1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时定点、定值、探究性问题考点一定点问题【例1】(2019北京卷)已知抛物线C：x22py经过点(2，1)(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点【解】(1)由抛物线C：x22py经过点(2，1)，得p2.所以抛物线C的方程为x24y，其准线方程为y1.(2)证明：抛物线C的焦点为F(0，1)设直线l的方程为ykx1(k0)由得x24kx40.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x24.直线OM
2、的方程为yx.令y1，得点A的横坐标xA.同理得点B的横坐标xB.设点D(0，n)，则(，1n)，(，1n)，(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令0，即4(n1)20，得n1或n3.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，3)方法技巧圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.已知椭圆1(ab0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q，P，与椭圆
3、分别交于点M，N，各点均不重合且满足1，2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若123，试证明：直线l过定点，并求此定点解：(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，a23.椭圆的标准方程为y21.(2)由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l方程为xt(ym)，由1知(x1，y1m)1(x0x1，y1)，y1my11，由题意y10，11.同理由2知21.123，y1y2m(y1y2)0，联立得(t23)y22mt2yt2m230，由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0，且有y1y2，y1y2，代入得t
4、2m232m2t20，(mt)21，由题意mt0，解得k0或0kb0)的长轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过P(1,0)作动直线AB交椭圆于A，B两点，Q(4,3)为平面上一定点，连接QA，QB，设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，问k1k2是否为定值？如果是，求出该定值；否则，说明理由解：(1)依题意2a4，a2，又e，c，b，椭圆的标准方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB：yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将yk(x1)代入x22y24，得(2k21)x24k2x2k240，显然0，由已知条件得k1k，同理k2k，k1k22k(3k3)(
5、)2k(3k3)2k(3k3)2k(3k3)()2.当直线AB的斜率不存在时，经检验符合k1k22.综上，k1k2为定值2.考点三探究性问题【例3】如图，已知椭圆C：1(ab0)，其左、右焦点分别为F1(2，0)及F2(2,0)，过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|，|F1F2|，|AF2|构成等差数列(1)求椭圆C的方程；(2)记GF1D的面积为S1，OED(O为坐标原点)的面积为S2.试问：是否存在直线AB，使得S1S2？请说明理由【解】(1)|AF1|，|F1F2|，|AF2|构成等差数列，2a|AF1|AF2|
6、2|F1F2|8，a4.又c2，b212，椭圆C的方程为1.(2)假设存在直线AB，使得S1S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直设AB的方程为yk(x2)(k0)，将其代入1，整理得(4k23)x216k2x16k2480，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，点G的横坐标为，G(，)DGAB，k1，解得xD，即D(，0)，RtGDF1和RtODE相似，若S1S2，则|GD|OD|，|，整理得8k290.方程8k290无解，不存在直线AB，使得S1S2.方法技巧探索性问题的解题策略探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在(1)当条件和结论
7、不唯一时，要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知其左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212.故椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点，所以(3t)243(t212)1443t20，解得4t4.另一方面，由直线OA与l的距离等于4，可得4，从而t2.由于24，4，所以符合题意的直线l不存在- 8 - 版权所有高考资源网
