1、四川省遂宁市2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1. 设复数，则z在复平面内对应的点在第（ ）象限.A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】B【解析】【分析】由复数除法法则求出，可得其对应点坐标，从而可得其对应点所在的象限【详解】，对应点为，所以z在复平面内对应的点在第二象限.故选：B【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义属于基础题2. 命题“”否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据特称命题的否定形式，即可求解.【详解】解：
2、命题“”的否定形式为：“”.故选：A.【点睛】本题考查命题的否定形式，注意全称量词与特称量词的转换，属于基础题.3. 随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是（ ）A. 该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B. 该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍C. 该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额
3、的六倍D. 该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当【答案】C【解析】【分析】先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解.【详解】由折线图可知：不妨设2015年全年的收入为t，则2019年全年的收入为2t，对于A，该家庭2019年食品的消费额为0.22t=0.4t，2015年食品的消费额为0.4t=0.4t，故A错误，对于B，该家庭2019年教育医疗的消费额为0.22t=0.4t，2015年教育医疗的消费额为0.3t=0.3t，故B错误，对于C，该家庭2019年休闲旅游的消费额是0.32t=0.6t，2015年休闲旅游的消费额是0.1t=0
4、.1t，故C正确，对于D，该家庭2019年生活用品的消费额是0.152t=0.3t，该家庭2015年生活用品的消费额是0.15t=0.15t，故D错误，故选：C.【点睛】本题解题关键是掌握折线图基础知识，结合所给数据进行简单的合情推理，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4. 双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（ ）A. 2B. C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】先根据渐近线的斜率得，再利用离心率公式求解即可.【详解】解：因为双曲线是焦点在轴上的双曲线，一条渐近线方程为，所以，所以离心率.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的性质，是基础题.5. 已知a，b为实数，则“a3b3
5、”是“2a2b”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用函数，的单调性，结合充分条件和必要条件的性质判断即可.【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增，则则“”是 “”的充要条件故选：C【点睛】本题主要考查了判断充要条件，涉及了利用函数的单调性比较大小，属于中档题.6. 曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对函数进行求导,利用导数的几何意义求出切线的斜率,再用点斜式求出切线方程,最后化成一般式即可.【详解】,故切线的斜率为.又.所以曲线在点处的切线方程为.即.故选:C【点
6、睛】本题考查了导数的几何意义,考查了求函数的切线方程,考查了直线的点作斜式方程以及一般方程.7. 椭圆的一个焦点坐标为，则实数m=（ ）A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将椭圆的方程化为标准方程，结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数的方程，解出即可.【详解】椭圆的标准方程为，由于该椭圆的一个焦点坐标为，所以焦点在轴上，其中，所以解得故选：D.【点睛】本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数，解题时要将椭圆方程化为标准方程，同时要注意确定椭圆的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.8. 若在是增函数，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求导，再根据
7、题意得在恒成立，转化为在恒成立问题求解即可.【详解】解：对求导得：，因为若在是增函数，所以在恒成立，即：在恒成立，所以.故选：A.【点睛】本题考查利用函数单调性求参数问题，是中档题.9. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：题设中的算法是结合的范围计算分段函数的函数值.详解：由题设有，当时，；当时，从而当时，选C.点睛：本题考察算法中的选择结构，属于基本题. 解题时注意判断的条件及其每个分支对应的函数形式.10. 阿基米德（公元前287年-212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数
8、学之神”的称号.抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线焦点F时，具有以下特征：（1）P点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且;（3）.若经过抛物线焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（ ）A. x-2y-1=0B. 2x+y-2=0C. x+2y-1=0D. 2x-y-2=0【答案】A【解析】【分析】线段AB经过抛物线y24x焦点，由“阿基米德三角形”的特征可得P点坐标，从而得直线PF的斜率，又PFAB，即得直线AB斜率，由点斜式可求直线AB的方程【详解】抛物线y24x的焦点F的坐标为（1，0），准线方
