1、指数函数的性质及其应用基础过关练题组一指数型函数的单调性及其应用1.已知a=5-12,函数f(x)=ax,若实数m、n满足f(m)f(n),则m、n的关系为()A.m+n0C.mnD.mbcB.acbC.bcaD.cba3.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间1,2上都是减函数,则a的取值范围是()A.12,1B.0,12C.0,1D.(0,14.(2021山西大学附中高一上期中)函数f(x)=13-x2+2x的单调递增区间为.5.若函数y=|2x-1|在(-,m上单调递减,则m的取值范围是.6.已知定义在R上的偶函数f(x)满足:当x0时,f(x)=2x+a2x,f(
2、1)=52.(1)求实数a的值;(2)用定义法证明f(x)在(0,+)上是增函数;(3)求函数f(x)在-1,2上的值域.题组二含指数的方程与不等式7.方程4x-32x+2=0的解构成的集合为()A.0B.1C.0,1D.1,28.(2020湖南株洲高一下调研)设集合M=x|-1x3,N=x|2x1,则MN=()A.(-1,0)B.0,3C.1,3D.3,+)9.若132a+1133-2a,则实数a的取值范围是()A.(1,+)B.12,+C.(-,1)D.-,1210.(2020广东深圳高一上期末)设函数f(x)=-x+1,x0,2-x,x0,则f(x)14的解集是.11.已知集合A=x|1
3、22x-44,B=x|x2-11x+180.(1)求R(AB);(2)已知C=x|axa+1,若CB,求实数a的取值集合.12.已知函数y=22x-1-32x+5.(1)如果y13,求x的取值范围;(2)如果0x2,求y的取值范围.题组三指数型函数的应用13.已知函数f(x)=3x-13x,则f(x)是()A.奇函数,且在R上是增函数B.偶函数,且在R上是增函数C.奇函数,且在R上是减函数D.偶函数,且在R上是减函数14.某种细菌在培养过程中,每15min分裂一次(由1个分裂成2个),这种细菌由1个分裂成4096个需经过()A.12hB.4hC.3hD.2h15.函数f(x)=13x+1+a是
4、奇函数,则实数a的值是()A.0B.12C.-12D.116.若定义运算:f(a*b)=b,ab,a,abcB.cabC.bacD.cba3.(2021河北安平中学高一上月考,)若函数f(x)=a|2x-4|(a0,a1)满足f(1)=19,则f(x)的单调递减区间是()A.(-,2B.2,+)C.-2,+)D.(-,-24.()已知函数f(x)=ax-2(a0,且a1),f(x0)=0且x0(0,1),则()A.1a2C.a2D.a=25.(2021广东汕头澄海中学高一上期中,)若不等式3x2-2ax13x+1对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.-12,32B.-12,32C.-
5、,-1232,+D.-,-1232,+6.(2019福建福州八县(市)一中高一上期末联考,)已知集合A=x|x1,B=x|12x14,则AB=()A.RB.(1,+)C.(-,2)D.(1,2)7.(2020湖北黄冈育才高中高一上期中,)设函数f(x)=2-x,x0,1,x0,则满足f(x+1)0,且a1)在区间(1,3)上单调递增,则实数a的取值范围为()A.(1,2)B.(0,1)C.(1,4D.4,+)9.(2021河北定州二中高一上月考,)若一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL之后停止喝酒,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地规定:
6、驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL,那么这个人至少经过小时才能开车(精确到1小时)()A.3B.4C.5D.610.()已知y=f(x+1)是偶函数,且当xf(3x)B.f(2x)1,4-a2x+2,x1是R上的增函数,则实数a的取值范围是.13.()函数f(x)=ex-e-xex+e-x+2,若有f(a)+f(a-2)4,则a的取值范围是.三、解答题14.()已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)=e-x.(1)求函数f(x)在R上的解析式,并作出函数f(x)的大致图像;(2)根据图像写出函数f(x)的单调区间和值域.15.()已知定义域为R的函数f(x)=-
