1、2024届广州市高三年级调研测试数学本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并
2、交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足，则（ ）A 1B. 2C. D. 2 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知向量，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 4. 已知函数是奇函数，则（ ）A. B. C. D. 5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，记各层球数构成数列，且为等差数列，则数列的前项和为（ ）A. B. C. D. 6. 直线与圆交于A，B两点，则的取
3、值范围为（ ）A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ）A B. C. D. 28. 若函数在区间上存在极小值点，则a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：kWh），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（ ）A. 图中a的值为0.015B. 样本的第25百分位数约为217C. 样本平均数约为19
4、8.4D. 在被调查的用户中，用电量落在内的户数为10810. 已知双曲线的左、右焦点别为，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ）A. 若的两条渐近线相互垂直，则B. 若的离心率为，则的实轴长为C 若，则D. 当变化时，周长的最小值为11. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则（ ）A. 是奇函数B. ，C. 若在区间上有且仅有条对称轴，则D. 若在区间上单调递减，则或12. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（ ）A. 平面B. 平面截正方体所得的截面面积为C. 点Q的轨迹长度为D. 能放入由平面PMN分割该正方体所
5、成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知抛物线的焦点为F，点M在C上，轴，若（O为坐标原点）的面积为2，则_.14. 的展开式中的系数为_（用数字作答）.15. 已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，平面，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为_.16. 已知函数恰有两个零点，则_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前2n项和.18. 如图，在四棱锥中，三棱锥的体积为.（1）求点到平面的距离；（2
6、）若，平面平面，点在线段上，求平面与平面夹角余弦值.19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且.（1）求证：；（2）求的取值范围.20. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求a的取值范围.21. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能
7、的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？22. 在平面直角坐标系中，点，点是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆内切，记点P的轨迹为曲线E（1）求E的方程；（2）设点，直线AM，AN分别与曲线E交于点S，T（S，T异于A），垂足为H，求的最小值2024届广州市高三年级调研测试数学本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时1
8、20分钟.注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
9、一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足，则（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】由条件求得，即可计算模长.【详解】，.故选：C.2. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的定义域、指数函数的值域求得，进而求得.【详解】由，解得，所以，而，所以，所以.故选：A3. 已知向量，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据与共线，可得，求得，再利用向量在向量上的投影向量为，计算即可得解.【详解】由向量，若与共线，则，所以，所以向量在向量上的投影向量为：，故选：C4. 已知函数是奇函
10、数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性列方程，从而求得正确答案.【详解】的定义域为，由于是奇函数，所以，所以.故选：B5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，记各层球数构成数列，且为等差数列，则数列的前项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案.【详解】，由于为等差数列，所以，所以，也符合，所以，所以数列的前项和为.故选：D6. 直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D.
11、 【答案】D【解析】【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出的取值范围.【详解】由题易知直线恒过，圆化为标准方程得，即圆心为，半径，圆心到距离，所以在圆内， 则直线与圆交点弦最大值为直径即8，最小时即为圆心到直线距离最大，即时，此时，所以的取值范围为.故选：D7. 已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式求得正确答案.【详解】，分子分母同时除以得：，由于，所以，所以，所以，所以，即，代入得：，解得.故选：B8. 若函数在区间上存在极小值点，则a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【
12、答案】A【解析】【分析】根据的零点、的极值点的情况列不等式，由此求得的取值范围.【详解】，的开口向上，对称轴为，与轴的交点为，当时，在区间上，单调递增，没有极值点，所以，要使在区间上存在极小值点，则在有两个不等的正根，则需，解得，所以的取值范围是.故选：A【点睛】求解函数极值点的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间；（5）根据单调区间求得的极值点.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9.
13、 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：kWh），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（ ）A. 图中a的值为0.015B. 样本的第25百分位数约为217C. 样本平均数约为198.4D. 在被调查的用户中，用电量落在内的户数为108【答案】AC【解析】【分析】根据频率直方图，结合各个统计量的含义，逐项分析判断即可.【详解】对A，所以，故A正确；对B设样本的第25百分位数约为，则，所以，故B错误；对C，样本平均数为：，故C正确；对D，用电量落在内的户数为：，故D错误.故选：AC10. 已
14、知双曲线的左、右焦点别为，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ）A. 若的两条渐近线相互垂直，则B. 若的离心率为，则的实轴长为C. 若，则D. 当变化时，周长的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以，故A正确；B选项，若的离心率为，解得，所以实轴长，故B错误；C选项，若，则，整理得，故C正确；D选项，根据双曲线的定义可知，两式相加得，所以周长为，当时，取得最小值，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以周长的最小值为，故D正确.故选：ACD11.
