1、圆与圆的位置关系基础过关练题组一圆与圆的位置关系的判断1.(2020江苏泰兴黄桥中学高二期中)圆(x-4)2+y2=9与圆x2+(y-3)2=4的位置关系是()A.内含B.内切C.相交D.外切2.(2020江苏南通田家炳中学高二月考)圆x2+(y-1)2=1与圆(x-1)2+y2=1的公共点的个数为()A.0B.1C.2D.33.(2020江苏无锡高一期中)已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0,则圆C1与圆C2的位置关系为.4.已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x=0.(1)当m=1时,判断圆C1与圆C2的位置关系;(2)是
2、否存在实数m,使得圆C1与圆C2内含?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.题组二圆与圆的相切问题5.(2020江苏无锡江阴第一中学高二月考)圆C1:x2+y2+4x-4y+7=0与圆C2:x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是()A.1B.2C.3D.46.(2020江苏南京六合高级中学高二期中)已知半径为25的圆M与圆x2+y2=5外切于点P(1,2),则点M的坐标为()A.(3,6)B.(-6,3)C.(-3,-6)D.(6,3)7.(2020江苏无锡太湖高级中学高二期中)已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-4)2+y2=25,则两圆公切线的方程为.8.(2020江
3、苏苏州第一中学月考)已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.(1)当两圆外切时,m为何值?(2)当两圆内切时,m为何值?题组三圆与圆的相交弦问题9.(2020湖北武汉外国语学校高二期中)圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2-2x+y2+4y=0的公共弦所在直线的方程为()A.2x+4y-1=0B.2x+4y+1=0C.2x-4y-1=0D.2x-4y+1=010.(2020江苏南京第九中学高二期中)圆C1:x2+y2=16与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9的公共弦长为()A.125B.165C.245D.32511.(2020山东青岛第二中学高二月考)
4、圆x2+y2+x=0与圆x2+y2-2y=0的公共弦所在直线的方程为.12.(2020江苏南京航空航天大学附属高级中学高二期中)已知圆C1:x2+y2-4x+2y=0与圆C2:x2+y2-2y-4=0.(1)求证:两圆相交;(2)求两圆公共弦所在直线的方程.题组四圆与圆的位置关系的综合运用13.(2020江苏无锡辅仁高级中学高二期中)若圆(x-a)2+(y-a)2=4上有且仅有两个点到原点的距离为2,则实数a的取值范围为()A.(-22,0)B.(-22,0)(0,22)C.(-22,-1)(1,22)D.(0,22)14.(2020辽宁大连高二月考)若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的
5、距离分别为1,2,则这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条15.(2020湖北宜昌高三调研)已知两点A(-1,0),B(1,0)及圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2(r0),若圆C上存在点P,满足APPB=0,则r的取值范围是()A.3,6B.3,5C.4,5D.4,6能力提升练题组一圆与圆的位置关系1.(2020江苏淮安中学高二期中,)已知圆C1的标准方程是(x-4)2+(y-4)2=25,圆C2:x2+y2-4x+my+3=0关于直线x+3y+1=0对称,则圆C1与圆C2的位置关系为()A.外离B.相切C.相交D.内含2.(多选)(2020山东聊城高二期中,)点P在圆C1:x
6、2+y2=1上,点Q在圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0上,则()A.PQ的最小值为0B.PQ的最大值为7C.两个圆心所在直线的斜率为-43D.两个圆的相交弦所在直线的方程为6x-8y-25=03.(2020江苏连云港高级中学月考,)已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a0).试求a为何值时,两圆C1、C2:(1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含.题组二圆与圆的相切问题4.(2020山东潍坊寿光一中高二期中,)圆C1:x2+y2-4x+3=0与圆C2:(x+1)2+(y-a)2=16恰有两条公切线,则实数a的取值范围
