1、第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示课后篇巩固提升基础达标练1.已知在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且AB=2a,则点B的坐标为()A.(-7,10,24)B.(7,-10,-24)C.(-6,8,24)D.(-5,6,24)解析a=(-3,4,12),且AB=2a,AB=(-6,8,24),A(1,-2,0),B=(-6+1,8-2,24+0)=(-5,6,24),故选D.答案D2.(多选题)下列各组两个向量中,平行的有()A.a=(1,-2,3),b=(1,2,1)B.a=(0,-3,3),b=(0,1,-1)C.a=(0,
2、-3,2),b=0,1,-32D.a=1,-12,3,b=(-2,1,-6)解析对于B,有a=-3b,故ab;对于D,有b=-2a,故ab;而对A,C中两向量,不存在实数,使a=b,故不平行.答案BD3.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量AB与AC的夹角为()A.30B.45C.60D.90解析由已知得AB=(0,3,3),AC=(-1,1,0),因此cos=ABAC|AB|AC|=3322=12,所以向量AB与AC的夹角为60.答案C4.若向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),则|a+b|=()A.7B.22C.3D.10解析a=(1,-1,2)
3、,b=(2,1,-3),a+b=(3,0,-1),|a+b|=32+02+(-1)2=10.故选D.答案D5.已知空间三点A(-2,2,1),B(-1,1,-2),C(-4,0,2),若向量3AB-AC与AB+kAC垂直,则k的值为()A.1B.2C.3D.4解析A(-2,2,1),B(-1,1,-2),C(-4,0,2),AB=(1,-1,-3),AC=(-2,-2,1),向量3AB-AC与AB+kAC垂直,则(3AB-AC)(AB+kAC)=3AB2+(3k-1)ABAC-kAC2=0,即311-33k-1-9k=0,36-18k=0,解得k=2,故选B.答案B6.已知向量a=(1,1,x
4、),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)2b=-2,则实数x=.解析由已知得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8.答案-87.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),ab,bc,求:(1)a,b,c;(2)(a+c)与(b+c)所成角的余弦值.解(1)因为ab,所以x-2=4y=1-1,解得x=2,y=-4,这时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又因为bc,所以bc=0,即-6+8-z=0,解得z=2,所以c=(3,-2,2).(2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1
5、,-6,1),所以(a+c)与(b+c)所成角的余弦值cos=5-12+33838=-219.8.如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,点O是AC与BD的交点,PO=1,点M是PC的中点.设AB=a,AD=b,AP=c.(1)用向量a,b,c表示BM.(2)在如图的空间直角坐标系中,求BM的坐标.解(1)BM=BC+CM,BC=AD,CM=12CP,CP=AP-AC,AC=AB+AD,BM=AD+12(AP-AC)=AD+12AP-12(AB+AD)=-12AB+12AD+12AP=-12a+12b+12c.(2)a=AB=(1,0,0),b=AD=(0,1,0)
6、.A(0,0,0),O12,12,0,P12,12,1,c=AP=OP-OA=12,12,1,BM=-12a+12b+12c=-12(1,0,0)+12(0,1,0)+1212,12,1=-14,34,12.能力提升练1.已知空间向量OA=(x,y,8),OB=(z,3,4),OAOB,且|AB|=52,则实数z的值为()A.5B.-5C.5或-5D.-10或10解析因为OAOB,所以存在R,使得OA=OB,又|AB|=52,而AB=OB-OA=(z-x,3-y,-4),则x=z,y=3,8=4,(z-x)2+(3-y)2+(-4)2=50,解得x=10,y=6,z=5,=2,或x=-10,y
7、=6,z=-5,=2.故选C.答案C2.(多选题)下列各组向量中共面的有()A.a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5)B.a=(1,2,-1),b=(0,2,-4),c=(0,-1,2)C.a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1)D.a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)解析A.设a=xb+yc,则1=3x+4y,2=0x+2y,3=2x+5y,解得x=-1,y=1,故存在实数x=-1,y=1使得a=-b+c,因此a,b,c共面.B中b=-2c,C中c=a-b.故BC中三个向量也共面.答案ABC3.已知M(1,2,3),N(2,3,4
8、),P(-1,2,-3),若|PQ|=3|MN|,且PQMN,则MN的坐标为,点Q的坐标为.解析由已知得MN=(1,1,1),设Q(x,y,z),则PQ=(x+1,y-2,z+3),由题意,得(x+1)2+(y-2)2+(z+3)2=312+12+12,x+1=y-2=z+3,解得x=-4,y=-1,z=-6,或x=2,y=5,z=0.故点Q坐标为(-4,-1,-6)或(2,5,0).答案(1,1,1)(-4,-1,-6)或(2,5,0)4.如图,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,N是AA1的中点.(1)求BN的模;(2)求cos的值.解如图,以
9、C为原点,分别以CA,CB,CC1为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1).|BN|=(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=3.(2)依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2),BA1CB1=3,|BA1|=6,|CB1|=5.cos=BA1CB1|BA1|CB1|=3010.5.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以AB和AC为邻边的平行四边形的面积;(2)若|a|=3,且a分别与AB,AC垂直,求向量a的坐标.
10、解(1)由题中条件可知,AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),所以cos=ABAC|AB|AC|=-2+3+61414=12.于是sin=32.故以AB和AC为邻边的平行四边形的面积为S=|AB|AC|sin=1432=73.(2)设a=(x,y,z),由题意得x2+y2+z2=3,-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0,解得x=1,y=1,z=1,或x=-1,y=-1,z=-1.故a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,问当点N位于线段AB何处时,MNMC1?解以A为坐标原点,棱AB,AD,AA1所在直线分别为x
11、轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图.设正方体的棱长为a,则M0,0,a2,C1(a,a,a).设N(x,0,0),则MC1=a,a,a2,MN=x,0,-a2.由MNMC1=xa-a24=0,得x=a4.所以点N的坐标为a4,0,0,即N为线段AB的四等分点且靠近点A时,MNMC1.素养培优练已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若DBAC,DCAB,求点D的坐标;(2)问是否存在实数,使得AC=AB+BC成立?若存在,求出,的值;若不存在,说明理由.解(1)设D(x,y,z),则DB=(-x,1-y,-z),AC=(-1,0,2),DC=(-x,-y,2-z),AB=(-1,1,0).因为DBAC,DCAB,所以存在实数m,n,有(-x,1-y,-z)=m(-1,0,2),(-x,-y,2-z)=n(-1,1,0),解得x=-1,y=1,z=2.即D(-1,1,2).(2)依题意AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,2),BC=(0,-1,2).假设存在实数,使得AC=AB+BC成立,则有(-1,0,2)=(-1,1,0)+(0,-1,2)=(-,-,2),所以=1,-=0,2=2,故存在=1,使得AC=AB+BC成立.