15、 已知点是函数的图象的一个对称中心，则（ ）A. 奇函数B. ，C. 若在区间上有且仅有条对称轴，则D. 若在区间上单调递减，则或【答案】BC【解析】【分析】根据的对称中心求得，根据奇偶性、对称性、单调性等知识确定正确答案.【详解】依题意，点是函数的图象的一个对称中心，所以，且，B选项正确.则，所以，由于是奇数，所以是偶函数，A选项错误.C选项，将代入得：，整理得，由于在区间上有且仅有条对称轴，所以，解得，由于，所以，对应，所以C选项正确.D选项，在区间上单调递减，将代入得：，整理得，则，解得，而，所以或，时，符合单调性，时，不符合单调性，所以舍去所以，所以D选项错误.故选：BC12. 如图，
16、在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（ ）A. 平面B. 平面截正方体所得的截面面积为C. 点Q的轨迹长度为D. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到线面垂直；B选项，作出辅助线，找到平面截正方体所得的截面，求出面积；C选项，作出辅助线，得到点Q的轨迹，并求出轨迹长度；D选项，由对称性得到平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在上，设球心为，由得到方程，求出半径的最大值.【详解】A
17、选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，故.设平面的法向量为，则，令得，故，因为，故平面，A正确；B选项，取的中点，连接，因为M，N，P分别是棱，的中点，所以，又，所以，所以平面截正方体所得的截面为正六边形，其中边长为，故面积为，B正确； C选项，Q为平面上的动点，直线与直线的夹角为，又平面，设垂足为，以为圆心，为半径作圆，即为点Q的轨迹，其中，由对称性可知，故半径，故点Q的轨迹长度为，C错误；D选项，因为M，N，P分别是棱，的中点，所以平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称，不妨求能放入含有顶点的空间几何体的球的半径最大值，该球与平面切与点，与平面，平面，平面相切，由对称
18、性可知，球心在上，设球心为，则半径为，故，即，解得，故球的半径的最大值为，D正确.故选：ABD【点睛】立体几何中截面的处理思路：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.三、填空题：本题共4小题，每
19、小题5分，共20分13. 已知抛物线的焦点为F，点M在C上，轴，若（O为坐标原点）的面积为2，则_.【答案】【解析】【分析】根据所给条件，可得，再令得，带入面积公式，计算即可得解.【详解】由，令得，所以，所以，.故答案为：14. 的展开式中的系数为_（用数字作答）.【答案】【解析】【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案.【详解】由于，所以的展开式中含的项为，所以的展开式中的系数为.故答案为：15. 已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，平面，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】求出三角形外接圆圆心，过作平面，且，则为三棱锥的外接球球心，求出半径即可求得球的
20、表面积.【详解】如图根据题意，平面，所以即与平面所成角，则，又因为，所以，则,又，即三角形为直角三角形，取中点，则为三角形外接圆圆心，取中点，则，且，所以，即为三棱锥的外接球球心，其半径，所以三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：16. 已知函数恰有两个零点，则_.【答案】【解析】【分析】利用导数，求出的单调区间，由函数恰有两个零点即函数与x轴有两个不同的交点，从而建立等量关系求解可得.【详解】因为，所以令，则，令，故当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，即当时函数有最小值，若，即时，此时函数在R上为增函数，与题意不符；若，即时，此时函数与x轴有两个不同交点，设交点为，且，即，所以当或时，即，
21、此时函数为增函数，当时，即，此时函数为减函数，依题意，函数恰有两个零点即函数与x轴有两个不同的交点，即或，所以或，化简得或，所以，故答案为：.【点睛】根据函数零点个数求解参数范围的问题的一般方法：设方法一：转化为函数与x轴交点个数问题，通过求解单调性构造不等式求解；方法二：转化为函数的交点个数问题求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前2n项和.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据求得.（2）根据分组求和法求得正确答案.【小问1详解】依题意，当时，当时，所以，
