1、1.4.2 充要条件课标解读课标要求素养要求1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单问题的充要条件.3.能对充要条件进行证明.1.数学抽象会用定义判断充要条件.2.数学运算能用充要条件求解相关问题.自主学习必备知识教材研习教材原句如果“若p ，则q ”和它的逆命题“ 若q，则p ”均是真命题，即既有pq ，又有qp ，就记作 pq .此时，p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件.概括地说，如果pq ，那么p 与q 互为充要条件.自主思考1.由“p:xA ”是“q:xB ”的充要条件
2、，能否得出A=B ？答案：提示可以提出A=B .若xAxB ，则AB ，反之BA ，故A=B .名师点睛1.命题p与q的四个关系（1）若pq ，则p 与q 互为充要条件.（2）若pq ，但qp ，则p 是q 的充分不必要条件.（3）若qp ，但pq ，则p 是q 的必要不充分条件.（4）若pq ，且qp ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.2.注意区别A 是B 的充分不必要条件（AB 且BA ）；与A 的充分不必要条件是（B 且AB ）两者的不同.3.“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”的区别：（1）p 是q 的充要条件说明p 是条件，q 是结论.（2）p 的充要条件是q 说明
3、q 是条件，p 是结论.互动探究关键能力探究点一 充要条件的判断精讲精练例 指出下列各题中，p 是q 的什么条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）.（1）p:x20 ，q:x0 ；（2）p:a 能被6整除，q:a 能被3整除；（3）p: 两个角都是直角，q: 两个角不相等；（4）p:AB=A ，q:UBUA .答案：（1） p:x20 ，则x0 或x0 ，q:x0 ，故pq ，qp ，故p是q 的必要不充分条件.（2）p:a 能被6整除，故也能被3和2整除，q:a 能被3整除，故pq ，qp ，故p是q 的充分不必要条件.（3）p: 两个角都是直角，则
4、这两个角相等，q: 两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，即pq ，qp ，故p是q 的既不充分也不必要条件.（4）因为AB=AABUBUA ，所以p 是q 的充要条件.解题感悟充要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法.三种不同的方法适用于不同类型的问题，定义法适用于定义、定理判断性命题，而集合法适用于命题中涉及求字母的取值范围的推断命题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断.迁移应用1.设A ，B ，U 是三个集合，且AU ，BU 则“x(UA)(UB) ”是“xU(AB) ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不
5、必要条件答案：C解析：(UA)(UB)=U(AB) ， “x(UA)(UB) ”是“xU(AB) ”的充要条件，故选C.2.指出下列各题中p 是q 的什么条件.（1）p: 两个三角形相似；q: 两个三角形全等；（2）p: 一个四边形是矩形；q: 四边形的对角线相等.答案：（1）因为两个三角形相似 两个三角形全等，但两个三角形全等 两个三角形相似，所以p 是q 的必要不充分条件.（2）因为矩形的对角线相等，所以pq .又对角线相等的四边形不一定是矩形，所以qp ，所以p 是q 的充分不必要条件.探究点二 充要条件的证明精讲精练 例 求证：ABC 是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+a
6、c+bc .（这里a ，b ，c 是ABC 的三边边长）答案：证明 必要性：因为ABC 是等边三角形，所以a=b=c ，所以ab+ac+bc=a2+b2+c2 ，所以必要性成立；充分性：由a2+b2+c2=ab+ac+bc 两边同时乘2得，2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc ，即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0 ，所以a=b=c ，所以ABC 是等边三角形，所以充分性成立.综上，ABC 是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+ac+bc .解题感悟充要条件证明的策略（1）要证明p 是q 的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p ，则q
7、”为真且“若q ，则p ”为真.（2）在证明的过程中也可以利用集合的思想来证明，即证明p 与q 的解集是相同的.提醒:证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向.迁移应用1.求证：一次函数y=kx+b(k0) 的图象过原点的充要条件是b=0 .答案：证明 充分性：如果b=0 ，那么y=kx(k0) ，当x=0 时，y=0 ，该函数的图象过原点.必要性：因为y=kx+b(k0) 的图象过原点，所以当x=0 时，y=0 ，则0=k0+b ，所以b=0 .综上，一次函数y=kx+b(k0) 的图象过原点的充要条件是b=0 .探究点三 求参数的取值范围精讲精练例 已知p:-2x10 ，q:1-mx1+m
8、(m0) ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.答案：设A=x|-2x10 ，B=x|1-mx1+m,m0 ，因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即BA ，故1-m-2,1+m10 或1-m-2,1+m10, 解得m3 .又m0 ，所以实数m 的取值范围是m|0m3 .解题感悟利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是在将问题转化为集合问题后找出集合间的包含关系，要注意范围的边界值.迁移应用1.设p:3axa(a0) ，q:x-4 或x-2 .若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.答案：设A=x|3axa,a0 ，B=x|x-4或
9、x-2 .因为p 是q 的充分不必要条件，所以AB ，所以a-4 或3a-2 ，即a-4 或a-23 .又因为a0 ，所以a-4 或-23a0 ，即实数a 的取值范围为a|a-4或-23a0 .评价检测素养提升1.人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A2.“x2-4x-5=0 ”是“x=5 ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：由x2-4x-5=0 得x=5或x=-1 ，则当x=5 时，x2-4x-5=0 成立，但当x2-4x-5=0 时，x=5 不一定成立.故x2-4x-5=0 是x=5 的必要不充分条件.3.已知x ，yR ，则“xy=0 ”是“x2+y2=0 ”的 条件.答案：必要不充分4.函数y=x2+mx+1 的图象关于直线x=1 对称的充要条件是 .答案： m=-25.若M 是N 的充分不必要条件，N 是P 的充要条件，Q 是P 的必要不充分条件，则M 是Q 的什么条件？答案：命题的充分性、必要性具有传递性，所以MNPQ ，但QP ，NP ，NM ，故M 是Q 的充分不必要条件.
