1、复旦大学附属中学2015学年第一学期高二数学期中考试试卷 2015.11考试时间:100分钟满分:120分请将所有答案写在答题纸上一、填空题(每题4分,共48分)1. 线性方程组的增广矩阵是_2. 计算矩阵乘积:_3. 直线的倾斜角_4. 直线与直线的距离是_5. 已知,为单位向量,当与的夹角为时,在方向上的投影是-2_6. 已知向量,若,则实数-1_7. 已知等比数列的首项,公比为,其前项和为记为,则函数的解析式为_8. 已知是平面内两个相互垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值为_9. 若光线经过点射到直线上,反射后经过点,则反射光线所在的直线方程为_10. 如图,在中,与交于点,若,则_
2、11. 作边长为1的正三角形的内切圆,在这个圆内做新的内接正三角形,在新的正三角形内再作内切圆,如此继续下去,所有这些圆的面积之和为_12. 已知,设直线,其中,给出下列结论:直线的方向向量与向量共线;若,则直线与直线的夹角为;直线与直线()一定平行;写出所有真命题的序号_二、选择题(每题4分,共16分)13. “”是“直线与直线垂直”的( )C(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件14. 设是定义在正整数集上的函数,且满足:对于定义域内任意的,若成立,则成立。则下列命题正确的是( )D(A)若成立,则对于任意,均有成立(B)若成立,则对于任意,均有成
3、立(C)若成立,则对于任意,均有成立(D)若成立,则对于任意,均有成立15. 以下向量中,可以作为直线的一个方向向量是( )D(A) (B) (C) (D)16. 已知点,若点在函数的图像上,则使得面积为2的点的个数为( )D(A)1(B)2(C)3(D)4三、解答题(共5题,共计56分)17. (10分)用行列式讨论下列关于的方程组的解的情况,并求出相应的解当时,有唯一解当时,无解 当时,有无穷多解,通解为。18. (10分)已知直线,(1)求证:直线恒过定点,并求出定点坐标;(2)求当和时对应的两条直线的夹角。(1)(2,1)(2)19. (12分)已知向量,且向量满足关系式:,其中。(1
4、)求证:;(2)试用表示,求的最大值,并求此时向量的夹角(1)(2)最大值,此时,夹角。20. (12分)在平面直角坐标系中,点在轴正半轴上,点在轴上,其横坐标为,且是首项为1、公比为2的等比数列,记,。(1)若,求点的坐标;(2)若点的坐标为,求的最大值及相应的值(1)或(2)当时,最大,其最大值为。P20xyAP1P3P4 (第20题图) (第21题图)21. (12分)如图,数轴的交点为,夹角为,与轴、轴正向同向的单位向量分别是。由平面向量基本定理,对于平面内的任一向量,存在唯一的有序实数对,使得,我们把叫做点在斜坐标系中的坐标(以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标)。(1)若,为单位向量,且与的夹角为,求点的坐标;(2)若,点的坐标为,求向量与的夹角;(3)若,求过点的直线的方程,使得原点到直线的距离最大(1)(2)(3)。