1、课堂导学三点剖析一、双曲线的定义【例1】 已知双曲线的两个焦点F1、F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程.解：若以线段F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则双曲线的方程为标准形式.由题意得2a=24,2c=26.a=12,c=13，b2=132-122=25.当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程为=1.若以线段F1F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系，则双曲线的方程为=1.温馨提示 求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系.求双曲线的标准方程就是求a2、b2的值，
2、同时还要确定焦点所在的坐标轴.双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看x2、y2的分母的大小，而是看x2、y2的系数的正、负.二、求双曲线的标准方程【例2】 求满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）经过点A（1，），且a=4;(2)经过点A（2，）、B（3，-2）.解析:（1）若所求双曲线方程为=1（a0，b0），则将a=4代入，得=1，又点A（1，）在双曲线上，=1，解得b20，不合题意，舍去.若所求双曲线方程为=1（a0，b0），同上，解得b2=9，双曲线的方程为=1.（2）设双曲线方程为mx2+ny2=1（mn0），点A（2，）、B（3，）在双曲线上，.解之，得.所求双曲线的方程为.三、确定方
3、程表示的曲线类型【例3】 已知方程kx2+y2=4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型.解：（1）当k=0时，y=2，表示两条与x轴平行的直线.（2）当k=1时，方程为x2+y2=4，表示圆心在原点，半径为2的圆.（3）当k0时，方程为=1，表示焦点在y轴上的双曲线.（4）当0k1时，方程为=1，表示焦点在x轴上的椭圆.（5）当k1时，方程为=1，表示焦点在y轴上的椭圆.温馨提示 本题是判定方程所表示的曲线类型题目.对参数k讨论时，首先要找好讨论的分界点，除了区别曲线类型外，同一类曲线还要区别焦点在x轴和y轴的情况.各个击破类题演练 1(2006辽宁高考，9) 已知点
4、F1(-,0)、F2(,0)，动点P满足|PF2|-|PF1|=2.当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是（ ）A. B. C. D.2答案：A变式提升 1在MNG中，已知NG=4.当动点M满足条件sinG-sinN=sinM时，求动点M的轨迹方程.解析：如右图所示，以NG所在的直线为x轴，以线段NG的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.sinG-sinN=sinM，由正弦定理，得|MN|-|MG|=4.由双曲线的定义知，点M的轨迹是以N、G为焦点的双曲线的右支（除去与x轴的交点）.2c=4,2a=2,即c=2,a=1.b2=c2-a2=3.动点M的轨迹方程为x2-=1(x0，且y0).类题演
5、练 2双曲线=1(a0,b0)与直线x=6的一个交点到两焦点的距离分别是30和20,求该双曲线的方程.解:将x=6代入双曲线方程,得-=1,则y=,设一个交点P的坐标为(6,),则由题意,得,解之得a=5,b2=.故所求的双曲线方程为=1.变式提升 2在面积为1的PMN中，tanPMN=,tanMNP=2,建立适当坐标系，求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程.解:以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，设P（x0,y0)、M(-c,0)、N(c,0)(y00,c0),（如右图）则解得.设双曲线方程为=1（y0）,将点P（，）代入，可得a2=.所求双曲线方程为=1（y0）.类题演练 3试一试：已知F1（-8，3）、F2（2，3），动点P适合|PF1|-|PF2|=2a，当a为3和5时，P点的轨迹为（ ）A.双曲线和一直线 B.双曲线和一射线C.双曲线一支和一直线 D.双曲线一支和一射线答案：D变式提升 3如果=-1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距C的取值范围是（ ）A.（1，+） B.（0，2）C.（2，+） D.（1，2）答案：A
