1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 问题提出1.如何求作两个非零向量的和向量、差向量？2.相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如33333=53=15.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？这需要从理论上进行探究.abaabba+ba-b探究一：向量的数乘运算及其几何意义思考1：已知非零向量a，如何求作向量aaa和（a）（a）（a）？aaO aaA B C aaaO M N P aaaOC=uuur（a）（a）（a）OP=uuur思考2：向量aaa和（a）（a）（a）分别如何简化其表示形式？aaa记为3a，（a）（a）（a）记为3a.思考3：向量3a和3a与向量a的大小和方向有什么
2、关系？2-aaO aaA B C aaaO M N P 思考4：设a为非零向量，那么 a和 a还是向量吗？它们分别与向量a有什么关系？232-a23a2-a思考5：一般地，我们规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作 a，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？（1）|a|=|a|；（2）0时,a与a方向相同；0时,a与a方向相反；=0时,a=0.思考6：如图，设点M为ABC的重心，D为BC的中点，那么向量 与 ，与 分别有什么关系？BDuuurBCuuurADuuurDMuuuurABCDM12BDBC=uuuruuur3ADDM=-uuuruuuur探究二:向量的数乘运
3、算性质 思考1：你认为2（5a），2a2b，a可分别转化为什么运算？(32)+-2(5a)=-10a；2a 2b=2(a+b)；(3 )a=3a a.22思考2：一般地，设，为实数，则(a)，()a，(ab)分别等于什么？(a)=()a；()a=a a；(a b)=a b.思考3：对于向量a（a0）和b，若存在实数，使b=a，则向量a与b的方向有什么关系？思考4：若向量a（a0）与b共线，则一定存在实数，使b=a成立吗？思考5：综上可得向量共线定理：向量a（a0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b=a.若a0，上述定理成立吗？思考6：若存在实数，使 ，则A、B、C三点的位置关系如何？ABB
4、Cl=uuuruuur思考7：如图，若P为AB的中点，则 与 、的关系如何？OPuuurOAuuurOBuuurA B P O ABBCABCl=?uuuruuur、共线1()2OPOAOB=+uuuruuuruuur思考8：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数、x、y，(xayb）可转化为什么运算？(xayb）=xa yb.理论迁移 例1 计算（1）（3）4a；（2）3（ab）2（ab）a；（3）（2a3bc）（3a2bc）.2b3babO 例2 如图，已知任意两个非零向量a，b，试作 =ab，=a2b，=a3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？OAOBOCabA B C 2ACABABC=?uuuruuur、共线例3 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 =a，=b，试用a,b表示向量 、ABuuurADuuurMAuuurMBuuurMCuuurMDuuurM A B D C ab小结作业1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减.实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量.2.若 a=0，则可能有=0，也可能有a=0.3.向量的数乘运算律，不是规定，而是可以证明的结论.向量共线定理是平面几何中证明三点共线，直线平行，线段数量关系的理论依据.作业：P90练习：3，4，5，6.
