1、课堂导学三点剖析 一、向量数量积的交换律和分配律【例1】 已知平面上三个向量a、b、c的模均为1,它们相互之间的夹角为120,求证:(a-b)c.证法一:|a|=|b|=|c|=1且a、b、c之间夹角均为120,(a-b)c=ac-bc=|a|c|cos120-|b|c|cos120=0.(a-b)c.证法二:如右图,设=a,=b,=c,连结AB、AC、BC的三条线段围成正三角形ABC,O为ABC的中心,OCAB.又=a-b,(a-b)c.各个击破类题演练 1若a、b、c为任意向量，mR,则下列等式不一定成立的是( )A.（a+b）+c=a+（b+c）B.m（a+b）=ma+mbC.（a+b）
2、c=ac+bcD.（ab）c=a（bc）解析:A项是向量加法结合律.B项是向量数乘分配律.C项是向量数量积分配律.故A、B、C项均正确.D项中，（ab）c表示与c共线的向量，a（bc）表示与a共线的向量，而c与a一般不共线，（ab）ca(bc）.故选D.答案:D变式提升 1（2006湖南高考,理5） 已知|a|=2|b|0,且关于x的方程x2+|a|x+ab=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是( )A.0, B.,C., D.,解析:据题意,x2+|a|x+ab=0有实根,=|a|2-4ab0.|a|24ab.cos=.,.答案:B 二、向量的数量积的应用【例2】 (本例是一组应用本节知识的
3、题目)1.（2006重庆高考,理7） 与向量a=(,),b=(,)的夹角相等,且模为1的向量是( )A.()B.()或()C.()D.()或()解析：由题意知a与b垂直,设所求向量为m,则m与a或b所成角为45或135,排除A、C.验证B或D中任一个值即可迅速得解.答案:B2.(2006重庆高考,文8) 已知三点A(2,3),B(-1,-1),C(6,k),其中k为常数.若|=|,则与的夹角为( )A.arccos() B.或arccosC.arccos D.或-arccos解析:由|=|,得k=0或6.=(-3,-4),=(4,-3)或=(4,3).|=|=5.又cos,=,代入坐标,与的夹
4、角为或-arccos.答案:D3.已知向量a、b的夹角为60,且|a|=4,|b|=2,求(1)|3a-4b|;(2)(a-b)(a+2b).解:(1)因为|3a-4b|2=9|a|2-24ab+16|b|2=916-2442cos60+164=167,所以|3a-4b|=.(2)(a-b)(a+2b)=a2+ab-2b2=16+42-24=12.类题演练 2已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为,求|a+b|、|a-b|的值.思路分析:求向量的模的问题往往转化为求模的平方,这样绝对值号就去掉了,也与向量的模及数量积联系起来了.解:因为ab=|a|b|cos=11cos=,所以|a+b|=.同理,可得|a-b|=1.变式提升 2若非零向量、满足|+|=|-|,则与的夹角为_.解析一:如图所示,以、为邻边作出OACB,则=+,=-,又|+|=|-|,即平行四边形OACB的对角线长相等,所以OACB为矩形,所以,即它们的夹角为90.解析二:因为|+|=|-|,所以2+2+2=2-2+2,即=0.所以,即、的夹角为90.答案:90温馨提示 向量问题的几何意义很重要.本题的解法一就是向量运算的几何解法,解法二则运用了向量数量积的代数运算.