7、2x+a2x+1是奇函数.(1)求实数a的值;(2)用定义证明:函数f(x)在R上是减函数.16.()设函数f(x)=ax-(k-1)a-x(a0,且a1)是定义域为R的奇函数.(1)求实数k的值;(2)若f(1)0,求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)0,且a1).(1)求k的值;(2)求函数g(x)在-2,1上的最大值和最小值;(3)当a=2时,g(x)-2mt+3对所有的x-1,0及m-1,1恒成立,求实数t的取值范围.答案全解全析第三章指数函数和对数函数3指数函数第3.1指数函数的概念第3.2指数函数y=2x和y=12x的图像和性质第3.3指数函数的图像和性质第2课时指数函数的性质
8、及其应用基础过关练1.D2.D3.D7.C8.B9.B13.A14.C15.C16.A1.D05-12f(n),mn,故选D.2.D根据函数y=0.3x单调递减,知a=0.30.6b=0.30.5;根据函数y=x0.5单调递增,知b=0.30.5ba.故选D.3.D由f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2在区间1,2上递减得a1,由g(x)=(a+1)1-x在区间1,2上递减得a+11,解得a0.因此a的取值范围是(0,1,故选D.4.答案1,+)解析函数f(x)的定义域为R,设u=g(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,则函数u在(-,1上单调递增,在1,+)上单调递减,而y=1
9、3u为减函数,所以函数f(x)=13-x2+2x的单调递增区间为1,+).5.答案(-,0解析在平面直角坐标系中作出y=2x的图像,把图像沿y轴向下平移1个单位长度得到y=2x-1的图像,再把y=2x-1的图像在x轴下方的部分关于x轴翻折,其余部分不变,如图实线部分,得到y=|2x-1|的图像.由图可知y=|2x-1|在(-,0上单调递减,m(-,0.6.解析(1)由题意得f(1)=2+a2=52,a=1.(2)证明:由(1)可知a=1,f(x)=2x+12x.任取x1,x2(0,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=2x1+12x1-2x2+12x2=2x1-2x2+2x2-2x12x
10、12x2=(2x1-2x2)(2x1+x2-1)2x1+x2.0x1x2,12x11,即2x1-2x20,f(x1)-f(x2)0,f(x1)52,在区间-1,2上,f(x)max=f(2)=174,f(x)在-1,2上的值域为2,174.7.C令2x=t(t0),则4x=(2x)2=t2,原方程可化为t2-3t+2=0,解得t=1或t=2.当t=1时,2x=1=20,解得x=0;当t=2时,2x=2=21,解得x=1.因此原方程的解构成的集合为0,1,故选C.8.BN=x|2x1=x|2x20=x|x0,M=x|-13-2a,a12.10.答案2,+)解析当x0时,f(x)14-x+114,
11、解集为;当x0时,f(x)142-x14,解得x2,所以不等式的解集是2,+).11.解析由122x-44得2-12x-422,因此-1x-42,即3x6,A=x|3x6.由x2-11x+180得(x-2)(x-9)0,解得2x9,B=x|2x9.(1)AB=x|3x6,R(AB)=x|xa恒成立,C.由CB,且C得a2,a+19,解得2a8,故实数a的取值集合为a|2a8.12.解析由题意知y=12(2x)2-32x+5.(1)由y13,得(2x)2-62x-160,所以(2x-8)(2x+2)0,所以2x-80,解得x3,所以x的取值范围为(-,3).(2)因为0x2,所以12x4,又因为
12、y=12(2x-3)2+12,所以当2x=3时,y取得最小值,且最小值为12;当2x=1时,y取得最大值,且最大值为52,所以y的取值范围为12,52.13.A易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=3-x-13-x=13x-3x=-f(x),f(x)是奇函数,又y=3x是增函数,且y=13x是减函数,从而y=-13x是增函数,f(x)=3x-13x是R上的增函数,故选A.14.C设这种细菌由1个分裂成4096个需分裂x次,则4096=2x,解得x=12,故这种细菌由1个分裂成4096个需经过1512=180(min),即3h,故选C.15.C函数f(x)=13x+1+a的定义域
