1、章末总结体系构建题型整合题型1 集合的概念例1 （1）（多选）下列说法正确的有( )A.花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合B.正方体的全体构成一个集合C.未来世界的高科技产品构成一个集合D.不大于3的所有自然数构成一个集合（2）用列举法表示集合A=6x-2Z|xN= .答案：（1）B ; D（2）-3,-6,6,3,2,1解析：（2）根据xN ,且6x-2Z 可得,x=0 时,6x-2=-3;x=1 时,6x-2=-6 ;x=3 时,6x-2=6;x=4 时,6x-2=3 ;x=5 时,6x-2=2;x=8 时,6x-2=1 .所以A=-3,-6,6,3,2,1 .解题感悟判断一组对象是否能构成
2、集合的三个依据（1）确定性：判断这组元素是否能构成集合（2）互异性：判断构成集合的元素的个数（3）无序性：表示只要一个集合的元素确定,则这个集合也随之确定,与元素之间的排列顺序无关.迁移应用1.（1）下列各组对象能构成集合的有( )接近于1的所有正整数;小于0的实数;(2022,1)与(1,2022).A.1组B.2组C.3组D.0组（2）（2020首都师范大学附属中学高一期中）用列举法可以将集合A=a|a使方程ax2+2x+1=0有唯一实数解表示为( )A.A=1 B.A=0C.A=0,1 D.A=0 或1答案：（1）B（2）C题型2 集合间的关系例2 （1）已知集合M=x|x=1+a2,a
3、N*,P=x|x=a2-4a+5,aN* ,那么MP .（填“ ”“ ”或“=”）（2）已知集合A=x|-2x7,B=x|m+1x2m-1 ,若BA ,求实数m 的取值范围.答案：（1）解析：（1） M=x|x1,xZ ,对于任意的xP, 有x=a2-4a+5=(a-2)2+1, 因为aN*, 所以(a-2)2N, 所以P=x|x1,xZ, 则MP .答案：（2）当B= 时,有m+12m-1 ,得m2 ,当B 时,有m+1-22m-17m+12m-1解得2m4 .综上,m4 .解题感悟已知两集合的关系求参数时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要
4、合理利用数轴、Venn 图,而且经常要对参数进行讨论.迁移应用2.（1）若xZ|2x-a=0x|-1x3 ,则a 的所有取值组成的集合为 .（2）设集合A=x|x2+4x=0,B=x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, 若BA, 求实数a 的取值范围.答案： （1） 0,2,4解析：（1）xZ|2x-a=0=xZ|x=a2 ,由题意可知,-1a23 ,所以-2a6 ,又a=2x,xZ ,所以a 的取值范围是0,2,4 .答案：（2）由题意得A=0,-4 ,当A=B, 即B=0,-4 时,0,-4是关于x 的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0 的两根,即02+2(a+1)0+a2-1=0,
5、(-4)2+2(a+1)(-4)+a2-1=0,解得a=1 .当B= 时,=4(a+1)2-4(a2-1)0 ,解得a-1 .当B 中只含有一个元素时,=4(a+1)2-4(a2-1)=0 ,解得a=-1 .当a=-1 时,B=x|x2=0=0A ,满足条件.综上所述,实数a 的取值范围为a|a-1或a=1 .题型3 集合的交集、并集与补集运算例3 已知全集U=R ,集合A=x|x2-4x+2m+6=0,B=x|x0 ,若AB ,求实数m 的取值范围答案：当A= 时,方程x2-4x+2m+6=0 无实数根,所以=(-4)2-4(2m+6)0 ,解得m-1 .当A,AB= 时,方程x2-4x+2
