1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲预览1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 命题探究1.数列是高中数学的重要内容之一，主要考查两个方面：一方面是数列的
2、基本概念，另一方面是数列的运算对这部分内容的考查除了基础知识的考查外，重点考查运用数列的知识和方法解决问题的能力，在高考中可能会出现新的命题背景，如与日常生活联系密切的教育贷款，购房贷款，增长率等问题2.本章以考查数列内容为背景，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，同时还要注意与解析几何、导数结合的创新题型.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第一节 数列的概念Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求1.理
3、解数列的概念2.了解数列通项公式的意义3.了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项考试热点1.以an与Sn的关系为条件考查数列通项的求法2.以递推数列、新情境下的数列为载体，考查数列的通项及性质.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1数列的定义 按一定次序排成的一列数叫做数列，即a1，a2，a3，an，简记为an其中，称为数列an的首项，称为数列an的通项数列an可以看作是项数n的函数，anf(n)，其定义域为正整数集N*或它的子集Copyright 2004-2009 版权所有 盗版
4、必究 2数列的分类(1)按项分类：(2)按an的增减性分类：Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(3)按 an 是否有界分类：有界数列：存在正数M使|an|M，nN*；无界数列：对于任何正数M，总有项an使得|an|M.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3数列的表示法(1)解析法(公式法)：通项公式或递推公式；(2)列表法：a1，a2，a3，an，；(3)图象法：数列可用的点表示；一群孤立Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4通项公式 如果数列an的之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，可以
5、记为(nN*)第n项an与项数nanf(n)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 5数列的前 n 项和数列an的前 n 项之和叫做数列的前 n 项和，常用 Sn表示Sna1a2an，Sn 与通项 an 的基本关系是：6递推公式 递推公式往往明确了后项与前项(一项、二项)的关系，要能由递推关系式准确写出数列的前若干项Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1数列 1，1，1,1,1，1，1,1的一个通项公式可能是()Aan 2cos(n2 4)Ban 2cos(n2 4)Can12sinn2 2 Dan1(1)n12解析：令n1,2,3,4，逐项代入验证
6、可知选A.答案：ACopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2若数列an的前 n 项的和 Sn32an3，那么这个数列的通项公式为()Aan23n1Ban32nCan3n3 Dan23n答案：DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3数列an中 a11，对所有的 n2 都有 a1a2a3ann2，则 a3 等于()A.94B.32C.259D.2516答案：ACopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4已知数列an的前 n 项的和 Sn3(3n1)2，则数列an的通项 an_.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
7、5已知数列an中，a15，an12an5，求通项公式Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 例 1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式(1)1,7，13,19，；(2)23，415，635，863，1099，；(3)12，2，92，8，252，；(4)5,55,555,5555，.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)各项的符号可通过(1)n 或(1)n1 表示，各项的绝对值的排列规律为：后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大 6，故数列的一个通项公式为an(1)n(6n5
8、)(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成 13,35,57,79,911，每一项都是两个相邻奇数的乘积经过组合，知所求数列的一个通项公式为an2n(2n1)(2n1).Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即12，42，92，162，252，从而可得数列的一个通项公式为 ann22.(4)联想 999n个10n1，则 an 555n个59(999n个)59(10n1)，即数列的一个通项公式为 an59(10n1)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升
9、借助(1)n 或(1)n1 来解决项的符号问题项为分数的数列，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系对较复杂的数列通项公式的探求，可借助熟知的数列，如n2，1n，2n，(1)n等，以及等差数列、等比数列来解决Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 写出下列数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33，(2)1，85，157，249，(3)1,0，13，0，15，0，17，0，(4)1,0，1,0，Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：(1)观察各项的特点：每一项都比 2 的方幂多 1，所以 an2n1.(2)数列的符号
10、规律为(1)n，由第二、三、四项特点，可将第一项看作33，这样，先不考虑符号，则分母为 3,5,7,9，可归纳为 2n1，分子为 3,8,15,24，将其每一项加 1 后变为 4,9,16,25，可归纳为(n1)2，综上，数列的通项公式为an(1)n(n1)212n1(1)nn22n2n1.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(3)把数列改写成11，02，13，04，15，06，17，08，分母依次为 1,2,3，而分子 1,0,1,0，周期性出现，因此数列的通项可表示为 an1(1)n12n.(4)an1 (n为奇数)0 (n为偶数).亦可将原数列看作两个数列1,1，1
11、,1，和1，1，1，对应项相加之和的12构成，由这两个数列的通项公式得 an12(1)n1Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 例2 已知数列an的前n项和为Sn，根据下列条件，求数列的通项公式an.(1)Snn22n1；(2)Sn12an.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)当 n1 时，a1S10，当 n2 时，anSnSn1n22n1(n1)22(n1)12n3(n2)，因为 a1 不符合上式，所以数列的通项公式为an0 (n1)，2n3 (n2).(2)由题意，知 Sn112an1，Sn12an.两式作差，得 Sn1Sn2an12a
