1、加练课2 空间角的计算学习目标1.理解利用空间向量求空间角的方法与步骤.2.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的计算问题.自主检测必备知识一、概念辨析，判断正误1.两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( )2.直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( )3.两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( )4.两异面直线夹角的范围是(0,2，直线与平面所成角的范围是0,2，二面角的范围是0, .( )二、夯实基础，自我检测5.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )A.45 B.135C
2、.45或135 D.90答案：C解析：cosm,n=mn|m|n|=112=22，即m,n=45 .两平面所成的二面角为45或180-45=135 .6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )A.110 B.25 C.3010 D.22答案：C解析：以点C为坐标原点，CA,CB,CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设直三棱柱的棱长为2，则A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2)，BM=(1,-1,2),AN=(-1,0,2) .co
3、sBM,AN=BMAN|BM|AN|=-1+412+(-1)2+22(-1)2+02+22=365=3010 .7.已知空间四个点A(1,1,1),B(-4,0,2),C(-3,-1,0),D(-1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角的大小为 .答案：30解析：A(1,1,1),B(-4,0,2),C(-3,-1,0),D(-1,0,4)，AD=(-2,-1,3),AB=(-5,-1,1),AC=(-4,-2,-1) .设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z)，则nAB=-5x-y+z=0,nAC=-4x-2y-z=0,取x=1，得y=-3,z=2,n=(1,-3,2) .设直线AD
4、与平面ABC所成的角为，则sin=|ADn|AD|n|=|-2+3+6|4+1+91+9+4=714=12 .又090,=30，直线AD与平面ABC所成的角为30 .互动探究关键能力探究点一求异面直线所成的角精讲精练例三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )A.33 B.66 C.34 D.36答案：B解析：设棱长为1，AA1=c,AB=a,AC=b，由题意得ab=12,bc=12,ac=12，AB1=a+c,BC1=BC+BB1=b-a+c，AB1BC1=(a+c)(b-a+c)=ab-a2+ac+bc-ac
5、+c2=12-1+12+12-12+1=1，又|AB1|=(a+c)2=a2+2ac+c2=3，|BC1|=(b-a+c)2=b2+a2+c2-2ab+2bc-2ac=2，cosAB1,BC1=AB1BC1|AB1|BC1|=16=66，即异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为66 .解题感悟（1）求两异面直线所成的角有两种方法：基向量法和坐标法；（2）两异面直线所成角的范围是(0,2，两向量的夹角的范围是0,，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.迁移应用1.（2020山西晋城高二期中）底面是正方形，从顶
6、点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥称为正四棱锥如图，在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为1，侧棱长为2，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的余弦值为( )A.33 B.63 C.22 D.12答案：B解析：如图所示，以正方形ABCD的中心O为坐标原点，DA方向为x轴正方向，AB方向为y轴正方向，OP方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，则A(12,-12,0),B(12,12,0),C(-12,12,0),PB=2，由几何关系可求得OB=22，则PO=PB2-OB2=142，P(0,0,142)，E为PC的中点，E(-14,14,144)，AP=(-12,12,142)，BE=(-
7、34,-14,144)，cosAP,BE=38-18+1486=26=63 .即异面直线PA与BE所成角的余弦值为63 .探究点二求直线与平面所成的角精讲精练例（2021天津耀华中学期中）如图所示的多面体中，AD平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段BP上一点，CDP=120,AD=3,AP=5,CD=2 .（1）若F为BP的中点，证明：EF平面PDC；（2）若BF=13BP，求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.答案：（1）证明：取PC的中点为O，连接FO,DO，因为F,O分别为BP,PC的中点，所以FOBC，且FO=12BC，又四边形ABCD为平行四边形，所以ED
8、BC，且ED=12BC，所以EDFO，且FO=ED，即四边形EFOD是平行四边形，即EFOD，又EF平面PDC，OD平面PDC，所以EF平面PDC.（2）以D为原点，DC所在直线为x轴，在平面PDC中过D作CD的垂线为y轴，DA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则D(0,0,0),C(2,0,0),B(2,0,3),P(-2,23,0),A(0,0,3)，CB=(0,0,3),CP=(-4,23,0),BP=(-4,23,-3)，设点F(a,b,c)，BF=13BP，(a-2,b,c-3)=13(-4,23,-3)，解得a=23,b=233,c=2，F(23,233,2),AF=(23
