1、模块综合测评考试时间120分钟，满分150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若i为虚数单位，则复数z5i(34i)在复平面内对应的点所在的象限为(A)A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析z5i(34i)2015i，则复数z5i(34i)在复平面内对应的点为(20,15)，所以复数z5i(34i)在复平面内对应的点在第一象限2已知向量a(cos 75，sin 75)，b(cos 15，sin 15)，则|ab|的值为(B)AB1C2D3解析如图，将向量a，b的起点都移到原点，即a，b，则|ab|且xOA75，xOB
2、15，于是AOB60，又因为|a|b|1，则AOB为正三角形，从而|ab|13函数y3sincos的最小正周期为(A)ABC8D4解析y3sincos 2sin，所以T.4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B，a，sin2B2sin Asin C，则ABC的面积S(B)AB3CD6解析由sin2B2sin Asin C及正弦定理，得b22ac，又B，所以a2c2b2.联立解得ac，所以S3.5已知|p|2，|q|3，p，q的夹角为，如图，若5p2q，p3q，D为BC的中点，则|为(A)ABC7D18解析()(6pq)，|.6已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的
3、平面(B)A有且只有一个B至多有一个C有一个或无数多个D不存在解析当异面直线互相垂直时满足条件的平面有1个，当异面直线互相不垂直时满足条件的平面有0个故选B7在长方体ABCDA1B1C1D1中，若ABAD2，CC1，则二面角C1BDC的大小为(A)A30B45C60D90解析如图，连接AC交BD于点O，连接OC1因为ABAD2，所以ACBD，又易知BD平面ACC1A1，所以BDOC1，所以COC1为二面角C1BDC的一个平面角因为在COC1中，OC，CC1，所以tanCOC1，所以二面角C1BDC的大小为30.8函数ysin在一个周期内的图象是(B)解析ycos x(sin x)2sin xc
4、os xsin 2x，故选B二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9已知复数z，则以下说法正确的是(CD)A复数z的虚部为Bz的共轭复数C|z|D在复平面内与z对应的点在第二象限解析zi，复数z的虚部为，z的共轭复数，|z|，复平面内与z对应的点的坐标为，在第二象限故选CD10已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，表示不同的平面，则下列推理正确的是(ABD)AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADA，Al，llA解析对于选项A：由基本事实2知，l，故选项A正确；
5、对于选项B：因为，表示不同的平面，由基本事实3知，平面，相交，且AB，故选项B正确；对于选项C：l分两种情况：l与相交或l.当l与相交时，若交点为A，则A，故选项C错误；对于选项D：由基本事实2逆推可得结论成立，故选项D成立；故选ABD11已知函数f(x)2cos22x2，下列命题中的真命题有(BC)AR，f(x)为奇函数B，f(x)f(x2)对xR恒成立Cx1，x2R，若|f(x1)f(x2)|2，则|x1x2|的最小值为Dx1，x2R，若f(x1)f(x2)0，则x1x2k(kZ)解析由题意f(x)2cos22x2cos 4x1；f(x)cos 4x1的图象如图所示；函数f(x)的图象是f
6、(x)的图象向左或向右平移|个单位，它不会是奇函数，故A错误；若 f(x)f(x2)，cos 4x1cos (4x8)1，82k，kZ；又，取或时，f(x)f(x2)对xR恒成立，故B正确； |f(x1)f(x2)|cos4x1cos4x2|2时，|x1x2|的最小值为，故C正确；当f(x1)f(x2)0时， x1x2kTk(kZ)，故D错误；故选BC12如图，矩形ABCD中，AB2AD2，E为边AB的中点将ADE沿直线DE翻折成A1DE(点A1不落在底面BCDE内)若M为线段A1C的中点，则在ADE翻转过程中，以下命题正确的是(ABC)A四棱锥A1BCDE体积最大值为B线段BM长度是定值CM
7、B平面A1DE一定成立D存在某个位置，使DEA1C解析ADE是等腰直角三角形，A到DE的距离是，当平面A1DE平面BCDE时，A1到平面BCDE的距离最大为，又S四边形BCDE2111，V最大值.A正确；取CD中点N，连接MN，BN，M是A1C的中点，MNA1D，而MN平面A1DE，A1D平面A1DE，MN平面A1DE，由DN与EB平行且相等得四边形DNBE是平行四边形，BNDE，同理得BN平面A1DE，而BNMNN，平面BMN平面A1DE，BM平面BMN，MB平面A1DE，C正确；在上述过程中得MNBA1DE45，又BNDE，MNA1D，BM为定值，B正确；假设存在某个位置，使DEA1C，取
8、DE中点O，连接A1O，CO，显然A1ODE，而A1OA1CA1，DE平面A1OC，OC平面A1OC， DEOC，则CECD，但CE，CD2，不可能相等，所以不可能有DEA1CD错故选ABC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知复数z满足(12i)z34i，则|z|！#.解析(12i)z34i，|12i|z|34i|，则|z|.14设向量a(3,3)，b(1，1)若(ab)(ab)，则实数 3 .解析因为ab(3，3)，ab(3，3)，又(ab)(ab)，所以(ab)(ab)(3)(3)(3)(3)0，解得3.15如图，四面体PABC中，PAPB，平面PAB平面ABC，AB