9、程为：x1，线段AB经过抛物线y24x焦点，由PAB为“阿基米德三角形”，可得P点必在抛物线的准线上，则点P（1，4），直线PF的斜率为：2，又PFAB，直线AB的斜率为，直线AB的方程为：y0，即x2y10，故选：A【点睛】本题主要考查了抛物线的定义以及抛物线的性质，考查直线方程的求解，考查学生分析问题的能力，是中档题11. 已知椭圆长半轴为2，且过点M(0，1).若过点M引两条互相垂直的两直线，若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为，则的最大值为（ ）A. 2B. C. 5D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得 的值，进而求出椭圆的方程，分两直线 的斜率存在和不存在，设直线两直
10、线的方程，设的坐标，由点到直线的距离公式求出的表达式，进而求出的表达式，由在椭圆上可得其横纵坐标的关系及纵坐标的取值范围，可得的最大值，从而得答案.【详解】由题意可得,则椭圆的方程为，设（1）若直线中有一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0.设直线的方程为，则直线的方程为由在椭圆上，则所以，故当时，有最大值，即的最大值为.（2）当直线的斜率都存在，且不为0,时设直线的方程为，即则直线的方程为，即所以所以由（1）可得的最大值为.故选：B【点睛】本题考查求椭圆的方程及点到直线的距离公式，属于中档题12. 已知，函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答
11、案】D【解析】【分析】首先对函数分段考虑，对进行分类讨论，求得函数在相应区间上的最小值满足条件，从而求得结果.【详解】时，所以其对称轴为，开口向上，当时，在上递减，在上递增，所以时，有最小值，解得，当时，在上递减，所以当时，有最小值，综上得，当时，当时，上递增，所以，解得，所以此时，当时，在上递减，在上递增，所以，解得，此时，综上，即的取值范围是，故选：D.【点睛】该题主要考查分段函数及不等式恒成立问题，考查学生推理论证能力及运算求解能力，将恒成立问题转化为求最值问题，考查了学生转化与化归思想及分类讨论思想.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 抛物线的焦点坐标是_【答案
12、】【解析】【分析】由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标.【详解】因为抛物线方程为，所以焦点在轴上，且焦点为.故答案为【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型.14. 若复数，则_【答案】【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【详解】，则，故答案为：【点睛】本题考查复数的乘除运算，考查复数的模的计算，属于基础题.15. 已知函数，则的值为_【答案】【解析】，解得，故，故答案为.16. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线交于，两点.若为等边三角形，则的值为_.【答案】或【解析】【分析】由于原题中未明确说明过直线与哪支交于两点，
13、因此分两种情况讨论，利用双曲线定义结合余弦定理即可得出答案。【详解】原题中未明确说明过直线与哪支交于两点，分两种情况讨论，如图:图1中，为通径，则，则，则，则，图2中，则，则，对使用余弦定理得，则，.故答案为：或【点睛】本题主要考查双曲线的定义以及余弦定理，属于中等题。三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17. 已知抛物线：的焦点，上一点到焦点的距离为5（1）求的方程；（2）过作直线，交于，两点，若直线中点的纵坐标为-1，求直线的方程【答案】（1）（2）【解析】【分析】法一：利用已知条件列出方程组，求解即可法二：利用抛物线的准线方程，由抛物线的定义列出方程，求解即
14、可法一：由可得抛物线焦点的坐标，设出两点的坐标，利用点差法，求出线段中点的纵坐标为，得到直线的斜率，求出直线方程法二：设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，设出两点的坐标，通过线段中点的纵坐标为，求出即可【详解】法一:抛物线: 的焦点的坐标为,由已知解得或,的方程为. 法二:抛物线的准线方程为由抛物线的定义可知解得的方程为. 2.法一:由(1)得抛物线C的方程为,焦点设两点的坐标分别为,则 两式相减,整理得线段中点的纵坐标为直线的斜率直线的方程为即分法二:由(1)得抛物线的方程为,焦点设直线的方程为由消去,得设两点的坐标分别为,线段中点的纵坐标为解得直线的方程为即【点睛】本题主要考查了直线与抛
15、物线相交的综合问题，对于涉及到中点弦的问题，一般采用点差法能直接求出未知参数，或是将直线方程设出，设直线方程时要注意考虑斜率的问题，此题可设直线的方程为，就不需要考虑斜率不存在，将直线方程与抛物线方程联立，利用条件列出等量关系，求出未知参数18. 已知函数在与时都取得极值（1）求的值与函数的单调区间；（2）若对,不等式恒成立，求的取值范围【答案】解：（1），递增区间是（，）和（1，+），递减区间是（，1）（2）【解析】【分析】（1）求出f（x），由题意得f（）0且f（1）0联立解得与b的值，然后把、b的值代入求得f（x）及f（x），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调
