1、第二章 直线和圆的方程2.1 直线的倾斜角与斜率2.1.1 倾斜角与斜率课标解读课标要求素养要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.3.掌握倾斜角和斜率之间的关系.4.掌握过两点的直线斜率的计算公式.1.数学抽象能抽象出直线的倾斜角与斜率的概念.2.逻辑推理能够推导倾斜角与斜率的关系.3.数学运算会计算直线的斜率.自主学习必备知识 教材研习教材原句要点一 直线的倾斜角1.定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向 之间所成的角 叫做直线l 的 倾斜角 .2.倾斜角的范围：当直线l 与x 轴平
2、行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0 . 因此，直线的倾斜角 的取值范围为 0180 .要点二 直线的斜率与方向向量1.斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角 的正切值 叫做这条直线的 斜率 . 斜率常用小写字母k 表示，即 k=tan .2.斜率与两点坐标的关系：如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2) ，那么直线的斜率公式为k= y2-y1x2-x1 .3.直线的方向向量：直线P1P2 上的向量P1P2 以及与它平行的非零向量都是直线有 方向向量 . 直线P1P2 的方向向量P1P2 的坐标为(x2-x1,y2-y1) .4.直线的斜率与方向向量的坐标之前的关系：若基
3、线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为(x,y) ，则 k=yx .自主思考1.下图中标的倾斜角 对不对？提示 都不对.2.直线倾斜角的取值范围是0180 ，那么每一条直线都对应一个确定的倾斜角吗？提示 都对应，无论直线怎样旋转，其倾斜角的取值范围都是0180 ，因此每一条直线都对应一个确实的倾斜角.3.当直线的倾斜角 的正切值不存在时，直线有斜率吗？直线有倾斜角吗？提示 没有斜率. 有倾斜角，其值为90 .4.若直线l 的斜率为k ，则直线l 的一上方向向量可以是(1,k) 吗？提示 可以.名师点睛1.倾斜角定义的关键（1）x 轴正向.（2）直线向上的方向.（3）小于180 的非负角.
4、2.运用斜率公式的前提是x1x2 ，即直线不与x 轴垂直.3.斜率公式与P1,P2 在直线上的位置无关，在直线上任取两点，得到的斜率是相同的.4.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序，也可以写成k=y1-y2x1-x2 ，即上、下标的顺序要一致.互动探究关键能力探究点一 直线的倾斜角精讲精练例（1）设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为 ，如果将l 绕坐标原点按顺时针方向旋转30 ，得到直线l1 ，那么l1 的倾斜角为( )A.-30 B.+150C.150- D.+150 或-30（2）设直线l1 过原点O ，其倾斜角=15 ，直线l1 与l2 的交点为O ，且l1 与l2 向上的方向之间所成的角为
5、75 ，则直线l2 的倾斜角为 .答案：（1）D （2）90解析：（1）根据题意画出图形，如图所示：如图1，当030 时，l1 的倾斜角为180-30+=+150 ；如图2，当30180 时，l1 的倾斜角为-30 . 故选D.（2）设直线l2 的倾斜角为 ，则=15+75=90 ，所以直线l2 的倾斜角为90 .解题感悟直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据题意分类讨论.迁移应用如图，已知直线l1 的倾斜角是150 ，l2l1 ，垂足为B ，l1,l2 与x 轴分别相交于点C,A ，l3 平分BAC ，则l3 的倾斜角为 .答案：30解析：因为直线l1
6、 的倾斜角为150 ，所以BCA=30 ，所以l3 的倾斜角为12(90-30)=30 .探究点二 直线的斜率精讲精练类型1 求斜率例1 已知A(-1,1),B(1,1),C(2,3+1) .（1）求直线AB 和AC 的斜率；（2）若点D 在线段AB 上移动，求直线CD 的斜率的取值范围.答案：（1）由斜率公式得kAB=1-11-(-1)=0,kAC=3+1-12-(-1)=33 ，即直线AB 和直线AC 的斜率分别为0和33 .（2）设直线CD 的斜率为k ，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，
7、此时k 由kAC 增大到kBC ，又kBC=3+1-12-1=3 ，所以k 的取值范围为33,3 .类型2 直线的方向向量例2已知直线l 的倾斜角的取值范围为3,34 ，直线l 的方向向量为(2,3m) ，求m 的取值范围.解析：思路分析 先根据直线l 的倾斜角的取值范围求斜率的取值范围，再由直线的方向向量与斜率的关系得m 的取值范围.答案：易知tan3=3,tan34=-1 ，画出正切函数的图象，如图所示.当3,34 时，tan(-,-13,+) ，由题意知k=3m2 ，所以3m2-1 或3m23 ，解得m-23 或m233 ，所以m 的取值范围为(-,-23233,+) .解题感悟 （1）
8、直线的方向向量与直线上任意两点对应的向量平行，利用直线的方向向量与斜率的关系可以解决求值的问题.（2）已知倾斜角的取值范围，求该角正切值的取值范围，可以结合正切函数的图象求解.迁移应用1.经过A(3a,-2),B(0,a2+1) 两点的直线的斜率为-43 ，则实数a 的值为( )A.1B.3C.0或1D.1或3答案： D解析：直线AB 的斜率k=a2+1-(-2)0-3a=a2+3-3a=-43 ，整理得a2-4a+3=0 ，解得a=1 或a=3 .2.过A(0,y) ，B(-1,0) 两点的直线的方向向量为(1,2)，则y= .答案： 2解析： 由已知条件可知，直线的方向向量为(-1-0,0
9、-y) ，即(-1,-y) . 又(1,2)是直线的一个方向向量，则-11=-y2 ，解得y=2 .探究点三 直线的倾斜角和斜率的综合应用精讲精练 例 （2021山东潍坊寿光现代中学高二期中）已知点A(2,-1) ，B(3,m) ，若m-33-1,3-1 ，则直线AB 的倾斜角的取值范围为( )A.3,56B.0,356,)C.3,2)(2,56D.3,2)(56,答案： B解析：设直线AB 的倾斜角为 ，则直线AB 的斜率k=m+13-2=m+1 ，又m-33-1,3-1 ，则k 的取值范围为-33,3 ，即tan 的取值范围为-33,3 ，又0 ，则0,356,) .解题感悟（1）直线的倾
10、斜角与斜率k 的关系是k=tan(90) . 由直线的倾斜角能求斜率，反过来，由直线的斜率也能求倾斜角，需注意倾斜角的取值范围为0180 . （2）在090 范围内，k0 ，且k 随着 的增大而增大；在90180 范围内，k0 ，且k 随着 的增大而增大，但在0180 范围内，k 并不是随着 的增大而增大的.迁移应用如图，直线l1 的倾斜角1=30 ，l1l2 ，求l1、l2 的斜率.答案： 直线l1 的倾斜角1=30 ， 直线l2 的倾斜角2=90+30=120 ，kl1=tan30=33,kl2=tan120=-3 .l1、l2 的斜率分别为33,-3 .评价检测素养提升 1.若图中直线l1,l2,l3 的斜率分别为k1,k2,k3 ，则( )A.k1k2k3B.k3k1k2C.k3k2k1D.k1k3k2答案： D2.若直线l 的一个方向向量为(1,3) ，则此直线的倾斜角为 .答案： 33.直线l 过点A(1,2) ，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是 .答案：0,2解析：如图，当直线l 在l1 的位置时，k=tan0=0 ；当直线l 在l2 的位置时，k=2-01-0=2 . 故直线l的斜率k 的取值范围是0,2 .