9、C90，AC8，BC6，则PC 7 .解析取AB的中点E，连接PE.PAPB，PEAB又平面PAB平面ABC，PE平面ABC连接CE，PECE.又ABC90，AC8，BC6，AB2，PE，CE，PC7.16关于函数f(x)coscos，有下列说法：yf(x)的最大值为；yf(x)是以为最小正周期的周期函数；yf(x)在区间上是减少的；将函数ycos 2x的图象向左平移个单位长度后，将与已知函数的图象重合其中正确说法的序号是 .解析f(x)coscoscoscoscossincoscos，所以正确，错误四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分1
10、0分)设向量e1，e2的夹角为60且|e1|e2|1，如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)(1)证明：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k的值，使k的取值满足向量2e1e2与向量e1ke2垂直解析(1)证明：因为e1e2，5e15e2，所以5，即，共线，又，有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)因为(2e1e2)(e1ke2)，所以(2e1e2)(e1ke2)0，2e2ke1e2e1e2ke0，即2kk0，解得k.18(本小题满分12分)已知函数f(x)cossin.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并给出证明；(2)若为第一象限角，且f，求cos的值解析(1)结论：函数f(x)为定义
11、在R上的偶函数证明：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(x)cossincoscos x，所以f(x)cos(x)cos x，所以f(x)f(x)因此，函数f(x)为定义在R上的偶函数(2)因为fcos，所以cos.由于为第一象限角，故sin.所以coscossin2sincos2.19(本小题满分12分)已知函数ysin(2x)(0)的图象的一条对称轴是直线x.(1)求；(2)求函数yf(x)的单调增区间；(3)画出函数yf(x)在区间0，上的图象解析(1)因为x是函数yf(x)的图象的对称轴，所以sin1，即k，kZ.因0，所以k1时得.(2)由(1)知，因此ysin.由题意得2k
12、2x2k，kZ，解得kxk，(kZ)所以函数ysin的单调增区间为，kZ.(3)由ysin知：令z2x，x0，列表如下：x0z0y1010描点连线得函数yf(x)在区间0，上的图象20(本小题满分12分)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA解析(1)因为ASAB，AFSB，垂足为F，所以F是SB的中点又因为E是SA的中点，所以EFAB因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC同理EG平面ABC又EFEGE，所以平面EFG平面ABC(2)因为平面SA
13、B平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC因为BC平面SBC，所以AFBC又因为ABBC，AFABA，AF平面SAB，AB平面SAB，所以BC平面SAB因为SA平面SAB，所以BCSA21(本小题满分12分)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC解析(1)在ABD中，由正弦定理得，由题设知，所以sinADB.由题设知，ADB90，所以cosADB.(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225，所以BC5.22(本
14、小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ACBC，AB2A1A4，以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接A1D，DC1(1)求证：DC1平面A1ABB1；(2)若二面角A1DCA为45；求证：平面A1C1D平面A1AD；求直线AB1与平面A1AD所成角的正切值解析 (1)证明：连接AB1，ADBCB1C1且ADBCB1C1，四边形ADC1B1为平行四边形，AB1DC1，又AB1平面A1ABB1，DC1平面A1ABB1，DC1平面A1ABB1(2)证明：取DC的中点M，连接A1M，AM.易知RtA1ADRtA1AC，A1DA1C，A1MDC，又AMDC，A1MA为二面角A1DCA的平面角，A1MA45.在RtA1AM中，AA1AM2，ADAC2，AC2AD2DC2，ACAD，又ACAA1，ADAA1A，AC平面A1AD，又ACA1C1，A1C1平面A1ADA1C1平面A1C1D，平面A1C1D平面A1ADAB1C1D，C1D与平面A1AD所成角与AB1与平面A1AD所成角相等由知C1A1平面A1AD，A1D为C1D在平面A1AD内的射影，故A1DC1为直线DC1与平面A1AD所成角，在RtA1DC1中，tanA1DC1，直线AB1与平面A1AD所成角的正切值为.