22、所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，也符合.所以.【小问2详解】由（1）得，所以.18. 如图，在四棱锥中，三棱锥的体积为.（1）求点到平面的距离；（2）若，平面平面，点在线段上，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据等体积法求得点到平面的距离；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】设点到平面距离为，则，由题可知，所以，所以点到平面的距离为.【小问2详解】取的中点，连接，因为，又平面平面且交线为，平面，所以平面，由（1）知.由题意可得，所以，所以.以点为坐标原点，为轴，为轴，过点作的平行线为轴，建立如图所示的空间
23、直角坐标系，则，依题意，所以.设平面的法向量为，则，故可设，平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且.（1）求证：；（2）求的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为，结合诱导公式及可证.（2）根据及，结合诱导公式和二倍角余弦公式将化为，先求出角A的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为 ，由正弦定理得，由余弦定理得，所以，又，所以.又，所以或，所以或，又，所以，所以，得证.【小问2详解】由（1）知，所以
24、，又，所以，因为，所以，所以，因为函数在单调递增，所以，所以的取值范围为.20. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求a的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利用，求出切线的斜率，然后求解所以曲线在处的切线方程（2）由，令，则，故在上为减函数，讨论 和时函数的单调性，即可得解.【小问1详解】因为，所以，由切点为，所以，所以曲线在处的切线方程为，即小问2详解】由，令则，故在上为减函数又，当时，故在上为增函数，所以恒成立，故符合题意；当时，由于，由且当时，根据零点存在定理，必存在，使得，由于在上为减函数，故当时，时，故在上为增函数，在上为减函数所以当时
25、，故在上不恒成立，所以不符合题意综上所述，实数的取值范围为【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，同时考查恒成立问题，是难题本题的关键有：（1）二次求导，利用二次求导得出导函数的单调性；（2）分类讨论，找到讨论点是关键，本题讨论点为和.21. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才
26、会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？【答案】（1）分布列详见解析 （2）买个【解析】【分析】（1）根据独立重复试验概率计算公式、排列组合数的计算公式求得的分布列.（2）根据甲一次性购买的吉祥物盲盒的个数进行分类讨论，通过计算各种情况下的总费用来求得正确答案.【小问1详解】由题意
27、可知所有可能取值为，,所以的分布列如下：【小问2详解】设甲一次性购买个吉祥物盲盒，集齐三款吉祥物需要的总费用为.依题意，可取.方案1：不购买盲盒时，则需要直接购买三款吉祥物，总费用元.方案2：购买个盲盒时，则需要直接购买另外两款吉祥物，总费用元.方案3：购买个盲盒时，当个盲盒打开后款式不同，则只需直接购买剩下一款吉祥物，总费用，当个盲盒打开后款式相同，则需要直接购买另外款吉祥物，总费用，所以元.方案4：购买个盲盒时，当个盲盒打开后款式各不相同，则总费用，当个盲盒打开后恰有款相同，则需要直接购买剩下一款吉祥物，则总费用，当个盲盒打开后款式全部相同，则需要直接购买另外两款吉祥物，总费用，所以元.对
28、比个方案可知，第个方案总费用的期望值最小，故应该一次性购买个吉祥物盲盒.22. 在平面直角坐标系中，点，点是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆内切，记点P的轨迹为曲线E（1）求E的方程；（2）设点，直线AM，AN分别与曲线E交于点S，T（S，T异于A），垂足为H，求的最小值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意设出，根据以PF为直径的圆与圆内切列出方程，化简即可得到P的轨迹为曲线E的方程.（2）先证直线恒过定点，然后求出点H轨迹，进而求出的最小值.【小问1详解】设，则的中点，根据题意得，即，整理得，化简得点的轨迹方程【小问2详解】设，先证直线恒过定点，理由如下：由对称性可知直线的斜率不为0，所以可设直线，联立直线与，,则，所以，令，得点横坐标，同理可得点横坐标，故，将代入上式整理得：，将代入得，若，则直线，恒过不合题意；若，则，恒过，因为直线恒过，且与始终有两个交点，又，垂足为H，所以点H轨迹是以为直径的半圆（不含点，在直线下方部分），设中点为C，则圆心，半径为1，所以，当且仅当点H在线段上时，所以的最小值为.【点睛】方法点睛：根据圆锥曲线中直线间几何关系求动点的轨迹方程，注意转化思想的应用；
