1、北京市陈经纶中学期中考试一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，由此确定正确选项.【详解】原命题为特称命题，其否定是全称命题，注意到要否定结论，故D选项错误，A选项正确.故选：A【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，属于基础题.2.设是不同的直线，是不同的平面,下列四个命题中，正确的是（ ）A. 若,则B. 若则C. 若则D. 若则【答案】B【解析】A错误平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异
2、面；B正确垂直于同一平面的两条直线平行；C错误两平面垂直，一个平面内的直线可能平行另一个平面，也可能相交；D错误只有m与n相交时，才有两个平面平行3.阅读下列各式，其中正确的是（ ）A. B. 或C. D. 【答案】D【解析】分析】根据向量数量积的运算律对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，当与和都垂直时，满足，但不一定有，所以A选项错误.对于B选项，当与垂直时，所以不能推出，所以B选项错误.对于C选项，的方向与有关，的方向与有关，所以与不一定相等，故C选项错误.对于D选项，所以，故D选项正确.故选：D【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算，属于基础题.4.在各项都是正数的等比
3、数列中，若，成等差数列，则的值为（ ）A. 9B. 6C. 3D. 1【答案】A【解析】【分析】根据等差中项的性质列方程，由此求得等比数列的公比，由此求得的值【详解】由于，成等差数列，所以，即，由于，所以，由于，所以，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.5.数列中，则数列前12项和等于（ ）A. 76B. 78C. 80D. 82【答案】B【解析】试题分析：因为，所以，所以，所以从第一项开始，依次取个相邻奇数项的和都等于，从第二项开始，依次取个相邻偶数项的和构成以为首项，以为公差的等差数列，以上式子相加可得，故选B.考点：数列的求和
4、.【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到等差数列的求和公式、数列的递推关系式等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中根据数列的递推关系式，利用数列的结构特征和等差数列的求和公式是解得问题的关键.6.已知数列的前项和为，则“为常数列”是“，”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【详解】当“为常数列”时，数列，前项和.当“，”时，当时，当时，由得，两式相减得，化简得，由于，
5、所以（），所以数列为常数列.综上所述，“为常数列”是“，”的充分必要条件故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查数列前项和与通项间的关系，属于基础题.7.已知四边形为矩形，平面，连接，则下列各组向量中，数量积不为零的是（ ）A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】A【解析】【分析】根据题意，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直据此依次分析选项，判定所给的向量是否垂直，即可得答案【详解】作出草图：根据题意，依次分析选项： 对于A，与不一定垂直，即向量 与，则向量 与的数量积不一定为0； 对于B，根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量 与 一定垂直，则
6、向量 与 的数量积一定为0； 对于C，根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量与一定垂直，则向量 与 的数量积一定为0；对于D，根据题意，有平面，则，即向量 与一定垂直，则向量与的数量积一定为0；故选：A【点睛】本题考查了空间向量的数量积的运算，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直，这是解题的关键8.椭圆的左，右顶点分别是，左，右焦点分别是，若成等比数列，则此椭圆的离心率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】：由成等比数列得即【考点定位】本题主要考查椭圆的定义和离心率的概念属基础题9.正方形边长为1，点在正方形外，且，则最大值是（ ）A. 2B. C. 3D.
7、 4【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设，代入求得关系式，再求得的最大值.【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，则，设，其中或；或.由得，即，也即，即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆的左半部分，由此可知.，由于，所以，所以的最大值是.故选：A【点睛】本小题主要考查向量数量积的最值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.10.已知两平行平面与间距离为4，直线，点，则平面内到点的距离为5，且到直线的距离为的点的轨迹是（ ）A. 一组平行线B. 两段线段C. 两端圆弧D. 四个点【答案】D【解析】【分析】首先判断出平面内到点的距离为5的点的轨迹是圆，在圆上假设点到直线的
8、距离为，结合图像，判断出这样的点有四个，由此确定正确选项.【详解】过作平面的垂线，交平面于，则.依题意两平行平面与间距离为4，直线，点，则平面内到点的距离为5的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.假设圆上点到直线的距离为.过作直线的平行线，且，过作交直线于，连接.由于，所以平面，所以平面，所以.依题意，而，所以，也即得到圆直径的距离为，由于圆的半径为，所以符合这个条件的点一共有个.故选：D【点睛】本小题主要考查空间点、线、面的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.11.命题“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是_
9、，该否命题的真假性是_.（填“真”或“假”）【答案】 (1). “若和不都是偶数，则不是偶数” (2). 假【解析】【分析】根据否命题的知识写出原命题的否命题，并判断出真假性.【详解】命题“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是“若和不都是偶数，则不是偶数”.因为当都是奇数时，是偶数，所以该否命题是假命题.故答案为：（1）“若和不都是偶数，则不是偶数”；（2）假【点睛】本小题主要考查原命题的否命题的知识，属于基础题.12.在正四面体OABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用表示)【答案】【解析】因为在四面体中，为的中点，为的中点， ，故答案为.13.已知数列的前项和为，且满足，则通项_.
