1、课堂探究探究一 一次函数模型的应用1一次函数模型的实际应用：一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则2一次函数的最值求解：一次函数求最值，常转化为求解不等式axb0(或0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值【典型例题1】 (1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y6x30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒()A.2 000套 B3 000套 C4 000套 D5 000套(2)商店出售茶壶和茶杯，茶壶定价为每个20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠一个茶杯；(2)
2、按总价的92%付款某顾客需购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯x(个)，付款y(元)，分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更优惠？(1)解析：因利润z12x(6x30 000)，所以z6x30 000，由z0解得x5 000，故至少日生产文具盒5 000套答案：D(2)解：由优惠办法(1)可得函数解析式为y12045(x4)5x60(x4，且xN)由优惠办法(2)可得y2(5x204)92%4.6x73.6(x4，且xN)y1y20.4x13.6(x4，且xN)，令y1y20，得x34.所以，当购买34个茶杯时，两种办法付款相
3、同；当4x34时，y1y2，即优惠办法(1)更省钱；当x34时，y1y2，优惠办法(2)更省钱探究二 二次函数模型的应用二次函数模型的解析式为g(x)ax2bxc(a0)在函数建模中，它占有重要的地位在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答【典型例题2】 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单
4、价x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？思路分析：本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x50,55，xN，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题解：(1)根据题意，得y903(x50)，化简，得y3x240(50x55，xN)(2)因为该批发商平均每天的销售利润平均每天的销售量每箱销售利润所以w(x40)(3x24
5、0)3x2360x9 600(50x55，xN)(3)因为w3x2360x9 6003(x60)21 200，所以当x60时，w随x的增大而增大又50x55，xN，所以当x55时，w有最大值，最大值为1 125.所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元点评 此题中要清楚平均每天的销售利润平均每天的销售量每箱销售利润，解答时还要注意利用上一问的结论探究三 分段函数模型的应用1分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏2分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集3分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论【典型例题3】 某公司生产一种产品，每年投
6、入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5tt2(万元)(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？思路分析：利润销售收入总的成本由于本题中的销量只能为500件，但生产的数量不确定，所以模型确定为分段函数模型解：(1)当0x5时，产品全部售出，当x5时，产品只能售出500件所以f(x)即f(x)(2)当0x5时，f(x)x24.75x0.5
7、，所以当x4.75(百件)时，f(x)有最大值，f(x)max10.781 25(万元)当x5时，f(x)120.25510.75(万元)故当年产量为475件时，当年所得利润最大点评 本题易归为二次函数模型处理，即x5这种情况易漏掉探究四 易错辨析易错点忽视实际问题中x的范围而致误【典型例题4】 如图所示，在矩形ABCD中，已知ABa，BCb(ab)，在AB，AD，CB，CD上分别截取AEAHCFCGx(x0)，设四边形EFGH的面积为y.(1)写出四边形EFGH的面积y与x之间的函数关系式；(2)求当x为何值时，y取得最大值，最大值是多少？错解：(1)由题意，可知AEHCGF，DGHBEF，
8、且BEDGax，BFDHbx.SAEHx2，SBFE(ax)(bx)S四边形EFGHS矩形ABCD2SAEH2SBFEabx2(ax)(bx)2x2(ab)x.即y2x2(ab)x.(2)由(1)知，y2x2(ab)x22，由二次函数的性质得，当x时，ymax.错因分析：(1)中没有注意实际问题中x的取值范围；(2)中没有讨论对称轴与区间的关系，从根本上是由(1)中没明确定义域而造成最后的错误正解：(1)由题意，可知AEHCGF，DGHBEF，且BEDGax，BFDHbx.SAEHx2，SBFE (ax)(bx)S四边形EFGHS矩形ABCD2SAEH2SBFEabx2(ax)(bx)2x2(ab)x(0xb)，即y2x2(ab)x(0xb)(2)由(1)知，y2x2(ab)x22 (0xb)若0b，即ab时，ymax，此时x；若b，即0b时，函数y2x2(ab)x在(0，b上是增函数当xb时，ymax2b2(ab)babb2.点评 对实际问题中的函数解析式一定要注意自变量x要受实际问题的约束，看似一个细节失误，它将会造成严重问题，比如，本题就直接造成了第(2)问的错误解法，因此大家不要因小失大
