1、教学设计4对数教学分析我们在前面的学习过程中，已了解了指数函数的概念和性质，它是后续学习的基础，从本节开始我们学习对数及其运算使学生认识引进对数的必要性，理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用教材注重从现实生活的事例中引出对数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能，教材安排了“阅读与思考”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学
2、生认真研读根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持三维目标1理解对数的概念，了解对数与指数的关系；理解和掌握对数的性质；掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，并掌握化简求值的技能；运用对数运算性质解决有关问题培养学生分析、综合解决问题的能力；培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度2通过与指数式的比较，引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质；让学生归纳整理本节所学的知识3学会对数式与指数式的互化，
3、从而培养学生的类比、分析、归纳能力；通过对数的运算法则的学习，培养学生严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性重点难点教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用教学难点：对数概念的理解，对数运算性质的推导及应用课时安排3课时41对数及其运算(1)导入新课思路1.1.庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭(1)取4次，还有多长？(2)取多少次，还有0.125尺？2假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？抽象出：1.4？x0.12
4、5x？2(18%)x2x？都是已知底数和幂的值，求指数你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数引出对数的概念，教师板书课题思路2.我们前面学习了指数函数及其性质，同时也会利用性质解决问题，但仅仅有指数函数还不够，为了解决某些实际问题，还要学习对数函数，为此我们先学习对数引出对数的概念，教师板书课题推进新课活动：学生讨论并作图，教师适时提示、点拨对问题，回忆计算机作函数图像的方法，抓住关键点对问题，图像类似于人的照片，从照片上能看出人的特点，当然从函数图像上就能看出函数的某些点的坐标对问题，定义一种新的运算对问题，借助，类比到一般的情形讨论
5、结果：如图1.图1在所作的图像上，取点P，测出点P的坐标，移动点P，使其纵坐标分别接近18,20,30，观察这时的横坐标，大约分别为32.72,43.29,84.04，这就是说，如果保持年增长率为1个百分点，那么大约经过33年、43年、84年，我国人口分别约为18亿、20亿、30亿1.01x，1.01x，1.01x，在这几个式子中，要求x分别等于多少，目前我们没学这种运算，可以定义一种新运算，即若1.01x，则x称作以1.01为底的的对数其他的可类似得到，这种运算叫作对数运算一般性的结论就是对数的定义：一般地，如果a(a0，a1)的x次幂等于N，就是axN，那么数x叫作以a为底N的对数(log
6、arithm)，记作xlogaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数有了对数的定义，前面问题的x就可表示了：xlog1.01，xlog1.01，xlog1.01.由此得到对数和指数幂之间的关系：aNb指数式abN底数幂指数对数式logaNb对数的底数真数对数例如：42162log416；1021002log10100；42log42；1020.012log100.01.为什么在对数定义中规定a0，a1？根据对数定义求loga1和logaa(a0，a1)的值.负数与零有没有对数？alogaNN与logaabb(a0，a1)是否成立？讨论结果：这是因为若a0，则N为某些值时，b不存在，如log(2)
7、；若a0，N不为0时，b不存在，如log03，N为0时，b可为任意正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a1，N不为1时，b不存在，如log12，N为1时，b可为任意数，是不唯一的，即log11有无数个值综之，就规定了a0且a1.loga10，logaa1.因为对任意a0且a1，都有a01，所以loga10.同样易知：logaa1.即1的对数等于0，底的对数等于1.因为底数a0且a1，由指数函数的性质可知，对任意的bR，ab0恒成立，即只有正数才有对数，零和负数没有对数因为abN，所以blogaN，abalogaNN，即alogaNN.因为abab，所以logaabb.故两个式子都成立(
8、alogaNN叫对数恒等式)思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解，但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用，你们知道是哪两类吗？活动：同学们阅读课本的内容，教师引导，板书解答：常用对数：我们通常将以10为底的对数叫作常用对数为了简便，N的常用对数log10N简记作lg N.例如：log105简记作lg 5；log103.5简记作lg 3.5.自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e2.718 28为底的对数，以e为底的对数叫作自然对数，为了简便，N的自然对数logeN简记作ln N.例如：loge3简记作ln 3；loge10简记作ln 10.思路11将下列指数
9、式写成对数式：(1)54625；(2)33；(3)16；(4)5a15.活动：学生阅读题目，独立解题，把自己解题的过程展示在屏幕上，教师评价学生，强调注意的问题对(1)根据指数式与对数式的关系，4在指数位置上，4是以5为底625的对数对(2)根据指数式与对数式的关系，3在指数位置上，3是以3为底的对数对(3)根据指数式与对数式的关系， 在指数位置上，是以8为底16的对数对(4)根据指数式与对数式的关系，a在指数位置上，a是以5为底15的对数解：(1)log56254；(2)log33；(3)log816；(4)alog515.思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题？活动：学生考虑指数式与对数式