13、为R,因此f(0)=0,即130+1+a=0,解得a=-12.此时,f(x)=13x+1-12=1-3x2(3x+1)符合题意,故选C.16.A由定义可知该函数是求a,b中较小的那一个,所以分别画出y=3x与y=3-x=13x的图像,如图所示,实线部分为函数f(3x*3-x)的图像.由图像知,函数f(3x*3-x)的值域是(0,1,故选A.17.信息提取2020年木材蓄积量为200万立方米;木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.数学建模本题以木材蓄积量的增长为背景,构建指数型函数模型,利用指数函数知识来解决实际问题.对于增长率问题一般建立指数型函数模型,此时还要注意实际问题中函数的定义域.解析现
14、有木材蓄积量为200万立方米,经过1年后木材蓄积量为200+2005%=200(1+5%);经过2年后木材蓄积量为200(1+5%)+200(1+5%)5%=200(1+5%)2;经过x年后木材蓄积量为y=200(1+5%)x(x0),由于2001.058296300,故经过9年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米.方法技巧由于增长率问题多抽象为指数函数形式,而由指数函数形式来确定相关量的值时计算量大,因此常采用近似计算的方法求解.18.解析(1)证明:由题意知f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=3-x-13-x+1=(3-x-1)3x(3-x+1)3x=1-3x1+3x=-f
15、(x),f(x)为奇函数.(2)f(x)在定义域上是增函数.证明如下:任取x1,x2R,且x1x2,则f(x2)-f(x1)=3x2-13x2+1-3x1-13x1+1=1-23x2+1-1-23x1+1=2(3x2-3x1)(3x1+1)(3x2+1).x10,3x1+10,3x2+10,f(x2)-f(x1)0,f(x2)f(x1),f(x)为R上的增函数.(3)由题得f(x)=3x-13x+1=1-23x+1.3x03x+11023x+12-2-23x+10,-11-23x+10时,f(x)=1210-ax=2ax-10是增函数,则当x-1,2时,f(x)max=f(2)=22a-10=
16、16,所以a=7;当a0时,f(x)=1210-ax=2ax-10是减函数,则当x-1,2时,f(x)max=f(-1)=2-a-10=16,所以a=-14.综上,a=-14或a=7.能力提升练1.A2.B3.B4.B5.A6.D7.D8.C9.C10.C一、选择题1.A设f(x)=ex-e-x,由定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=-f(x)知,函数f(x)是R上的奇函数,又f(x)=ex-e-x是增函数,故选A.2.By=0.8x在R上是减函数,且00.70.9,0.80.90.80.70,1.201.20.8,即11.20.8.综上所述,bac,故选B.3.B由f(1)=19得a2=
17、19,a=13或a=-13(舍去),即f(x)=13|2x-4|.由于y=|2x-4|在(-,2上单调递减,在2,+)上单调递增,所以f(x)在(-,2上单调递增,在2,+)上单调递减,故选B.4.Bx0(0,1),f(x0)=0,且函数f(x)是单调函数,f(0)f(1)0,(1-2)(a-2)2.故选B.5.A因为不等式3x2-2ax13x+1对一切实数x恒成立,所以3x2-2ax(3-1)x+1对一切实数x恒成立,即x2-2ax-x-1对一切实数x恒成立,所以x2+(1-2a)x+10对一切实数x恒成立,故=(1-2a)2-40,解得-12a14=x12x122=x|x2,AB=x|1x
