1、课时作业50双曲线一、选择题1(2014新课标全国卷)已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2B.C. D1解析：因为双曲线的方程为1，所以e214，因此a21，a1.选D.答案：D2(2014天津卷)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：由题意可得2，c5，所以c2a2b25a225，解得a25，b220，则所求双曲线的方程为1.答案：A3(2014广东卷)若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的()A实半轴长相等 B虚半轴长相等C离心率相等 D焦距相等解析：由0k5易知两曲线均为
2、双曲线且焦点都在x轴上，由于165k16k5，所以两曲线的焦距相等选D.答案：D4(2014重庆卷)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲线的离心率为()A. B.C4 D.解析：根据已知条件，知|PF1|PF2|2a，所以4a2b23ab，所以b4a，双曲线的离心率e，选择D.答案：D5(2014湖北卷)设a，b是关于t的方程t2costsin0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线1的公共点的个数为()A0 B1C2 D3解析：关于t的方程t2costsin0的两个不等实根为0，
3、tan(tan0)，则过A，B两点的直线方程为yxtan，双曲线1的渐近线为yxtan，所以直线yxtan与双曲线没有公共点，故选A.答案：A6(2014江西卷)过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：设双曲线的右焦点为F，则F(c,0)(其中c)，且c|OF|r4，不妨将直线xa代入双曲线的一条渐近线方程yx，得yb，则A(a，b)由|FA|r4，得4，即a28a16b216，所以c28a0，所以8ac242，解得a2，所以b2c2a216412，
4、所以所求双曲线的方程为1.答案：A二、填空题7(2014北京卷)设双曲线C的两个焦点为(，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为_解析：根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，所以a1，c，于是b2c2a21，所以方程为x2y21.答案：x2y218(2014山东卷)已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x22py(p0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|c，则双曲线的渐近线方程为_解析：抛物线x22py的准线方程为y，与双曲线的方程联立得x2a2，根据已知得a2c2.由|AF|c，得a2c2.由可得a2b2，即ab，
5、所以所求双曲线的渐近线方程是yx.答案：yx9(2014浙江卷)设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_解析：联立渐近线与直线方程可解得A，B，则kAB，设AB的中点为E，由|PA|PB|，可得AB的中点E与点P两点连线的斜率为3，化简得4b2a2，所以e.答案：三、解答题10已知双曲线C：y21，P为C上的任意点(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值解析：(1)证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，则x4y4.该双曲线
6、的两条渐近线方程分别是x2y0和x2y0.点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和，它们的乘积是.点P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数(2)设点P的坐标为(x，y)，则|PA|2(x3)2y2(x3)212，|x|2，当x时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为.11(2014广东广州一模改编)已知双曲线E：1(a0)的中心为原点O，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P是直线x上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足0.(1)求实数a的值；(2)证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值解析：(1)根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为e，由于a0，解得a，故双曲线E的方程为
7、1.(2)证明：设点P的坐标为，点Q的坐标为(x0，y0)，易知点F2(3,0)，则(3,0)，(3,0)(x0，y0)(3x0，y0)，(3x0)(y)(y0)0y，因此点P的坐标为.故直线PQ的斜率kPQ.又直线OQ的斜率为kOQ，直线PQ与直线OQ的斜率之积为kPQkOQ.由于点Q(x0，y0)在双曲线E上，1.y，于是有kPQkOQ(定值)12已知点M(2,0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|PN|2，记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)若A和B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值解析：(1)由|PM|PN|2知动点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a.又半焦距c2，故虚半轴长b.所以W的方程为1(x)(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)当ABx轴时，x1x2，y1y2，从而x1x2y1y2xy2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm，与W的方程联立，消去y得(1k2)x22kmxm220，故x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2m22.又因为x1x20，所以k210.从而2.综上所述，当ABx轴时，取得最小值2.