6、m+6=0 的根为非负实根,设方程x2-4x+2m+6=0 的两根为x1,x2, 则=(-4)2-4(2m+6)0,x1+x2=40,x1x2=2m+60,即m-1,m-3, 解得-3m-1 ,综上,当AB= 时,m 的取值范围是m|m-3 ,又U=R ,所以当AB 时,m 的取值范围是m|m-3 ,综上,当AB 时,m 的取值范围是m|m-3 .解题感悟集合的交集、并集、补集运算的口诀 交集元素仔细找,属于A且属于B;并集元素勿遗漏,切记重复仅取一;全集U 是大范围,去掉U 中A 元素,剩余元素成补集.迁移应用3.设全集U=R,M=x|3ax2a+5,P=x|-2x1 ,若MUP ,求实数a
7、 的取值范围答案： UP=x|x-2或x1,因为MUP ,所以分M=,M 两种情况讨论当M 时,有3a2a+5,2a+5-2或3a2a+5,3a1, 所以a-72或13a5 .当M= 时,有3a2a+5a5 .综上可知,a-72或a13 .题型4 充分条件与必要条件的判断与运用例4 （1）（2020湖北恩施高一检测）若“不等式|x-m|1 成立”的充分不必要条件为“13x12 ”,则实数m 的取值范围是 .（2）设p ：实数x 满足A=x|x3a或xa(a0) q ：实数x 满足B=x|-4x-2 ,且q 是p 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围答案：（1）m|-12m43解析：（1）解不
8、等式|x-m|1 得m-1xm+1 ,因为“不等式|x-m|1 成立”的充分不必要条件为“13x12 ”,所以m-113,m+112, 解得-12m43 .所以实数m 的取值范围是m|-12m43 .答案：（2）因为q 是p 的充分不必要条件,所以BA ，所以a-4,a0或3a-2,a0,解得a-4 或-23a0 .所以a 的取值范围为a|-23a0或a-4 .解题感悟1.设与命题p 对应的集合为A=xp(x) ，与命题q 对应的集合为B=xq(x) ,若AB ，则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件;若AB ，则p 是q 的充要条件;若AB ，则p 是q 的充分不必要条件,q 是p 的
9、必要不充分条件2.充要条件的常用判断方法（1）定义法：直接判断若q 则p 的真假（2）利用集合间的包含关系判断：设命题p 对应的集合为A ，命题q 对应的集合为B ，若AB ，则p 是q 的充要条件迁移应用4.（1）“a=-1 ”是“函数y=ax2+2x-1 的图象与x 轴只有一个交点”的( )A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件（2）若“p ：x2+x-6=0 ”是“q：ax+1=0” 的必要不充分条件,则实数a 的值为 .答案：（1）B（2）0,-12 或13解析：（1）当a=-1 时,函数y=ax2+2x-1=-x2+2x-1 的图象与x 轴只有一
10、个交点;当a=0 时,函数y=ax2+2x-1=2x-1 的图象与x轴只有一个交点,故函数y=ax2+2x-1 的图象与x 轴只有一个交点时,a=-1 或a=0 ，所以“a=-1 ”是“函数y=ax2+2x-1 的图象与x 轴只有一个交点”的充分不必要条件.（2）由x2+x-6=0, 可得x=2 或x=-3 .对于ax+1=0 ，当a=0 时,方程无解;当a0 时,x=-1a .由题意知pq,qp ，则可得a=0 或-1a=2 或-1a=-3 ，解得a=0 或a=-12 或a=13 .综上可得,a=0 或a=-12 或a=13 .题型5 全称量词命题与存在量词命题例5 （1）（多选）下列对命题
11、的否定正确的有( )A.p ：能被2整除的数是偶数;p 的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数B.p ：有些矩形是正方形;p 的否定：所有的矩形都不是正方形C.p ：有的三角形为正三角形;p 的否定：所有的三角形不都是正三角形D.p ：nN,2n100;p 的否定：nN,2n100（2）已知命题p ：“xx|-3x2 ，都有xx|a-4xa+5 ”,且p 是假命题,则实数a 的取值范围是 答案：（1）A ; B ; D（2）-3a1解析：（2）因为p 是假命题,所以p 是真命题,又xx|-3x2 ，都有xx|a-4xa+5 ，所以x|-3x2x|a-4xa+5 ，则a-4-3,a+52, 解得
