1、章末综合测评(三)数学归纳法与贝努利不等式(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设S(n)，则()A.S(n)共有n项，当n2时，S(2)B.S(n)共有n1项，当n2时，S(2)C.S(n)共有n2n项，当n2时，S(2)D.S(n)共有n2n1项，当n2时，S(2)【解析】S(n)共有n2n1项，当n2时，S(2).【答案】D2.数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A.3n2B.n2C.3n1D.4n3【解析】计算知a11，
2、a24, a39，a416，可猜想ann2.【答案】B3.已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN成立，则a，b，c的值为()A.a，bcB.abcC.a0，bcD.不存在这样的a，b，c【解析】等式对任意nN都成立，当n1,2,3时也成立.即解得【答案】A4.下列代数式，nN，能被13整除的是()A.n35nB.34n152n1C.62n11D.42n13n2【解析】当n1时，n35n6,34n152n1368,62n117,42n13n291.只有91能被13整除.【答案】D5.用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()A.k2B.(k1)2C.D
3、.(k21)(k22)(k1)2【解析】当nk时，左端123k2，当nk1时，左端123k2(k21)(k22)(k1)2.故当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k1)2.【答案】D6.用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被8整除时，当nk1时，对于34(k1)152(k1)1可变形为()A.563(4k1)25(34k152k1)B.3434k15252kC.34k152k1D.25(34k152k1)【解析】34(k1)152(k1)1变形中必须出现nk时归纳假设，故变形为5634k125(34k152k1).【答案】A7.用数学归纳法证明不等式12(n2，nN
4、)时，第一步应验证不等式()A.12B.12C.12D.12【解析】n2，第一步应是n2时，1 3nB.4n3nC.4n3n，即4n3n.【答案】A9.若k棱柱有f(k)个对角面，则k1棱柱有对角面的个数为()A.2f(k)B.k1f(k)C.f(k)kD.f(k)2【解析】由nk到nk1时增加的对角面的个数与底面上由nk到nk1时增加的对角线的条数一样，设底面为A1A2Ak，nk1时底面为A1A2A3AkAk1，增加的对角线为A2Ak1，A3Ak1，A4Ak1，Ak1Ak1，A1Ak，共有k1条，因此，对角面也增加了k1个.【答案】B10.用数学归纳法证明cos cos 3cos(2n1)(
5、k，kZ，nN)，在验证n1时，左边计算所得的项是()A.B.cos C.cos cos 3D.cos cos 2cos 3【解析】首项为，末项为cos(211)cos .【答案】B11.如果命题P(n)对于nk成立，则它对nk2亦成立，又若P(n)对n2成立，则下列结论正确的是()A.P(n)对所有自然数n成立B.P(n)对所有偶自然数n成立C.P(n)对所有正自然数n成立D.P(n)对所有比1大的自然数n成立【解析】因为n2时，由nk2的“递推”关系，可得到n4成立，再得到n6成立，依次类推，因此，命题P(n)对所有的偶自然数n成立.【答案】B12.在数列an中，a1且Snn(2n1)an
6、，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为() 【导学号：38000065】A. B.C.D.【解析】a1，由Snn(2n1)an得，a1a22(221)a2，解得a2，a1a2a33(231)a3，解得a3，a1a2a3a44(241)a4，解得a4.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上)13.从11,14(12)，149123,14916(1234)，归纳出：14916(1)n1n2_.【解析】等式的左边符号正负间隔出现，先正后负，所以最后一项系数应为(1)n1，和的绝对值是前n个自然数的和为.【答案】(1)n114.设数列an满足a12，a
7、n12an2，用数学归纳法证明an42n12的第二步中，设nk(k1，kN)时结论成立，即ak42k12，那么当nk1时，需证明ak1_.【解析】当nk1时，把ak代入，要将42k2变形为42(k1)12的形式.【答案】42(k1)1215.证明1(nN)，假设nk时成立，当nk1时，左边增加的项数是_.【解析】左边增加的项数为2k112k12k.【答案】2k16.在ABC中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立.猜想在n边形A1A2An中，其不等式为_.【解析】，所以在n边形A1A2An中，.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文
8、字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)用数学归纳法证明：123252(2n1)2n(4n21).【证明】(1)当n1时，左边1，右边1，命题成立.(2)假设当nk时(k1，kN)，命题成立，即123252(2k1)2k(4k21).那么当nk1时，123252(2k1)22(k1)12k(4k21)(2k1)2k(2k1)(2k1)(2k1)2(2k1)(2k3)(k1)(k1)4(k1)21.当nk1时，命题也成立.由(1)(2)得，对于任意nN，等式都成立.18.(本小题满分12分)求证：62n3n23n是11的倍数(nN).【证明】(1)当n1时，6213123166，是
9、11的倍数.(2)假设nk(kN，且k1)时，命题成立，即62k3k23k是11的倍数.则当nk1时，62(k1)3k33k162k23k33k13662k33k233k3362k362k33k233k3362k3(62k3k23k).由假设可知3(62k3k23k)是11的倍数，而3362k也是11的倍数，即nk1时，原命题正确.由(1)(2)可知，对任意nN原命题成立.19.(本小题满分12分)已知a，b为正数，且1，试证：对每一个nN，(ab)nanbn22n2n1.【证明】(1)n1时，左边0，右边0，左边右边，命题成立.(2)假设nk(k1)时，命题成立，即(ab)kakbk22k2
10、k1，则当nk1时，ak1bk1(ab)(akbk)akbabk，左边(ab)k1ak1bk1(ab)(ab)kakbkakbabk.又1，abab.(ab)4，ab4，abab4.由akbabk2222k12k2.akbk22k1.故左边4(22k2k1)2k222k22k222(k1)2(k1)1右边.当nk1时，命题也成立.由(1)(2)可知，对一切nN不等式成立.20.(本小题满分12分)是否存在常数a，b，c使得等式122232n(n1)2(an2bnc)对一切nN都成立？并证明你的结论.【解】假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式122232n(n1)2(an2bnc)中，令n1
11、，得4(abc)，令n2，得22(4abc)，令n3，得709a3bc.由解得a3，b11，c10，于是，对于n1,2,3，都有122232n(n1)2(3n211n10)(*)成立.下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，(*)式都成立.假设nk时，(*)成立，即122232k(k1)2(3k211k10)，那么122232k(k1)2(k1)(k2)2(3k211k10)(k1)(k2)2(3k25k12k24)3(k1)211(k1)10，由此可知，当nk1时，(*)式也成立.综上所述，当a3，b11，c10时题设的等式对于一切nN都成立.21.(本小题满分12分)如果数列an满足条件：
12、a14，an1(n1,2，)，证明：对任何自然数n，都有an1an且ana1.且a1ak且ak0.那么ak10.因此ak2ak1且ak1an且an0.22.(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn，an的等差中项为1.(1)写出a1，a2，a3；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明.【解】(1)由题意Snan2，可得a11，a2，a3.(2)猜想an.下面用数学归纳法证明：当n1时，a11，01，等式成立.假设当nk时，等式成立，即ak，则当nk1时，由Sk1ak12，Skak2，得(Sk1Sk)ak1ak0，即2ak1ak，ak1ak，即当nk1时，等式成立.由可知，对nN，an.