10、互化的依据，回想对数概念的引出过程，理清对数与指数幂的关系，特别是位置的对照解答：若是指数式化为对数式，关键要看清指数是几，再写成对数式若是对数式化为指数式，则要看清真数是几，再写成幂的形式最关键的是搞清N与b在指数式与对数式中的位置，千万不可大意，其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据例2 求下列各式的值：(1)log525；(2)；(3)3log310；(4)ln 1；(5)log2.52.5.活动：学生独立解题，教师同时展示学生的做题情况，要求学生说明解答的依据，利用指数式与对数式的关系，转化为指数式求解解：(1)因为5225，所以log5252.(2)因为532，所以5.(3)设3l
11、og310N，则log3Nlog310，所以N10，即3log31010.(4)因为e01，所以ln 10.(5)因为2.512.5，所以log2.52.51.点评：本题要注意方根的运算，同时也可借助对数恒等式来解例3 将下列对数式写成指数式(1)4；(2)log32435；(3)3；(4)lg 0.11.活动：学生阅读题目，独立解题，发表自己的见解，把结果用多媒体显示在屏幕上解：根据指数式与对数式的关系，得(1)416；(2)35243；(3)3；(4)1010.1.点评：对数的定义是指数式与对数式互化的根据思路2例1 以下四个命题中，属于真命题的是()(1)若log5x3，则x15(2)若
12、log25x，则x5(3)若logx0，则x(4)若log5x3，则xA(2)(3) B(1)(3)C(2)(4) D(3)(4)活动：学生观察，教师引导学生考虑对数的定义对数式化为指数式，根据指数幂的运算性质算出结果对于(1)，因为log5x3，所以x53125，错误；对于(2)，因为log25x，所以x5，正确；对于(3)，因为logx0，所以x0，无解，错误；对于(4)，因为log5x3，所以x53，正确总之(2)(4)正确答案：C点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据例2 对于a0，a1，下列结论正确的是()(1)若MN，则logaMlogaN(2)若logaMlogaN，则M
13、N(3)若logaM2logaN2，则MN(4)若MN，则logaM2logaN2A(1)(3) B(2)(4)C(2) D(1)(2)(4)活动：学生思考，讨论，交流，回答，教师及时评价回想对数的有关规定对(1)若MN，当M为0或负数时logaMlogaN，因此错误；对(2)根据对数的定义，若logaMlogaN，则MN，正确；对(3)若logaM2logaN2，则MN，因此错误；对(4)若MN0时，则logaM2与logaN2都不存在，因此错误综上，(2)正确答案：C点评：0和负数没有对数，一个正数的平方根有两个例3 计算：(1)log927；(2)81；(3)log(2)(2)；(4)l
14、og625.活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，学生展示自己的解题过程，教师及时评价学生利用对数的定义或对数恒等式来解求式子的值，首先设成对数式，再转化成指数式或指数方程求解另外利用对数恒等式可直接求解，所以有两种解法解法一：(1)设xlog927，则9x27,32x33，所以x.(2)设x，则()x81,34，所以x16.(3)令xlog(2)(2)log(2)(2)1，所以(2)x(2)1，x1.(4)令x，所以()x625,54，x3.解法二：(1)log927log933.(2)()1616.(3)log(2)(2)log(2)(2)11.(4)()33.点评：首先
15、将其转化为指数式，进一步根据指数幂的运算性质算出结果，对数的定义是转化和对数恒等式的依据1把下列各题的指数式写成对数式：(1)4216；(2)301；(3)4x2；(4)2x0.5；(5)54625；(6)32；(7)216.解：(1)2log416；(2)0log31；(3)xlog42；(4)xlog20.5；(5)4log5625；(6)2log3；(7)2.2把下列各题的对数式写成指数式：(1)xlog527；(2)xlog87；(3)xlog43；(4)xlog7；(5)log2164；(6)3；(7)logx6；(8)logx646；(9)log21287；(10)log327a.
16、解：(1)5x27；(2)8x7；(3)4x3；(4)7x；(5)2416；(6)327；(7)()6x；(8)x664；(9)27128；(10)3a27.3求下列各式中x的值：(1)log8x；(2)logx27；(3)log2(log5x)1；(4)log3(lg x)0.解：(1)因为log8x，所以x22；(2)因为logx27，所以2733，即x3481；(3)因为log2(log5x)1，所以log5x2，x5225；(4)因为log3(lg x)0，所以lgx1，即x10110.4(1)求log84的值；(2)已知loga2m，loga3n，求a2mn的值解：(1)设log84
17、x，根据对数的定义有8x4，即23x22，所以x，即log84；(2)因为loga2m，loga3n，根据对数的定义有am2，an3，所以a2mn(am)2an(2)234312.点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化，还涉及到常见的幂的运算法则的应用请你阅读课本，搜集有关对数发展的材料，以及有关数学家关于对数的材料，通过网络查寻关于对数换底公式的材料，为下一步学习打下基础(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数1将下列指数式与对数式互化，有x的求出x的值(1)；(2)log4x；(3)3x；(4)x64；
18、(5)lg 0.000 1x；(6)ln e5x.解：(1)化为对数式是log5；(2)xlog4化为指数式是()x4，即22，2，x4；(3)3x化为对数式是xlog3，因为3x333，所以x3；(4)x64化为对数式是x，因为x6443，所以x3；(5)lg 0.000 1x化为指数式是10x0.000 1，因为10x0.000 1104，所以x4；(6)ln e5x化为指数式是exe5，因为exe5，所以x5.2计算的值解：设xlog3，则3x，(3)x()，所以xlog.所以.3计算alogablogbclogcN(a0，b0，c0，N0)解：alogablogbclogcNblogbclogcNclogcNN.本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上，为了运算的方便，引进了对数的概念，使学生感受到对数的现实背景，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习对数函数的基础，鉴于这种情况，安排教学时，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，通俗易懂，要反复练习，要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别，结合指数式理解对数式，强化对数是一种运算，并注意对数运算符号的理解和记忆，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务，为下一节课作准备(设计者：路致芳)
