1、1.2 函数的极值 伴随着社会进步和生产力的不断发展,在工程技术,科学研究,经济活动分析诸多领域都提出了大量最优化问题.这些问题的本质特征是:在一定的投入水平下,如何寻求最大的效益；或在设定的效益水平下,如何降低投入.刻画这类问题的数学语言是:对于变量之间的函数,当自变量取何值时,函数变量的值能达到相对的最大或最小.这就是函数的极值,本节课就要学习如何利用导数求函数的极值.高手支招1细品教材一、函数的极值状元笔记 极大值点与极小值点可以同时存在着若干个或一个都不存在;并且极大值点并不一定比极小值点的极值大.1.极大值与极小值(1)极大值:一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对于x0附
2、近的所有的点,都有f(x)f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0),x0是极大值点.(2)极小值:一般地,设函数f(x)在x0附近有定义,如果对于x0附近的所有的点,都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0),x0是极小值点.2.极值极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.【示例1】 对于导函数f(x)存在的函数f(x)上的点,在一点两侧的导数异号是这点为极值点的（ ）A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件思路分析:由极大、极小值的判别方法可以知道是充要条件.由极大
3、值点的定义,对任意xx0,f(x)f(x0).所以左侧是增函数,所以f(x)0;对任意xx0,f(x)f(x0).右侧是减函数,所以f(x)0,所以x0两侧的导数异号,当x0是极小值点时,同样可以证明.答案:C【示例2】函数f(x)=asinx+sin3x在x=处有极值,求a的值.思路分析:f(x)在x=处有极值,根据一点是极值点的必要条件可知,f()=0,可求出a的值.解:f(x)=(asinx+sin3x)=acosx+cos3x,f()=0,acos+cos(3)=0,a-1=0,a=2.二、利用导数判断函数的极值状元笔记 若x0为f(x)的极值点,则f(x0)=0.反之,导数为零的点不
4、一定为极值点.因此导数为零仅是该点为极值点的必要条件.1.当函数f(x)在点x0处的导数f(x)存在时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:(1)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么,f(x0)是极小值.2.当f(x)存在时，求函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间,求导数f(x).(2)求方程f(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间,并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那
5、么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.状元笔记 f(x)在x0处的导数为0是f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件.【示例】求函数y=x4x2-1的极值.思路分析:利用求极值的一般方法步骤.解:y=x3-x,令y=0,得x1=-1,x2=0,x3=1.将x、y及在相应区间上y的符号关系列表如下:X(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)y-0+0-0+y极小值极大值-1极小值 所以当x=-1时,函数有极小值;当x=0时,函数有极大值-1;当x=1时,函数有极小值.高手支招2基础整理 本节学习了函数的极大值、极小值的定义、判别方法以及求可导函数f(x)的极值的三个步骤.要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在整个定义区间上可能有多个极值.可导函数极值点的导数为0,但导数为零的点不一定是极值点,要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点.