7、是()A.-4,4B.(-4,4)C.(-4,0)(0,4)D.-4,0)(0,45.(2020福建漳州平和第一中学高二期中,)已知O1:x2+(y-1)2=1与O2:(x-a)2+(y-2)2=9有且仅有3条公切线,则a的取值范围是()A.(-,-15)(15,+)B.(-15,-3)(3,15)C.-15,15D.-3,36.(多选)(2020江苏南通第一中学高二月考,)已知两圆方程分别为x2+y2=16与(x-4)2+(y+3)2=r2(r0),则下列说法正确的是()A.若两圆外切,则r=1B.若两圆公共弦所在直线的方程为8x-6y-37=0,则r=2C.若两圆在交点处的切线互相垂直,则
8、r=3D.若两圆有三条公切线,则r=27.(2019湖南长沙长郡中学高三一模,)已知圆C1:(x-2)2+(y-2)2=r12(r10),圆C2:(x+1)2+(y+1)2=r22(r20),若圆C1与圆C2相切,并且两圆的一条公切线的斜率为7,则r1r2=.8.(2020江苏泰州中学高二月考,)已知圆O:x2+y2=144与圆O1:x2+30x+y2+216=0,试判断两圆的位置关系,并求两圆公切线的方程.题组三圆与圆的相交弦问题9.(多选)(2020江苏如皋江安高级中学高二期中,)圆x2+y2-2x+2y-2=0与圆x2+y2-2ax-2ay+2a2-9=0的公共弦长为372,则a的值为(
9、)A.2B.178C.1D.34410.(2020安徽蚌埠第三中学高二月考,)已知圆C1:x2+y2+2x=0,圆C2:x2+y2-2x-2y-2=0,C1,C2分别为两圆的圆心.(1)求圆C1和圆C2的公共弦长;(2)过点C1的直线l交圆C2于A,B两点,且AB=14,求直线l的方程.题组四圆与圆的位置关系的综合应用11.(多选)(2020江苏南京宁海中学高二期中,)在平面上有相异两点A,B,设点P在同一平面上且满足PA=PB(其中0,且1),则点P的轨迹是一个圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆.设A(-a,0),B(a,0),a为正实数,则下列说法正确的是()A.当=2时,此阿波罗尼斯圆的半径r=
10、43aB.当=12时,以AB为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切C.当01时,点A在阿波罗尼斯圆外,点B在阿波罗尼斯圆内12.(2020山东青岛胶州一中高二期中,)已知圆C1:x2+y2-kx+2y=0与圆C2:x2+y2+ky-4=0的公共弦所在的直线恒过定点P,且点P在直线mx-ny-2=0上,则mn的取值范围是.13.(2020江苏苏州高二期中,)如图,已知圆C1:(x+2)2+(y-1)2=1和圆C2:(x-4)2+(y-4)2=4.(1)求两圆所有公切线的斜率;(2)设P为平面上一点,若存在过点P的无穷多条直线l与圆C1和圆C2相交,且直线l被圆C2截得的弦长是被圆C1截得的弦长的2倍,试
11、求所有满足条件的点P的坐标.答案全解全析基础过关练1.D圆(x-4)2+y2=9与圆x2+(y-3)2=4的圆心距为(4-0)2+(0-3)2=5,两圆的半径之和为3+2=5,所以两圆外切,故选D.2.C圆x2+(y-1)2=1的圆心为(0,1),半径r1=1,圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径r2=1,圆心距为(0-1)2+(1-0)2=2,r1-r22r1+r2,两圆相交,两圆的公共点的个数为2.故选C.3.答案相交解析设圆C1的半径为r1,圆C2的半径为r2,由题意得C1(0,0),r1=1,C2(1,1),r2=1,故C1C2=(0-1)2+(0-1)2=2,因为r1-r
12、2=0|C1C2|2=r1+r2,所以圆C1与圆C2的位置关系为相交.4.解析(1)当m=1时,两圆的方程分别可化为C1:(x-1)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+y2=1.两圆的圆心距d=(1+1)2+(-2-0)2=22.设圆C1的半径为r1,圆C2的半径为r2,则r1=3,r2=1,r1+r2=3+1=4,r1-r2=3-1=2,r1-r2dr1+r2,圆C1与圆C2相交.(2)假设存在实数m,使得圆C1与圆C2内含,则C1与C2的圆心距d=(m+1)2+(-2-0)23-1,即(m+1)2r.当O1O2R+r时,两圆外离,没有交点;当O1O2=R+r时,两圆外切,有一个交点;
13、当R-rO1O2R+r时,两圆相交,有两个交点;当O1O2=R-r时,两圆内切,有一个交点;当O1O21+4=5,所以两圆外离,因此它们有4条公切线.故选D.6.A设点M的坐标为(a,b),圆x2+y2=5的圆心为(0,0),半径为5,由圆M的半径为25,且圆M与圆x2+y2=5外切于点P(1,2),得(a-1)2+(b-2)2=25,a2+b2=35,所以a=3,b=6,所以点M的坐标为(3,6).故选A.7.答案x=-1解析圆C1:x2+y2=1,圆心为C1(0,0),半径为1;圆C2:(x-4)2+y2=25,圆心为C2(4,0),半径为5.易知两圆内切,切点为(-1,0),又两圆圆心都