12、n，即 an12an12an，所以 an12an，又因为 a1S112a1，所以 a11，而an1an 2，故由等比数列的通项公式可知 an2n1.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 解本题的依据是 anS1 (n1)，SnSn1(n2).第(1)小题应注意对 n1 和 n2 两种情况的讨论，第(2)小题是依据上述关系式得出数列的递推公式，然后再求数列的通项公式Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 设正数数列an的前n 项和Sn满足Sn14(an1)2求数列an的通项公式Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 例 3
13、设an是首项为 1 的正项数列，且(n1)a2n1na2nan1an0(n1,2,3，)，求它的通项公式Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解法 1：累乘法a2a1a3a2a4a3a5a4 anan112233445n1n，an1n.解法 2：迭代法an 1nn1 an，ann1nan 1n1n n2n1 an 2 n1n n2n1n3n2an3n1n n2n1n3n212a1，an1n.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解法 3：特殊数列法an1an nn1，(n1)an1nan1，数列(n1)an1是一个以 a1 为首项，1 为公比的等比数
14、列，nana1qn1111，an1n.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 已知数列an满足a11，an3n1an1(n2)，求通项公式an.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解法 2：由 an3n1an1 得an3n1an13n13n2an23n13n23n3an33n13n232a23n13n23231a13n13n2323113n12.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 例4(2009湖南高考)对于数列un，若存在常数M0，对任意的nN*，恒有|un1un|unun1|u2u1|M，则称数列un为B数列(1)首项为1
15、，公比为q(|q|1)的等比数列是否为B数列？请说明理由；Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2)设Sn是数列xn的前n项和给出下列两组论断：A组：数列xn是B数列，数列xn不是B数列；B组：数列Sn是B数列，数列Sn不是B数列 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；(3)若数列an，bn都是B数列，证明：数列anbn也是B数列Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 分析 本题的第(1)问是探究首项为1，公比为q(|q|1)的等比数列是否为B数列，解题的方向是将B数列定义中绝对值的和
16、转化成等比数列的和，并使其和不大于一个正的常数第(2)问可先取特殊数列进行判断，然后给出命题，证明命题结论第(3)问需要利用绝对值不等式的性质，从B数列的定义出发，进行合理放缩Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)设满足题设的等比数列为an，则 anqn1.于是|anan1|qn1qn2|q|n2|q1|，n2.因此|an1an|anan1|a2a1|q1|(1|q|q|2|q|n1)因为|q|1，所以 1|q|q|2|q|n 11|q|n1|q|11|q|.即|an1an|anan1|a2a1|q1|1|q|.故首项为1，公比为q(|q|1)的等比数列是B数列C
17、opyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2)命题1：若数列xn是B数列，则数列Sn是B数列 此命题为假命题 事实上，设xn1，nN*，易知数列xn是B数列但Snn，|Sn1Sn|SnSn1|S2S1|n.由n的任意性知，数列Sn不是B数列Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (3)若数列an，bn是B数列，则存在正数M1，M2，对任意的nN*，有|an1an|anan1|a2a1|M1；|bn1bn|bnbn1|b2b1|M2.注意到|an|anan1an1an2a2a1a1|anan1|an1an2|a2a1|a1|M1|a1|.同理，|bn|M2|
18、b1|.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 记K1M1|a1|，K2M2|b1|，则有|an1bn1anbn|an1bn1anbn1anbn1anbn|bn1|an1an|an|bn1bn|K2|an1an|K1|bn1bn|.因此|an1bn1anbn|anbnan1bn1|a2b2a1b1|K2(|an1an|anan1|a2a1|)K1(|bn1bn|bnbn1|b2b1|)K2M1K1M2.故数列anbn是B数列Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 本题设计成给出一个关系式来定义一个新的数列，即B数列，这种命题方式源于课本，教材中
19、等差数列、等比数列都是这样给出的定义这种命题方式也是近年来高考命题的热点，如北京2006年的高考卷理科20题就定义了一个“绝对差数列”这种考查考生探究性学习能力的命题方式，较好地体现了新课标的理念Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2009北京高考)已知数列an满足：a4n31，a4n10，a2nan，nN*，则a2009_；a2014_.解析：由题设条件，得a2009a503431，a2014a10072a1007a252410.答案：1 0Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1数列
20、的通项公式并非唯一，也并非每一个数列都可以写出通项公式 2已知Sn求an.已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是anSnSn1(n2)这里常常因为忽略了条件n2而出错，即由anSnSn1求得an时的n是从2开始的自然数，否则会出现当n1时，Sn1S0而与前n项和的定义矛盾可见由此求得的an不一定就是它的通项公式，必须验证n1时是否也成立，因此通项公式只能用分段函数Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3能利用叠加、累乘、周期性等知识求通项公式，即：(1)anan1f(n)满足一定规律时，可有an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)anan1 g(n)满 足 一 定 条 件 时，可 以 有 an anan1an1an2a2a1a1.(3)an为周期数列，则周期为 T(T 为正整数)时，ananT，可将 an 转化为 a1，a2，aT 处理上述方法可归纳为观察法、递推法、前 n 项和法、转化法(转化为等差、等比数列)、逐差求和、逐商求积、周期性、待定系数等Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