16、性，由于x1，2恒成立求出函数的最大值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）c2列出不等式，求出c的范围即可【详解】（1），f（x）3x2+2ax+b由解得，f（x）3x2x2（3x+2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x（,） （，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（，）和（1，+），递减区间是（，1）（2）因为，根据（1）函数f（x）的单调性，得f（x）在（1，）上递增，在（，1）上递减，在（1，2）上递增，所以当x时，f（x）为极大值，而f（2），所以f（2）2+c为最大值要使f（x）对x1，2恒成立，须且只需f（2）2+c解得c
17、1或c2【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题19. 流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：年龄（）患病人数（）（1）求关于的线性回归方程；（2）计算变量、的相关系数（计算结果精确到），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期
18、患流感人数与年龄负相关很强？（若，则、相关性很强；若，则、相关性一般；若，则、相关性较弱）参考数据：参考公式：，相关系数【答案】（1）；（2）相关系数为，可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强【解析】【分析】（1）结合已知数据和参考公式求出、这两个系数，即可得回归方程；（2）根据相关系数的公式求出的值，再结合的正负性与的大小进行判断即可【详解】（1）由题意得，故关于的线性回归方程为；（2），说明、负相关，又，说明、相关性很强因此，可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强【点睛】本题考查线性回归方程求法、相关系数的计算与性质，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题2
19、0. 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查，其中女性有名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有名女性.（1）根据已知条件完成下列联表，并判断能否在犯错误率不超过的前提下认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计（2）将日均收看该体育项目不低于分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有名女性，若从“超级体育迷”中任意选取人，求至少有名女性观众的概率.附：参考公式：，.【答案】（1）表格见解析，不能在犯错率不超过的前提下认为“
20、体育迷”与性别有关；（2）.【解析】【分析】（1）根据频率直方图计算出抽取的人中，“体育迷”的人数，由此可完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）由题意得知，“超级体育迷”的人数为，其中女性观众分别记为、，名男性观众分别记为、，列举出所有的基本事件，并确定事件“从“超级体育迷”中任意选取人，至少有名女性观众”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的人中，“体育迷”的人数为人，从而联表如下：非体育迷体育迷合计男女合计将联表中的数据代入公式计算得，因为，所以不能在犯错率不超过的前提下认为“体育迷”与性别有关；（2）
21、由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为人，其中女性观众分别记为、，名男性观众分别记为、，从“超级体育迷”中任意选取人，所有的基本事件有：、，共个，其中，事件“从“超级体育迷”中任意选取人，至少有名女性观众”所包含的基本事件有：、，共个，因此，所求事件的概率为.【点睛】本题考查利用独立性检验的基本思想解决实际问题，同时也考查了利用古典概型的概率公式求事件的概率，考查列举法的应用，考查计算能力，属于中等题.21. 已知、是椭圆的左、右两个焦点，过的直线与交于、两点（在第一象限），的周长为，的离心率为.（1）求的方程；（2）若、的中点为（不与重合），在线段上是否存在点，使得？若存在，请求出的取值范围
22、；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，且的取值范围是.【解析】【分析】（1）由题意得出关于、的方程组，解出、的值，进而可得出椭圆的方程；（2）假设存在点满足题意，设直线的方程为，可知且，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求得点的坐标，由可得出关于的关系式，利用不等式的基本性质可求得实数的取值范围.【详解】（1）由椭圆的定义可得的周长为，由已知条件得，解得.所以椭圆的方程为；（2）假设存在这样的点符合题意，设直线的方程为，设点、，当直线过椭圆的上顶点时，由于点不与点重合，则.结合图形可得，且.，联立，消去并整理得，由韦达定理得，则，所以，线段的中点的坐标为，则，可
23、得，且，所以，.所以存在实数，且的取值范围为.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中参数取值范围的求解，考查计算能力，属于难题.22. ，（1）讨论的单调性；（2）设不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】分析】（1）对函数求导令得或，再比较两根的大小，对分成三种情况讨论；（2）原不等式等价于，记，利用导数研究记的最小值，从而得到关于的不等式，解不等式即可得答案；【详解】（1）由得或若，则，由得得或所以若在递增；在上递减；若，在定义域上递增；若，则，由得得或所以若，在和上递增，在递减.（2）原不等式等价于，记，令得或.当时，（舍去），所以.当时，当时，所以恒成立，故，此时的取值范围是.当时，当时，当时，当时，所以，即，解得，可得此时的取值范围是.综合可知，所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查含参函数的单调性、根据不等式恒成立求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.- 21 -