14、在x轴上,所以两圆公切线的方程为x=-1.8.解析设圆x2+y2-2x-6y-1=0的圆心为M,半径为r1,圆x2+y2-10x-12y+m=0的圆心为N,半径为r2,易知两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,则M(1,3),N(5,6),r1=11,r2=61-m,圆心距MN=(5-1)2+(6-3)2=5.(1)当两圆外切时,圆心距MN=r1+r2,即5=11+61-m,解得m=25+1011.(2)当两圆内切时,因为r1=11MN,所以MN=r2-r1,即5=61-m-11,解得m=25-1011.9.C由圆C1:x2+y2=1与圆C
15、2:x2-2x+y2+4y=0,得圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为x2+y2-1-(x2-2x+y2+4y)=0,即2x-4y-1=0.故选C.10.C两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为3x+4y-16=0,圆心(0,0)到公共弦所在直线的距离d=|-16|32+42=165,所以所求弦长为242-1652=245.11.答案x+2y=0解析两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程为x2+y2+x-(x2+y2-2y)=0,即x+2y=0.12.解析(1)证明:圆C1的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=5,圆C2的方程可化为x2+(y-1)2=5,C1(2,-1),C2(0,1),两圆
16、的半径均为5,C1C2=(0-2)2+(1+1)2=22,22(0,25),两圆相交.(2)将两圆的方程相减,得公共弦所在直线的方程为(x2+y2-4x+2y)-(x2+y2-2y-4)=0,即x-y-1=0.13.B由题意可得已知圆与圆x2+y2=4相交,2-2a2+a22+2,0a2+a24,解得-22a22且a0,故选B.14.C以点A为圆心,1为半径的圆的方程为(x-1)2+y2=1,以点B为圆心,2为半径的圆的方程为(x-4)2+y2=4,则直线l为两圆的公切线,AB=3=1+2,圆A与圆B外切,两圆的公切线有3条,即满足题意的直线有3条,故选C.15.D因为APPB=0,所以点P在
17、以AB为直径的圆上,该圆的方程为x2+y2=1,又点P在圆C上,所以两圆有公共点.又两圆的圆心距d=5,所以|r-1|5r+1,解得4r6.能力提升练1.C由题意可得,圆C1:(x-4)2+(y-4)2=25的圆心为C1(4,4),半径为5.因为圆C2:x2+y2-4x+my+3=0关于直线x+3y+1=0对称,所以2+3-m2+1=0,解得m=23,所以圆C2:(x-2)2+(y+3)2=4,其圆心为(2,-3),半径为2,则C1C2=(4-2)2+(4+3)2=23+83,因为5-2C1C2R+r,两圆相离,无公共弦,D错误.故选BC.3.解析设圆C1、C2的半径分别为r1、r2.易得C1
18、:(x-a)2+(y-1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,C1(a,1),r1=4,C2(2a,1),r2=1,C1C2=(a-2a)2+(1-1)2=a.(1)当C1C2=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;当C1C2=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.(2)当3C1C25,即3a5,即a5时,两圆外离.(4)当0C1C23,即0a3时,两圆内含.4.C将方程x2+y2-4x+3=0变形为(x-2)2+y2=1,所以圆C1的圆心为C1(2,0),半径r1=1,易知圆C2的圆心为C2(-1,a),半径r2=4,因为圆C1与圆C2恰有两条公切线,所以圆C1与圆C2相交,则
19、|r1-r2|C1C2r1+r2,即3(-1-2)2+a25,解得-4a4且a0.故选C.5.C由题意得O1的圆心为O1(0,1),半径为1,O2的圆心为O2(a,2),半径为3.因为O1:x2+(y-1)2=1与O2:(x-a)2+(y-2)2=9有且仅有3条公切线,所以两圆外切,所以(a-0)2+(2-1)2=1+3,解得a=15或a=-15,所以a的取值范围是-15,15.故选C.6.ABC由圆的方程可知,两圆圆心分别为(0,0),(4,-3),半径分别为4,r,所以圆心距为5.若两圆外切,则4+r=5,解得r=1,此时两圆有三条公切线,故A正确,D错误;当两圆相交时,两圆公共弦所在直线