18、2,故选D.7.D作出函数f(x)的图像如图,观察图像可知,有2x0,2xx+1,解得x0,所以满足f(x+1)f(2x)的x的取值范围是(-,0),故选D.8.C根据复合函数的单调性可知,当0a1时,f(x)在-,a4上单调递增,在a4,+上单调递减.因为函数f(x)在(1,3)上单调递增,所以0a1时,f(x)在-,a4上单调递减,在a4,+上单调递增.因为函数f(x)在(1,3)上单调递增,所以a1,a41,解得1a4,所以实数a的取值范围为(1,4.故选C.9.答案C信息提取某人血液中的酒精含量为0.3mg/mL;血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少;规定驾驶员血液中的酒精含量不得
19、超过0.09mg/mL.数学建模本题以酒后多少小时才能安全驾驶为背景,构建指数型函数模型,通过列不等式求解.解析设这个人经过x小时后才能开车,则有0.3(1-0.25)x0.09,即34x0.3,当x=3或x=4时不等式不成立,当x=5时,不等式成立,故x的最小值为5.故选C.10.C由y=f(x+1)是偶函数得,f(1+x)=f(1-x),从而f(x)的图像关于直线x=1对称,又f(x)在x1时,f(x)是增函数.当x0时,03x2xf(2x);当x0时,12xf(2x);当x=0时,2x=3x=1,从而f(3x)=f(2x).综上所述,f(2x)f(3x),故选C.二、填空题11.答案0解
20、析依题意得f(-x)=e-x-ex2=-f(x),g(-x)=e-x+ex2=g(x),f(-x)g(-x)+f(x)g(x)=-f(x)g(x)+f(x)g(x)=0.12.答案4,8)解析当x1时,f(x)=ax是增函数,a1.当x1时,f(x)=4-a2x+2是增函数,4-a20,解得a8.又f(x)在R上是增函数,4-a21+2a1,解得a4.由得4a4得F(a)+F(a-2)0,于是可得F(a)F(2-a),即a2-a,解得a1.三、解答题14.解析(1)当x0,所以f(-x)=ex.因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=ex(x0),所以f(x)=ex,x0,e-x,x0
21、.作出大致图像如图所示:(2)由图像得,函数f(x)的单调递增区间是(-,0,单调递减区间是0,+),值域是(0,1.15.解析(1)因为函数f(x)=-2x+a2x+1在R上是奇函数,所以f(0)=0,即a-12=0,所以a=1,此时f(x)=-2x+12x+1是奇函数,满足题意.(2)证明:由(1)知f(x)=-2x+12x+1=-1+22x+1,任取x1,x2R,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-1+22x1+1-1+22x2+1=2(2x2-2x1)(2x1+1)(2x2+1).因为x1x2,所以2x10,又2x10,2x20,所以f(x1)-f(x2)=2(2x2-2x1)(2
22、x1+1)(2x2+1)0,所以f(x1)f(x2),所以函数f(x)在R上是减函数.16.解析(1)f(x)为奇函数,f(0)=0,k=2.此时f(x)=ax-a-x为奇函数,k=2符合题意.(2)由(1)得f(x)=ax-a-x.f(1)0,a-1a0,0a1,f(x)在R上为减函数,又f(x2+tx)+f(4-x)0在R上恒成立,即f(x2+tx)x-4在R上恒成立,x2+(t-1)x+40在R上恒成立,0,即(t-1)2-4140,解得-3t32时,h(t)在区间32,m上单调递减,在区间m,+)上单调递增,h(t)min=h(m)=-2,解得m=2(负值舍去).综上所述,m=2.17
23、.解析(1)因为函数f(x)=2kx2+x(k为实常数)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即2kx2-x=-2kx2-x,所以k=0.(2)由(1)知,g(x)=af(x)+1=ax+1(a0,且a1).当a1时,g(x)在-2,1上是增函数,g(x)的最大值为g(1)=a+1,g(x)的最小值为g(-2)=1a2+1;当0a1时,g(x)在-2,1上是减函数,g(x)的最大值为g(-2)=1a2+1,g(x)的最小值为g(1)=a+1.(3)当a=2时,g(x)=2x+1在-1,0上是增函数,则g(x)g(0)=2,所以-2mt+32,即2mt-10对所有的m-1,1恒成立,令h(m)=2tm-1,则h(-1)0,h(1)0,即-2t-10,2t-10,解得-12t12,故实数t的取值范围是-12,12.
