1、2.6 双曲线及其方程2.6.1 双曲线的标准方程课标解读课标要求素养要求1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，2.了解双曲线的定义、标准方程. 1.数学抽象、逻辑推理借助试验引入双曲线的概念并推导出椭圆的方程.2.数学运算能根据具体的题目条件求解双曲线的标准方程并能够应用.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一双曲线的定义一般地，如果F1,F2是平面内的两个定点，a是一个 正常数，且2a0,b0)，其中b2=c2-a2 . 此时，双曲线的焦点为F1(-c,0),F2(c,0) .2.焦点在y轴上的双曲线的标准方程： y2a2-x2b2=1(a0,b0)，其
2、中b2=c2-a2 . 此时，双曲线的焦点为F1(0,-c),F2(0,c) .自主思考1.点A(1,0),B(-1,0)，若|AC|-|BC|=2，则点C的轨迹是双曲线吗？答案：提示不是. 因为|AB|=2=|AC|-|BC|=2，所以C点的轨迹是一条射线.2.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦点在x轴上，且，对吗？答案：提示不对. 双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦点在x轴上，但是不一定ab .名师点睛 1.对双曲线定义的两点说明（1）定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支，设F1,F2分别表示双曲线的左、右焦点.若|MF1|-|MF2|=2a，则点M在右支
3、上；若|MF2|-|MF1|=2a，则点M在左支上.（2）双曲线定义的双向运用：若|MF1|-|MF2|=2a(02a|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线；若动点M在双曲线上，则|MF1|-|MF2|=2a .2.双曲线的标准方程的说明（1）只有当双曲线的两焦点F1,F2在坐标轴上，并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时，得到的方程才是双曲线的标准方程.（2）标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状，是双曲线的定形条件，这里b2=c2-a2，与椭圆中b2=a2-c2相区别，且椭圆中ab,ac，但b,c的大小关系不确定，而双曲线中，a,b的大小关系不确定.互动探究关键能力探究点一求双曲线
4、的标准方程精讲精练例分别根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）经过点P(3,154),Q(-163,5)；（2）c=6，经过点(-5,2)，焦点在x轴上.答案：（1）设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn0) .P,Q两点在双曲线上，9m+22516n=1,2569m+25n=1,解得m=-116,n=19.所求双曲线的标准方程为y29-x216=1 .（2）依题意可设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0)，则a2+b2=6,25a2-4b2=1,解得a2=5,b2=1.所求双曲线的标准方程为x25-y2=1 .解题感悟求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据
5、其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a,b的值. 若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂.若双曲线过两定点，可设其方程为mx2+ny2=1(mn0,3-n0,解得n-1,n3,所以n的取值范围是(-1,3)，故选A.（2）由双曲线x24-y2b2=1(b0)可得a=2 . 设|AF2|=m,|BF2|=n . 因为|AF1|-|AF2|=2a=4,|BF1|-|BF2|=2a=4，所以|AF1|=4+m,|BF1|=4+n .因为ABF1是等腰三角形，且A=120，所以|AF1|=|AB|，即4+m=m+n，所以n=4，所以|BF1|=8,
6、|AB|=4+m，在ABF1中，由余弦定理得，|BF1|2=|AF1|2+|AB|2-2|AF1|AB|cosA，即82=(4+m)2+(4+m)2-2(4+m)2(-12)，所以3(4+m)2=64，解得m=833-4，ABF1的周长=|AB|+|AF1|+|BF1|=16+2m=8+1633 .（3）x29-y27=1，所以a=3,b=7,c=4，点P在双曲线上，设|PF1|=m,|PF2|=n,|m-n|=2a=6 .F1PF2=60，在F1PF2中，根据余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60，故64=m2+n2-mn .由可得mn=28，
7、F1PF2的面积S=12|PF1|PF2|sinF1PF2=12mnsin60=73 .解题感悟（1）求双曲线中焦点三角形面积的方法：根据双曲线的定义求出|PF1|-|PF2|=2a；利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式SPF1F2=12|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积.（2）由双曲线的方程求参数的值或取值范围的关键是将方程化为标准方程，找到a,b,c，利用a,b,c的关系即可解决问题.迁移应用1.已知双曲线x23-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点，且满足|PF1
8、|2-|PF2|2=415，则PF1F2的周长为( )A.25 B.25+2 C.25+4 D.23+4答案：C解析：由题意可得a=3,b=1，则c=2，由P为双曲线右支上一点，可得|PF1|-|PF2|=2a=23，因为|PF1|2-|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)(|PF1|-|PF2|)=415，所以|PF1|+|PF2|=25，则PF1F2的周长为25+2c=25+4，故选C.2.（2021山东济南历城二中高二期中）已知双曲线x22-y2=1，点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则F1PF2的面积是( )A.4B.2C.1D.12答案：C解析：由双曲线
9、x22-y2=1,可知a=2,b=1,c=a2+b2=3，所以|PF1|-|PF2|=2a=22，两边平方可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=8 .因为PF1PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=4c2=12，因此可得|PF1|PF2|=2，所以SF1PF2=12|PF1|PF2|=1 .评价检测素养提升课堂检测1.已知点P为双曲线x2-y24=1右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左，右焦点，若|PF2|=4，则|PF1|= ( )A.2B.3C.5D.6答案：D2.（2021北京昌平一中高二期中）已知双曲线x2k-y2=1(k0)的一个焦点坐标是(2,0)，则k的值为(
10、 )A.1B.3C.3D.5答案：C3.（2020山东滨州高二期中）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为10，且ba=12，则C的方程为( )A.x220-y25=1 B.x25-y220=1C.x280-y220=1 D.x220-y280=1答案：A4.设F1,F2分别是双曲线x2-y23=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=5|PF2|，则PF1F2的面积等于( )A.22 B.43 C.6D.10答案：C素养演练数学运算利用双曲线的定义求最值1.已知点F是双曲线x24-y212=1的左焦点，定点A(1,4),P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA
11、|的最小值为( )A.7B.8C.9D.10答案：C解析：审：已知定点A，双曲线的方程及双曲线上的动点P，求|PF|+|PA|的最小值.联：设双曲线的右焦点为M，作出图形，根据双曲线的定义可得|PF|=|PM|+4，则|PF|+|PA|=4+|PM|+|PA|，利用A、P、M三点共线时，|PF|+|PA|取得最小值即可得解.解：F是双曲线x24-y212=1的左焦点a=2,b=23,c=4,F(-4,0)，如图，设双曲线的右焦点为M，则M(4,0)，由双曲线的定义可得|PF|-|PM|=4，则|PF|=|PM|+4，所以|PF|+|PA|=4+|PM|+|PA|4+|AM|=4+(4-1)2+(0-4)2=4+5=9，当且仅当A、P、M三点共线时，等号成立，因此，|PF|+|PA|的最小值为9. 故答案为C.思：求解双曲线有关的线段长度和、差的最值时，都可以通过双曲线的定义分析问题，当三点共线时，可得到最值.
