,解得D=-(5m+4),F=0,E=-10m-3,所以OCD的外接圆的方程为x2+y2-(5m+4)x-(10m+3)y=0,整理得x2+y2-4x-3y-5m(x+2y)=0,令x2+y2-4x-3y=0,x+2y=0,所以x=0,y=0(舍去)或x=2,y=-1.所以OCD的外接圆恒过异于原点O的定点(2,-1).
