1、第七章 立体几何第五节 直线、平面垂直的判定及其性质直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属中档题，且主要有以下几个命题角度：(1)以多面体为载体，证明线面垂直；(2)与线面垂直有关的探索性问题角度一 线面垂直的判定1(2014福建卷)如图，在三棱锥 ABCD 中，AB平面 BCD，CDBD.(1)求证：CD平面 ABD.(2)若 ABBDCD1，M 为 AD 中点，求三棱锥 AMBC的体积(1)证明：因为 AB平面 BCD，CD平面 BCD，所以 ABCD，又因为 CDBD，ABBDB，AB平面 ABD，BD平面 ABD，所以 CD平面 ABD.(2)解：
2、由 AB平面 BCD，得 ABBD.又 ABBD1，所以 SABD121212.因为 M 是 AD 的中点，所以 SABM12SABD14.根据(1)知，CD平面 ABD 则三棱锥 CABM 的高 hCD1，故三棱锥 AMBCVCABM13SABMh 112.角度二 线面垂直中探索开放问题2(2016秦皇岛调研)如图 1 所示，在 RtABC 中，C90，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将ADE沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1FCD，如图 2 所示(1)求证：A1FBE；(2)线段 A1B 上是否存在点 Q，使 A1C平面 DEQ？说明理由(1)证
3、明：由已知，得 ACBC，且 DEBC.所以 DEAC，则 DEDC，DEDA1，因此 DE平面 A1DC 由于 A1F平面 A1DC，所以 DEA1F 又因为 A1FCD，CDDED，所以 A1F平面 BCDE，又 BE平面 BCDE，所以 A1FBE.(2)解：线段 A1B 上存在点 Q，使 A1C平面 DEQ.理由如下：如图，分别取 A1C，A1B 的中点 P，Q，连结 PQ，则 PQBC.又因为 DEBC，则 DEPQ.所以平面 DEQ 即为平面 DEQP.由(2)知，DE平面 A1DC，所以 DEA1C.又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点，所以 A1CDP.又
4、DPDED，所以 A1C平面 DEQP.从而 A1C平面 DEQ.故线段 A1B 上存在点 Q，使得 A1C平面 DEQ.1证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质(a，a)；(4)面面垂直的性质 2证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 (2014课标全国卷)如图所示，三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形，B1C 的中点为 O，且 AO平面 BB1C1C.(1)证明：B1CAB；(2)若 ACAB1，CBB160，B
5、C1，求三棱柱 ABCA1B1C1 的高(1)证明：连接 BC1，则 O 为 B1C 与 BC1 的交点因为侧面 BB1C1C为菱形，所以 B1CBC1.又 AO平面 BB1C1C，所以 B1CAO，由于 AOBOO 故 B1C平面 ABO.由于 AB平面 ABO，故 B1CAB.(2)解：作 ODBC，垂足为 D，连接 AD.作 OHAD，垂足为 H.由于 BCAO，BCOD，故 BC平面 AOD，所以 OHBC.又 OHAD，所以 OH平面 ABC.因为CBB160，所以CBB1 为等边三角形 又 BC1，可得 OD 34.由于 ACAB1，所以 OA12B1C12.由 OHADODOA，
6、且 AD OD2OA2 74，得 OH 2114.又 O 为 B1C 的中点 所以点 B1 到平面 ABC 的距离为 217，故三棱柱 ABCA1B1C1的高为 217.(2015山东卷)如图，三棱台 DEFABC 中，AB2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点(1)求证：BD平面 FGH；(2)若 CFBC，ABBC，求证：平面 BCD平面 EGH.(1)证明：连接 DG，CD，设 CDGFM，连接 MH.在三棱台 DEFABC 中，AB2DE，G 为 AC 中点，所以 DFGC，且 DFGC.则四边形 DFCG 为平行四边形，从而 M 为 CD 的中点，又 H 为 BC 的中点 所以
7、HMBD，由于 HM平面 FGH，BD平面 FGH，故 BD平面 FGH.(2)解：连接 HE，GH.因为 G，H 分别为 AC，BC 的中点，所以 GHAB.由 ABBC，得 GHBC.又 H 为 BC 的中点，所以 EFHC，EFHC，因此四边形 EFCH 是平行四边形，所以 CFHE.又 CFBC，所以 HEBC.又 HE，GH平面 EGH，HEGHH.所以 BC平面 EGH.又 BC平面 BCD，所以平面 BCD平面 EGH.1面面垂直的证明的两种思路(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，
8、把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题 2垂直问题的转化关系 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面 PAD底面 ABCD，PAAD，E 和 F 分别是 CD 和PC 的中点求证：(1)PA底面 ABCD；(2)BE平面 PAD；(3)平面 BEF平面 PCD.证明：(1)因为平面 PAD底面 ABCD，且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD，所以 PA平面 ABCD.(2)因为 ABCD，CD2AB，E 为 CD 的中点，所以 ABDE，且 ABDE.所以四边形 ABED 为平行四边形 所以 BEAD.又因为 BE平面 PAD，AD平面 PAD，所
9、以 BE平面 PAD.(3)因为 ABAD，而且四边形 ABED 为平行四边形，所以 BECD，ADCD.由(1)知 PA底面 ABCD，所以 PACD.所以 CD平面 PAD.所以 CDPD.因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，所以 PDEF.所以 CDEF.又因为 CDBE，EFBEE，所以 CD平面 BEF.所以平面 BEF平面 PCD.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E 是 PC 的中点(1)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小；(2)证明：AE平面 PCD；(1)解：在四棱锥 PABCD 中，因 PA
10、底面 ABCD，AB平面 ABCD，故 PAAB.又 ABAD，PAADA，从而 AB平面 PAD，故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA，从而APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角 在 RtPAB 中，ABPA，故APB45.所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45.(2)证明：在四棱锥 PABCD 中，因 PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，故 CDPA.由条件 CDAC，PAPCA，CD平面 PAC，又 AE平面 PAC，AECD.由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA.E 是 PC 的中点，AEPC.又 PCCDC，故 AE平面 PCD.1利用综合法求空间角
11、的步骤(1)找：根据图形找出相关的线面角或二面角(2)证：证明找出的角即为所求的角(3)算：根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角 2线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解 (2015浙江卷)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点，D 是 B1C1 的中点(1)证明：A1D平面 A1BC；(2)求直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值(1)证明：设 E 为 BC 的中点，连接 AE，A1E、DE 由题意得 A1E平面 ABC，所以 A1EAE.因
12、为 ABAC，所以 AEBC.故 AE平面 A1BC.由 D，E 分别为 B1C1，BC 的中点，得 DEB1B 且 DEB1B，从而 DEA1A 且 DEA1A，所以四边形 AA1DE 为平行四边形 于是 A1DAE.又因为 AE平面 A1BC，所以 A1D平面 A1BC.(2)解：作 A1FDE，垂足为 F，连接 BF.因为 A1E平面 ABC，所以 BCA1E.因为 BCAE，AEA1EE，所以 BC平面 AA1DE.所以 BCA1F.又因为 DEBCE，所以 A1F平面 BB1C1C.所以A1BF 为直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角 由 ABAC2，CAB90，得 EAEB 2.由 A1E平面 ABC，得 A1AA1B4，A1E 14.由 DEBB14，DA1EA 2，DA1E90，则 A1FDEDA1A1E，A1F 72，sinA1BFA1FA1B 78，故直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 78.
