1、开远市第一中学校2023年秋季学期高二年级9月考试数 学2023.09考生注意：1.本试满分150分，考试时间120分钟。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效。一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数满足，则复数（）ABCD2已知集合，则（）ABCD3已知双曲线的离心率为则C的渐近线方程为（）ABCD4若一个圆锥的轴截面是边长为3
2、的正三角形，则这个圆锥的表面积为（）ABCD5“ ” 是 “直线 与直线 互相垂直” 的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6函数在单调递减，且为奇函数若，则满足的的取值范围是（）ABCD7设的内角，所对的边分别为，.若，则（）ABCD8已知A，B，C是表面积为的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（）ABCD二、 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9下列命题正确的是（）A若定点满足，动点满足，则动点的轨迹是双曲线.B若定点满足，动点满足，则的轨迹是椭圆.C
3、当时，曲线表示椭圆.D双曲线与椭圆有相同的焦点.10将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则具有性质（）A最小正周期为B图象关于直线对称C图象关于点对称D在上单调递减11在平面直角坐标系中，设点的轨迹为，下列说法正确的是（）A轨迹的方程为B面积的最大值为C的最小值为D若直线与轨迹交于，两点，则12嫦娥五号探测器是我国第一个实施无人月面取样返回的月球探测器如图所示，现假设该探测器沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行若用和分别表示椭圆轨道和的焦半距，用和分别表示椭圆轨道和的长
4、半轴长，则下列式子正确的是（）ABCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知平面向量a=-2,1，b=(3,k)，c=(-5,4)，若ab，则(a+b)c= 14某校为了普及“一带一路”知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如右侧折线图所示，则这10名同学成绩的分位数是 .15已知函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则当取最小值时，椭圆的离心率为 16如右图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则用集合列举法表示组成的集合是 四、 解答题：本题共
5、6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在平面四边形ABCD中，BAD30，ABC135，AD6，BD5，BC(1)求cosDBA；(2)求CD长18如图所示的多面体是由三棱锥与四棱锥对接而成，其中 EF平面AEB，是的中点.(1)求证：；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 192023年7月11日第64届国际数学奥林匹克竞赛结果公布，中国队6名参赛选手全员金牌，再夺第一某班级为了选拔数学竞赛选手，举行初次选拔考试，共有排好顺序的两道解答题规定全部答对者，通过选拔考试设甲答对第一道和第二道题的概率分别为，乙答对第一道和第二道题的概率分别为，甲，乙相互独立解题，答对与否互
6、不影响(1)求甲，乙都通过考试的概率;(2)记事件“甲、乙共答对两道题”，求20已知函数，.（1）求函数的单调递减区间；（2）若函数在恒成立，求实数的取值范围.21某房产销售公司从登记购房的客户中随机选取了50名客户进行调查，按他们购一套房的价格（万元）分成6组：，得到频率分布直方图如右图所示，用频率估计概率.房产销售公司每卖出一套房，房地产商给销售公司的佣金如下表（单位：万元）：房价区间佣金收入123456（1）求的值；并求出房产销售公司卖出一套房的平均佣金；（2）若该销售公司平均每天销售4套房，请估计公司月（按30天计）利润（利润=总佣金销售成本）.该房产销售公司每月（按30天计）的销售成
7、本占总佣金的百分比按下表分段累计计算：月总佣金不超过100万元的部分超过100万元至200万元的部分超过200万元至300万元的部分超过300万元的部分销售成本占佣金比例22设椭圆的离心率为，左顶点到直线的距离为（）求椭圆C的方程；（）设直线与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点O，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；（）在（）的条件下，试求AOB面积S的最小值开远市第一中学校2023年秋季学期高二年级9月月考数学答案命题人：高一数学组 出题人：高一数学组2023.09（参考答案）题号123456789101112答案ABBAADCC
8、BDADBDAD13. 23 14. 8.5 15. 22 16. 1 17.(1) (2)【详解】（1）在三角形ABD中，由正弦定理得：，得，DBAABC，故不符合题意，（2），在三角形BCD中，由余弦定理得CD，CD718(1)证明见解析；(2).【详解】（1）依题意，平面，平面，平面，则有，又，即，两两垂直，以点为坐标原点，射线，分别为，轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，因，则，则，因此，即，所以.（2）由(1)知：是平面的一个法向量，设平面的法向量为，而，则，令，得，设平面与平面所成锐二面角的大小为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是.19(1) (2)【详解】（1）设事件“甲
9、答对了道题”，事件“乙答对了道题”，由题意，由题意得，甲，乙都通过考试的概率（2）由题意得，所以20（1）的单调递减区间为;（2）.【详解】（1）令，解得. 故的单调递减区间为（2）由在恒成立，即，恒成立，则，作出草图，由图知：当，即的取值范围为.21（1）（2）万元（3）337.2万元【详解】（1）由，得.设卖出一套房的平均佣金为万元，则所以房产销售公司卖出一套房的平均佣金为万元；（2）一个月的总佣金为万元，月利润为万元，所以公司月利润为337.2万元.22（1）（2）见解析；（3）【详解】（）由已知，）因为故所求椭圆的方程为;（）法一：设，当直线l的斜率不存在时，由椭圆对称性知，因为以AB
10、为直径的圆经过坐标原点O，故，即又因为点在椭圆上，故，解得，此时点O到直线AB的距离为当直线l的斜率存在时，设其方程为联立得：所以，由已知，以AB为直径的圆经过坐标原点O，则，且故化简得，故点O到直线AB的距离为综上，点O到直线AB的距离为定值法二：（若设直线方程为，也要对直线斜率为0进行讨论）设，当直线l的斜率为0时，由椭圆对称性知x1=-x2，y1=y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即又因为点在椭圆上，故，解得，此时点O到直线AB的距离为当直线l的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为联立得：所以，故，即,所以,所以,化简得，故点O到直线AB的距离为综上，点O到直线AB的距离为定值（）法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S=1;当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为，由得，同理故令，则故综上，AOB面积S的最小值为法二：由（），当直线l的斜率不存在时，当直线l的斜率存在时，且点O到直线AB的距离为，故，令，则，因为，故综上，AOB面积S的最小值为
