1、章末总结体系构建 题型整合题型1 不等关系与不等式例1 已知a 、b 均为正实数，试比较ab+ba 与a+b 的大小.答案：(ab+ba)-(a+b)=(ab-b)+(ba-a)=a-bb+b-aa=(a-b)(a-b)ab=(a+b)(a-b)2ab ，a、b 均为正实数，a+b0 ，ab0 ，且(a-b)20 ，(a+b)(a-b)2ab0 ，当且仅当a=b 时，等号成立，ab+baa+b .解题感悟作差法是比较两式大小最常用的方法，使用时要进行合理的变形，以利于比较.迁移应用1.已知abc ，试比较a2b+b2c+2a 与ab2+bc2+ca2 的大小.答案： a2b+b2c+c2a-(
2、ab2+bc2+ca2)=(a2b-ab2)+(b2c-bc2)+(c2a-ca2)=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)=ab(a-b)+bc(b-a)+(a-c)+ca(c-a)=ab(a-b)+bc(b-a)+bc(a-c)+ca(c-a)=b(a-b)(a-c)+c(a-c)(b-a)=(a-b)(a-c)(b-c) abc ，a-b0 ，a-c0 ，b-c0 ，(a-b)(a-c)(b-c)0 .a2b+b2c+c2aab2+bc2+ca2 .题型2 一元二次不等式的解法及应用例2 已知不等式(a2-1)x2+(a+1)x+10 的解集是R ，求实数a 的取值范围答案：当a
3、2-1=0 ，即a=1 时，若a=1 ，则不等式可化为2x+10 ，解得x-12 ，不符合题意；若a=-1 ，则不等式可化为10，恒成立，符合题意.当a2-10 时，根据题意有a2-10,=(a+1)2-4a2-10,3a2-2a-50, 解得a1或a53或a0 ，解得a-2 ，即a 的取值范围为a|a-2 .（2）M=x|12x2 ，a0 且12 ，2是方程ax2+5x-2=0 的两个根，由根与系数的关系得12+2=-5a,122=-2a, 解得a=-2 ， 不等式为-2x2-5x+30 ，即2x2+5x-30 ，对于方程2x2+5x-3=0 ，0 ， 它有两个实数根，解得x1=-3 ，x2
4、=12 ， 不等式ax2-5x+a2-10 的解集为x|-3x12 .题型3 利用基本不等式求最值例3 已知不等式ax2-4x+30 的解集为A=x|1xb .（1）求a ，b 的值；（2）求(a+b)x+9(b-)x(xA) 的最小值.答案：（1）由题意得，1和b为方程ax2-4x+3=0 的两个根，则1+b=4a,1b=3a,a0,解得a=1,b=3, .（2）由（1）知a=1 ，b=3 ，A=x|1x3 ，(a+b)x+9(b-a)x=4x+92x(1x3) .4x+92x24x92x=218=62 ，当且仅当4x=92x ，即x=324 时取等号.又324A ，(a+b)x+9(b-a
5、)x 的最小值为62 .解题感悟利用基本不等式求最值的三种解题技巧（1）凑项：通过变换项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值，再利用基本不等式求最值.（2）凑系数：无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，再利用基本不等式求最值.（3）换元：分式求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，再利用基本不等式求最值.迁移应用3.已知正数x ，y 满足x+22xy(x+y) 恒成立，则实数 的最小值为 .答案： 2解析： x0 ，y0 ，x+2y22xy （当且仅当x=2y 时取等号）.又由x+22xy(x+y) 可得x+22xyx+y ，而x+22xyx+y
6、x+x+2yx+y=2 ，当且仅当x=2y 时取等号，x+22xyx+y 的最大值是2. 的最小值为2.4.x-1x+3+x-1 的最大值为 .答案： 15解析：令t=x-1 ，则t0 ，x=t2+1 ，所以x-1x+3+x-1=tt2+1+3+t=tt2+4 .当t=0 ；即x=1 ，tt2+t+4=0 ；当t0 。即x1 时，tt2+t+4=1t+4t+1 ，因为t+4t24=4 （当且仅当t=2 时取等号），所以1t+4t+115 ，即x-1x+3+x-1 的最大值为15 （当t=2 ，即x=5 时，取得最大值）.高考链接1.（2018课标，2，5分）已知集合A=x|x2-x-20 ，则
7、RA= ( )A.x|-1x2B.x|-1x2C.x|x-1x|x2D.x|x-1x|2答案：B解析：对于方程x2-x-2=0 ，因为0 ，所以它有两个实数根，解得x1=-1 ，x2=2 ，结合二次函数y=x2-x-2 的图象（图略）得不等式x2-x-20 的解集为x|x-1或x2 ，所以A=x|x-1或x2 ，故RA=x|-1x2 ，故选B.2.（2020江苏，12，5分）已知5x2y2+y4=1(x,yR) ，则x2+y2 的最小值是 .答案：45解析：5x2y2+y4=1 ，y0 且x2=1-y45y2 .x2+y2=1-y45y2+y2=15y2+4y25215y24y25=45 ，当
8、且仅当15y2=4y25 ，即y2=12 时取等号，此时x2=310 .x2+y2 的最小值为45 .3.（2020天津，14，5分）已知a0,b0 ，且ab=1 ，则12a+12b+8a+b 的最小值为 .答案：4解析： a0 ，b0 ，a+b0 ，12a+12b+8a+b=ab2a+ab2b+8a+b=a+b2+8a+b2a+b28a+b=4 ，当且仅当a+b=4 时取等号.12a+12b+8a+b 的最小值为4.4.（2019天津，13，5分）设x0 ，y0 ，x+2y=5 ，则(x+1)(2y+1)xy 的最小值为 .答案： 43解析：x0 ，y0 ，x+2y=5 ，xy0 ，(x+1
9、)(2y+1)xy=2xy+2y+x+1xy=2xy+6xy=2xy+6xy212=43 ，当且仅当xy=3 时等号成立，故(x+1)(2y+1)xy 的最小值为43 .5.（2017北京，13，5分）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数.若abc ，则a+bc ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为 .答案：-1，-2，-3（答案不唯一）解析：答案不唯一，如：a=-1 ，b=-2 ，c=-3 ，满足abc ，但不满足a+bc .6.（2017江苏，10，5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 .答案：30解析：总费用为4x+600x6=4(x+900x)42900=240 ，当且仅当x=900x ，即x=30 时等号成立，此时一年的总运费与总存储费用之和最小.