10、【答案】【解析】【分析】利用，求得数列的通项公式.【详解】当时，所以；当时，由，得，两式相减得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以故答案为：【点睛】本小题主要考查已知求，属于基础题.14.如图，在长方体中，设，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量减法、模和数量积的坐标运算，求得所求的结果.【详解】以为原点建立空间直角坐标系如下图所示，则.所以，所以，.故答案为：（1）；（2）【点睛】本小题主要考查空间向量的减法、模和数量积的计算，属于基础题.15.数列的前项和为，则_，数列中最大项的值为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用
11、可求得，然后利用基本不等式可求出数列中最大项的值.【详解】当时，；当时，.适合，则对任意的，.，当且仅当时，等号成立，因此，数列中最大项的值为.故答案为：；.【点睛】本题考查利用求，同时也考查了利用基本不等式求数列最大项，考查计算能力，属于中等题.16.已知曲线的方程，给出下列个结论：曲线是以点和为焦点的椭圆的一部分；曲线关于轴、轴、坐标原点对称；若点在曲线上，则，；曲线围成的图形的面积是其中，所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】化简方程为，画出图像，结合图像逐个分析可判定正误【详解】根据题意，方程，即，表示四条线段，其图形如图所示，故错误；由图可知，曲线关于轴，轴，坐标原点对称，故
12、正确；若点在曲线上，则，故错误；曲线围成的面积，故正确综上所述，正确结论的序号是填【点睛】本题综合考查对曲线方程的分析能力，对学生迁移应用能力要求较强，需要数形结合思想，利用图形解题三、解答题：本大题共4个小题，共50分.17.已知等比数列的前项和，且成等差数列（）求的通项公式；（）设是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，求满足的最大正整数【答案】（）；（）最大正整数为【解析】【分析】（）根据题意得到等比数列的首相和公比的方程和，联立求得等比数列中的，的通项公式求得结论；（）根据（）得到的，进而求得，显然数列是等差数列，求得其前项和，解不等式，进而求得满足的最大正整数为【详解】（）设的公比为
13、，因为成等差数列，所以整理得，即，解得又，解得所以（）由（）得,所以所以由，得，整理得，解得故满足最大正整数为18. 已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A（1，0），B（1，0），一个顶点为H（2，0）（1）求椭圆E的标准方程；（2）对于x轴上点P（t，0），椭圆E上存在点M，使得MPMH，求实数t的取值范围【答案】（1）；（2）（2，1）【解析】试题分析：（1）由两个焦点分别为A（1，0），B（1，0），上顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在X轴上求得方程（2）利用向量垂直即可求得M点的横坐标x0，从而解决问题解：（1）由题意得，c=
14、1，a=2，则b=故所求的椭圆标准方程为；（2）设M（x0，y0）（x02），则又由P（t，0），H（2，0）则，由MPMH可得，即（tx0，y0）（2x0，y0）=由消去y0，整理得x02，2x02，2t1故实数t的取值范围为（2，1）点评：本题考查直线和椭圆的位置关系、考查存在性问题，解题时要认真审题，仔细解答19.四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，.（）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值；（）为中点，在四边形所在的平面内是否存在一点，使得平面，若存在，求三角形的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（I）详见解析；（II）；（III）存在，理由见解析，三角形的面积为.【解析】【分析】
15、（I）通过证明，证得平面，由此证得平面平面.（II）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，求得二面角的余弦值.（III）先假设存在符合题意的，然后利用向量的数量积运算，求得点的坐标，由此证得点存在，并求得三角形的面积.【详解】（I）由于平面，所以，由于，所以平面，由于平面，所以平面平面.（II）由已知条件可知两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，则,.依条件知是平面的一个法向量.设是平面的法向量，由，令，得.设二面角的平面角为，则.（III）假设存在点满足条件，设，则，所以，解得，所以存在满足条件，此时.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的计算，考查探究性问题的求解
16、，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知数列的前项和为，且满足，设，.（）求证：数列是等比数列；（）若，求实数的最小值；（）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成（，且，）的形式，则称为“指数型和”.问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.【答案】（I）详见解析；（II）；（III）为指数型和.【解析】【分析】（I）通过计算证明证得，来证得数列是等比数列.（II）利用求得数列的通项公式，由，求得的最小值.（III）先求得的通项公式，对分成偶数和奇数两种情况进行分类讨论，根据“指数型和”的定义，求出符合题意的“指数
17、型和”.【详解】（I），.由于，当时，所以数列是等比数列.，.（II）由（I）得，所以.因为，.当时，而，所以，即，化简得，由于当时，单调递减，最大值为，所以，又，所以的最小值为.（III）由（I）当时，当时，.也符合上式，所以对正整数都有.由，（且），只能是不小于的奇数.当为偶数时，由于和都是大于的正整数，所以存在正整数，使得，所以，且，相应的，即有，为“指数型和”； 当为奇数时，由于是个奇数之和，仍为奇数，又为正偶数，所以不成立，此时没“指数型和”.综上所述，中的项存在“指数型和”，为.【点睛】本小题主要考查已知求，考查根据数列的单调性求参数的取值范围，考查新定义的理解和运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