20、的方程为8x-6y-41+r2=0,所以-41+r2=-37,解得r=2(负值舍去),故B正确;因为两圆在交点处的切线互相垂直,所以一个圆的切线必过另一个圆的圆心,所以两圆圆心连线与两圆半径所在直线必围成一个直角三角形,故52=42+r2,解得r=3(负值舍去),故C正确.故选ABC.7.答案7225解析根据题意作出如下图形:直线AB为圆C1和C2的公切线,切点分别为B,A.当公切线AB与直线C1C2平行,即r1=r2时,AB的斜率不为7,所以r1r2.不妨设r1r2,过C1作AB的平行线交AC2于点E,则EC2=r2-r1,AB=EC1且ABEC1,易知C1(2,2),C2(-1,-1),则
21、C1C2=(2+1)2+(2+1)2=32=r1+r2,直线C1C2的斜率为2+12+1=1,所以直线AB与直线C1C2的夹角的正切值为1-71+7=34.在直角三角形EC1C2中,EC2EC1=34,所以EC1=43(r2-r1),又EC12+EC22=C1C22,所以43(r2-r1)2+(r2-r1)2=(r1+r2)2,所以4r1=r2,又32=r1+r2,所以r1=325,r2=1225.所以r1r2=3251225=7225.8.解析易知圆O:x2+y2=122,圆O1:(x+15)2+y2=32,O(0,0),O1(-15,0),OO1=(-15-0)2+(0-0)2=15=12
22、+3,圆O与圆O1外切,圆O与圆O1有3条公切线.如图,设两圆的一条公切线AB切圆O于点A,切圆O1于点B,与x轴相交于点P(x,0),由三角形相似得POPO1=OAO1B=123,即-x-15-x=4,解得x=-20,P(-20,0),AP=202-122=16,公切线AB的斜率k=1216=34,两圆的三条公切线方程分别为y=34(x+20),y=-34(x+20),x=-12,即3x-4y+60=0,3x+4y+60=0,x=-12.9.CD两圆方程相减,得两圆公共弦所在直线的方程为(2a-2)x+(2a+2)y+7-2a2=0,因为两圆的公共弦长为372,圆x2+y2-2x+2y-2=
23、0的圆心为(1,-1),半径为2,所以(1,-1)到直线(2a-2)x+(2a+2)y+7-2a2=0的距离d=22-3742=14,所以d=|2a-2-2a-2+7-2a2|8a2+8=14,解得a=1或a=344,故选CD.10.解析(1)两圆的方程相减,得公共弦所在直线的方程为2x+y+1=0,圆C1:(x+1)2+y2=1,圆心C1(-1,0),半径为1,则圆心C1(-1,0)到公共弦所在直线的距离为|-2+1|5=15,则圆C1和圆C2的公共弦长为21-152=455.(2)易知圆C2:(x-1)2+(y-1)2=4,圆心为C2(1,1),半径为2,当直线l的斜率不存在时,方程为x=
24、-1,此时直线l与圆C2相切,不符合题意.设直线l的方程为y=k(x+1),则圆心C2(1,1)到直线l的距离为|2k-1|k2+1=4-1422=22,所以k=1或k=17,所以直线l的方程为x-y+1=0或x-7y+1=0.11.AD设P(x,y),所以PA=(x+a)2+y2,PB=(x-a)2+y2,因为PA=PB,所以(x+a)2+y2=(x-a)2+y2,所以x-(2+1)a2-12+y2=42a2(2-1)2.A.当=2时,此阿波罗尼斯圆的半径r=2a2-1=4a3,故正确;B.当=12时,以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,阿波罗尼斯圆的方程为x+53a2+y2=16a2
25、9,两圆圆心距为53a,两半径之和为73a,两半径之差的绝对值为13a,则两圆不相切,故错误;C.当01时,阿波罗尼斯圆圆心的横坐标为(2+1)a2-1=1+22-1a1时,点A与阿波罗尼斯圆圆心的距离为(2+1)a2-1+a=22a2-12a2-1=r,故点A在阿波罗尼斯圆外,点B与阿波罗尼斯圆圆心的距离为(2+1)a2-1-a=2a2-10),则4-d22=21-d12,即d22=4d12,所以d2=2d1.设P(m,n),直线l的方程为y-n=k(x-m),即kx-y-mk+n=0,则2|-2k-1-mk+n|1+k2=|4k-4-mk+n|1+k2,因此-4k-2-2mk+2n=4k-4-mk+n或4k+2+2mk-2n=4k-4-mk+n,所以(8+m)k-2-n=0或mk+2-n=0,因为存在无穷多条直线l,所以8+m=0,-2-n=0或m=0,2-n=0,解得m=-8,n=-2或m=0,n=2,故点P的坐标为(-8,-2)或(0,2).解题模板(1)探索直线过定点问题时,可先设直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立k,b的等量关系,再进行消元,借助直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.