9、,233,-1)，设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z)，则nCB=3z=0,nCP=-4x+23y=0,取x=1，得n=(1,233,0)，设直线AF与平面PBC所成的角为，则直线AF与平面PBC所成角的正弦值sin=|AFn|AF|n|=225973=62135 .解题感悟利用向量求线面角的方法：（1）通过平面的法向量来求解，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角；（2）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）.迁移应用 1.如图，在梯形ABCD中，ABCD,AD=CD=CB=2,ABC=6
10、0，矩形ACFE中，AE=2,BF=22 .（1）求证：BC平面ACFE；（2）求直线BD与平面BEF所成角的正弦值.答案：（1）证明：由题意可知四边形ABCD是等腰梯形，ADC=120，DCA=DAC=30,DCB=120，ACB=DCB-DCA=90,ACBC .矩形ACFE中，CF=AE=2，又有BF=22，CB=2，CBCF，又ACCF=C，AC,CF平面ACFE，BC平面ACFE .（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则C(0,0,0),B(0,2,0),F(0,0,2),D(3,-1,0),E(23,0,2) .EF=(-23,0,0),BF=(0,-2,2)，设平
11、面BEF的一个法向量为n=(x,y,z)，nEF=-23x=0,nBF=-2y+2z=0,则x=0，令y=1，则z=1，n=(0,1,1)，又BD=(3,-3,0)，设直线BD与平面BEF所成的角为，sin=|cosBD,n|=|BDn|BD|n|=64，直线BD与平面BEF所成角的正弦值是64探究点三求二面角精讲精练例如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，D，E分别是AC，CC1的中点.（1）求证：平面AEB平面A1BD；（2）求二面角D-BE-A1的余弦值.答案：（1）证明：AB=BC=CA，D是AC的中点，BDAC，AA1平面ABC，AA1平面AA1C1C，平面AA1C1C
12、平面ABC，又BD平面ABC，BD平面AA1C1C，AE平面AA1C1C，BDAE，在正方形AA1C1C中，D,E分别是AC,CC1的中点，A1ADACE,A1DA=AEC，AEC+CAE=90,A1DA+CAE=90，即A1DAE，又A1DBD=D，A1D,BD平面A1BD，AE平面A1BD，又AE平面AEB，平面AEB平面A1BD .（2）取A1C1的中点F，连接DF，以D为原点，DF,DA,DB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则D(0,0,0),E(1,-1,0),B(0,0,3),A1(2,1,0)，则DB=(0,0,3),DE=(1,-1,0),BA1=(2,
13、1,-3),EA1=(1,2,0)设平面DBE的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，则DBm=0,DEm=0,即3z1=0,x1-y1=0,令x1=1，则m=(1,1,0)，设平面BA1E的一个法向量为n=(x2,y2,z2)，则BA1n=0,EA1n=0,即2x2+y2-3z2=0,x2+2y2=0,令y2=1，则n=(-2,1,-3)，设二面角D-BE-A1的平面角为，观察可知为锐角，则|cos|=|mn|m|n|=14，故二面角D-BE-A1的余弦值为14 .解题感悟1.利用向量计算二面角大小的常用方法：（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向
14、量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.（2）找与棱垂直的向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直，且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.2.利用法向量求二面角的两个注意点：（1）对于某些平面的法向量可能在题中隐含着，不用单独求.（2）注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行判断，以防结论失误.迁移应用1.（2020广州高二期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD平面PCD，ADDC,PCPD,PC=PD=AD=2，M为PA的中点.（1）求证：平面ACP平面MCD；（2）求二面角C-MD-P的余弦值.答案：（1）证明
15、：因为平面ABCD平面PCD，且平面ABCD平面PCD=CD，ADDC，所以AD平面PCD，所以ADPC .又PCPD,ADPD=D，所以PC平面PAD .又MD平面PAD，所以PCMD .又因为M为AP的中点，PD=AD，所以MDAP，且APPC=P .所以MD平面PAC，又MD平面MCD，所以平面ACP平面MCD .（2）设CD的中点为O，作OE交AB于E，连接OP .由（1）知AD平面PCD，所以EO平面PCD，由PCPD，且PC=PD，可得OP,OD,OE两两垂直，所以以O为原点，OP,OD,OE所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(0,2,2),C(
16、0,-2,0),P(2,0,0),D(0,2,0),M(22,22,1) .所以DM=(22,-22,1),CD=(0,22,0),PD=(-2,2,0) .设平面CMD的一个法向量为m=(x,y,z)，由mDM=0,mCD=0，得22x-22y+z=0,22y=0,令x=2，得m=(2,0,-1) .易知平面PMD的一个法向量为CP=(2,2,0)，所以cosm,CP=mCP|m|CP|=33 .由图可知，二面角C-MD-P为锐角，故其余弦值为33 . 评价检测素养提升1.若平面的一个法向量为n1=(3,2,1)，平面的一个法向量为n2=(2,0,-1)，则平面与夹角的余弦值是( )A.-7010 B.7010 C.-7014 D.7014答案：D2.如图，圆锥的高SO=3，底面直径AB=2，C是圆O上一点，且AC=1，则SA与BC所成角的余弦值为( )A.34 B.33 C.14 D.13答案：A3.如图，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，AF=12AD=a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为 .答案：63