12、-3a1 ，即实数a 的取值范围是a|-3a1 .解题感悟根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围,一般把问题转化为集合问题解决迁移应用5.已知命题p ：xx|1x3 ，都有mx ，命题q ：xx|1x3 ，使mx ，若命题p 为真命题,q 为假命题,则实数m 的取值范围是 .答案： m|m3解析： 由题意知命题p,q都是真命题.xx|1x3, 都有mx 成立,则m 大于或等于x 的最大值,即m3 .xx|1x3, 使mx 成立,则m 大于或等于x 的最小值,即m1 ，因为两者同时成立,故实数m的取值范围为m|m3m|m1=m|m3 . 高考链接1.（2020课标,1,5分）已知集
13、合A=x|x2-3x-40,B=-4,1,3,5 ,则AB= ( )A.-4,1 B.1,5C.3,5 D.1,3答案： D解析：由x2-3x-40 ,解得-1x4 ,所以A=x|-1x4 ,因为B=-4,1,3,5,所以AB=1,3 .故选D.2.（2020课标文,1,5分）已知集合A=x|x|3,xZ,B=x|x|1,xZ ,则AB= ( )A. B.-3,-2,2,3C.-2,0,2 D.-2,2答案： D解析：因为A=x|x|3,xZ=-2,-1,0,1,2,B=x|x|1,xZ=x|x1或x-1,xZ ,所以AB=-2,2 .故选D.3.（2020课标理,1,5分）已知集合U=-2,
14、-1,0,1,2,3,A=-1,0,1,B=1,2 ,则U(AB)= ( )A.-2,3 B.-2,2,3C.-2,-1,0,3 D.-2,-1,0,2,3答案： A解析：由已知得AB=-1,0,1,2 ,所以U(AB)=-2,3 .4.（2020课标,1,5分）已知集合A=(x,y)|x,yN*,yx,B=(x,y)|x+y=8 ,则AB 中元素的个数为( )A.2B.3C.4D.6答案： C解析：由题意,AB 中的元素满足yx,x+y=8,且x,yN*,由x+y=82x ,得x4 ,所以满足x+y=8 的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),所以AB 中元素的个数为4.故选C.
15、5.（2020新高考,1,5分）设集合A=x|1x3,B=x|2x4 ,则AB= ( )A.x|2x3 B.x|2x3C.x|1x4 D.x|1x4答案： C解析：已知A=x|1x3,B=x|2x4 ,在数轴上表示出两个集合（图略）,易知AB=x|1x4 .故选C.6.（2020天津,1,5分）设全集U=-3,-2,-1,0,1,2,3 ,集合A=-1,0,1,2,B=-3,0,2,3 ,则A(UB)= ( )A.-3,3 B.0,2C.-1,1 D.-3,-2,-1,1,3答案： C解析：由题意结合补集的定义可知:UB=-2,-1,1 ,则A(UB)=-1,1 .故选C.7.（2020天津,
16、2,5分）设aR, 则“a1” 是“a2a” 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案： A解析：易知a1a2a ,而a2aa0 或a1,所以“a1 ”是“a2a ”的充分不必要条件.8.（2019天津,1,5分）设集合A=-1,1,2,3,5,B=2,3,4,C=xR|1x3 ,则(AC)B= ( )A.2 B.2,3C.-1,2,3 D.1,2,3,4答案： D解析：因为集合A=-1,1,2,3,5,C=xR|1x3 ,所以AC=1,2 ,又因为B=2,3,4 ,所以(AC)B=1,22,3,4=1,2,3,4 .故选D.9.（2017江苏,1,5分）已知集合A=1,2,B=a,a2+3 ,若AB=1 ,则实数a 的值为 .答案： 1解析： 因为B=a,a2+3,AB=1,所以a=1 或a2+3=1 ,因为aR ,所以a=1 .经检验,满足题意.
