1、北京市第四十三中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题试卷满分：150分 考试时间：120分钟一选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，则= ( )ABCD2若，则是( )A第四象限角B第三象限角C第二象限角D第一象限角3下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）ABCD4已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）ABCD5. ，两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 6已知向量,且,那么（ ）ABCD7圆的圆心到直线的距离为（ ）A2BC1D8已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列
2、命题中正确的是（ ）A若则B若则C若则D若则9. 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ）A36 B. C. 18 D. 10. 如图,在边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1PD1E，则线段B1P的长度的最大值为 （ ）A. B. 2C. D. 3二填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分，把答案填在答题纸上）11. 已知，则 12. 过点（1，0）且与直线平行的直线方程是 13. 直线的倾斜角为 ,x轴上截距为 14. 在中，则_，的面积为_.15. 已知直线与圆交于两点，若，则_.16. 已知点P是直线上的一点，过P作圆的
3、切线，切点为A，则切线长的最小值为_ _.三解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）BA CA1 C1B1D17. （本题13分）如图，在正三棱柱中，为的中点.（） 求证：平面；【6分】 （） 求证：平面.【7分】班级 学号 姓名_成绩 装 订 线 内 不 要 答 题 u18. （本题12分）在钝角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，（）求的大小；【4分】（）求边和的面积【8分】 19（本题10分）已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线（）求直线的方程【6分】（）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积【4分】EBCADP20. （本题15分）如图
4、，在四棱锥中，底面为正方形， 底面，,为棱的中点.（）求证；【4分】（）求直线与平面所成角的正弦值；【7分】（）求点A到平面PBD的距离。【4分】21.（本题15分） 已知圆C：，直线过定点（）若直线与圆C相切，求直线的方程；【5分】（）若直线与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程【10分】22. （本题15分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别为，的中点（）求证：；（）求证：平面；【5分】（）求证：平面；【5分】（）在棱上是否存在一点，使得平面平面？说明理由【5分】参考答案一。选择题1. C 2. B 3.D 4.B 5.C 6.A 7.B 8.D 9.B 10.D
5、 二。填空题11.12. 13. ； 14. ；15. 16. 三。解答题17.()证明：因为正三棱柱，为的中点，所以，底面. 1分又因为底面，所以. 3分又因为，平面，平面，所以平面. 6分()证明：如图，连接，设，连接， 7分BA CA1 C1B1DO由正三棱柱，得，又因为在中，所以， 10分又因为平面，平面，所以平面. 13分18【答案】（1）（2），【详解】：（1）因为 ， 所以。4分（2）因为所以 得即所以 因为三角形是钝角三角形，所以舍去 所以12分错解：（2）没有注意到三角形是钝角三角形，检验cosA0得到两组解所以 19答案：（1）（2）1【详解】（），解得，则点的坐标为由于点
6、的坐标是，且所求直线与直线垂直，可设所求直线的方程为将点坐标代入得，解得故所求直线的方程为 .。6分（）由直线的方程知它在轴，轴上的截距分别是，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积 。10分20【答案】（）证明：因为底面，所以因为， 所以.由于， 所以有分（）解：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设，可得，.zyxEBCDAP由为棱的中点，得. 向量,.设为平面的法向量，则即不妨令，可得（1,1,1）为平面的一个法向量.所以 .所以，直线与平面所成角的正弦值为. 11分（）解： 15分21【答案】（1）或【分析】（1）通过直线的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切
7、，圆心到直线的距离等于半径即可求解直线的方程；（2）设直线方程为，求出圆心到直线的距离、求得弦长，得到的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到直线的方程.【详解】（1）若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x1，符合题意. 。2分 若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为，即由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即： ，解之得 . 所求直线l1的方程是或. 。5分(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为，则圆心到直线l1的距离 又CPQ的面积 当d时，S取得最大值2. k1 或k7所求直线l1方程为 xy10或7xy70
8、 . .。15分【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到直线与圆相切，圆的弦长公式，以及三角形的面积公式和二次函数的性质等知识点的综合考查，其中熟记直线与圆的位置关系的应用，合理准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.22. 解：（）在三棱柱中， 因为侧棱垂直于底面， 所以平面 所以 因为， 所以平面 因为平面， 所以 5分（）取中点，连结，则，且， 又因为，且， 所以，且所以四边形为平行四边形 所以又平面，平面，所以平面 10分（）在棱上存在点，且为的中点 连接 在正方形中， 因为为中点，所以所以 所以 由（）可得平面， 因为/， 所以平面 因为平面，所以 因为， 所以平面 因为平面，所以平面平面 15分
