1、课堂探究探究一 二次函数的定义二次函数yax2bxc(a0)，当bc0时，函数变为yax2(a0)，它的图象是一条以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线；另外二次函数有以下几种形式：(1)顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，其中(h，k)为其图象的顶点坐标(2)交点式(也称两根式)：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是其图象与x轴交点的横坐标(3)一般式：f(x)ax2bxc(a0)【典型例题1】 当m为何值时，函数y(2m)xm2m4(m8)x是二次函数？思路分析：根据二次函数的定义，只要保证二次项系数2m0且x的指数m2m42即可解：由二次函数的定义知即解得所以m3.所
2、以当m3时，函数y(2m)xm2m4(m8)x为二次函数点评在求解本题时，一定要严格把握二次函数的定义，也就是说函数yax2bxc只有在a0的条件下才是二次函数，同时注意二次函数的每一项都是整式形式探究二 二次函数的图象和性质1根据配方法及函数的性质画函数图象，可以直接选取关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便，使图象更精确2二次函数yax2bxc(a0)与x轴交点的横坐标就是对应的一元二次方程ax2bxc0的根，二次函数图象在x轴上方部分对应的x取值范围即为不等式ax2bxc0的解；同样二次函数图象在x轴下方部分对应的x取值范围，即为不等式ax2bxc0的解【典型例题2】 已知函数f(x)
3、x22x3.(1)用配方法求出函数的对称轴、顶点坐标，并作出图象，指出其单调区间；(2)由图象写出y0时x的取值范围思路分析：本题考查配方法和二次函数的图象与性质解题的关键是配方，完成配方后再结合图象研究其性质解：(1)f(x)x22x3(x22x)3(x1)24，则该函数的对称轴为x1，顶点坐标为(1,4)，其图象如图所示其单调增区间为(，1，单调减区间为1，)(2)由图象知当y0时，x1或x3；当y0时，1x3，故当y0时x的取值范围是1,3探究三 二次函数单调性与对称性的应用1利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法：已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问
4、题解答此类问题的关键在于先找出函数图象的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系2函数的对称性：(1)若函数yf(x)的图象关于直线xa对称，则f(ax)f(ax)对任意x都成立，这个关系式我们也常常表示为：f(x)f(2ax)，也说明函数图象关于直线xa对称(2)若函数f(x)对任意x有f(ax)f(bx)，则函数f(x)图象的对称轴为x.【典型例题3】 (1)若函数f(x)x22mx1在区间1,2上是单调的，则实数m的取值范围是_；(2)如果函数f(x)x2bx1对任意实数x都有f(2x)f(2x)，求f(1)，f(2)的值(1)解析：函数f(x)x22mx1(xm)21m2，其图象的对
5、称轴为xm，若函数在1,2上单调，说明对称轴不在区间1,2内部，故有m1或m2，得m1或m2.答案：m1或m2(2)解：由题意知，函数图象关于x2对称，故2，得b4，所以f(x)x24x1，f(1)1412，f(2)4813.探究四二次函数的最值(值域)对于二次函数yax2bxc(a0)的最值问题，首先应采用配方法，化为ya(xh)2k的形式(1)求二次函数在定义域R上的最值；(2)求二次函数在闭区间上的最值共有三种类型：顶点固定，区间也固定此种类型是较为简单的一种，只要找到对称轴，画出图象，将区间标出，最值一目了然顶点变动，区间固定这种类型是比较重要的，在高考题中多次出现，主要是讨论顶点横坐
6、标即对称轴在区间左侧、在区间内部以及在区间右侧等情况，然后根据不同情况写出最值顶点固定，区间变动此种情况用的较少，在区间里含有参数，根据区间分别在对称轴的左侧、包含对称轴以及在对称轴右侧进行讨论【典型例题4】 已知函数f(x)x22ax2.(1)当a1时，求函数f(x)在区间5,5上的最大值和最小值；(2)用a表示出函数f(x)在区间5,5上的最值思路分析：将原函数先配方，对于第(2)问还要结合图象进行分类讨论解：(1)当a1时，f(x)x22x2(x1)21，因为15,5，故当x1时，f(x)取得最小值，f(x)minf(1)1；当x5时，f(x)取得最大值，f(x)maxf(5)(51)2
7、137.(2)函数f(x)x22ax2(xa)22a2的图象开口向上，对称轴为xa.当a5，即a5时，函数在区间5,5上是增函数，所以f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(5)2710a；当5a0，即0a5时，函数图象如图(1)所示，由图象可得f(x)minf(a)2a2，f(x)maxf(5)2710a；当0a5，即5a0时，函数图象如图(2)所示，由图象可得f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(a)2a2；当a5，即a5时，函数在区间5,5上是减函数，所以f(x)minf(5)2710a，f(x)maxf(5)2710a.综上可得，当a5时，f(x)在区间5,5
8、上的最大值为2710a，最小值为2710a；当0a5时，f(x)在区间5,5上的最大值为2710a，最小值为2a2；当5a0时，f(x)在区间5,5上的最大值为2710a，最小值为2a2；当a5时，f(x)在区间5,5上的最大值为2710a，最小值为2710a.【典型例题5】 设f(x)x24x4，xt，t1(tR)，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式思路分析：本题属于轴定区间动的情形，分三种情况讨论f(x)的最小值解：f(x)(x2)28，xt，t1，当2t，t1，即1t2时，g(t)f(2)8.当t12，即t1时，f(x)在t，t1上是减函数，g(t)f(t1)t22t7.当t2时，f
9、(x)在t，t1上是增函数，g(t)f(t)t24t4.综上可知，g(t)探究五 易错辨析易错点缩小了参数的范围而致误【典型例题6】 已知f(x)x2ax3a，若x2,2，f(x)0恒成立，求a的取值范围错解：结合二次函数f(x)x2ax3a的图象可知，要使f(x)0在x2,2上恒成立，则只需a24(3a)0，解得6a2.错因分析：原题中信息是f(x)0对任意x2,2恒成立，而上面错解中误认为f(x)0对任意xR恒成立，因此使所求范围缩小了正解：设f(x)在2,2上的最小值为g(a)，则只需g(a)0.当2，即a4时，g(a)f(2)73a0，得a.又a4，故此时a不存在当22，即a4,4时，g(a)f3a0，得6a2.因为4a4，所以4a2.当2，即a4时，g(a)f(2)7a0，得a7.因为a4，所以7a4.综上所述，a的取值范围是(7,2)点评解答时不能凭想当然，一定要充分利用题干中的信息，并且在化简或化归时要做到等价转化，例如错解中就不是等价转化
