1、专题强化练4比较实数大小的方法一、选择题1.(2020河北唐山高二上9月质检,)已知x0,y0,M=x2x+2y,N=4(x-y)5,则M和N的大小关系为(深度解析) A.MNB.MNC.M=ND.以上都有可能2.()若0a1a2,0b1BC.ABD.AB4.()已知0abb3B.1a1D.lg(b-a)05.()已知0xya1,则()A.loga(xy)0B.0loga(xy)1C.1loga(xy)26.()设x0,y0,a=x+y1+x+y,b=x1+x+y1+y,则a与b的大小关系为()A.abB.abC.abD.ab7.()当0ab(1-a)bB.(1+a)a(1+b)bC.(1-a
2、)b(1-a) b2D.(1-a)a(1-b)b8.()设a、b、c均为正数,且2a=log12a,12b=log12b,12c=log2c,则()A.abcB.cbaC.cabD.ba1,P=12f a2+12,M=12f(a),N=f a+12,则P、M、N的大小关系为()A.PMNB.MNPC.NPMD.PNM二、解答题10.()已知ab0,b0,且ab,试比较aabb,abba,(ab)a+b2三者的大小.答案全解全析专题强化练4比较实数大小的方法一、选择题1.A因为x0,y0,所以M-N=x2x+2y-4(x-y)5=x2-4xy+8y25(x+2y)=(x-2y)2+4y25(x+
3、2y)0,所以MN.导师点睛作差比较法的一般步骤:第一步:作差,将两个实数或代数式相减;第二步:变形,把差变形为易于判断正负的形式;第三步:定号,判定差的符号,即确定差是大于0,等于0,还是小于0;第四步:得出结论.这里的“定号”是目的,“变形”是关键.2.A令a1=14,a2=34,b1=14,b2=34,则a1b1+a2b2=1016=58,a1a2+b1b2=616=38,a1b2+a2b1=616=38,581238,值最大的代数式应是a1b1+a2b2.3.Ba,b都是正实数,且ab,A=ba+ab2baab=2,即A2,B=-x2+4x-2=-(x2-4x+4)+2=-(x-2)2
4、+22,AB.4.D由0ab1,可得a31b,B错误;ab1,C错误;0b-a1,则lg(b-a)0,D正确.5.D因为0xya1,所以0xa,0ya,0xya2,又0alogaa2=2,即loga(xy)2.6.Bx+y+10,b(1+x+y)=x1+x(1+x+y)+y1+y(1+x+y)=x+xy1+x+xy1+y+yx+y,bx+y1+x+y=a.故选B.7.D对于A,0a1,函数y=(1-a)x为R上的减函数,0bb,(1-a)1b(1-a)b,故A错误;对于B,0a1,函数y=(1+a)x为R上的增函数,ab,(1+a)a(1+a)b,0b1,函数y=xb为(0,+)上的增函数,(
5、1+a)b(1+b)b,(1+a)ab2,(1-a)b(1-a)b2,故C错误;对于D,函数y=(1-a)x为R上的减函数,且a(1-a)b,又函数y=xb为(0,+)上的增函数,且1-a1-b0,(1-a)b(1-b)b,(1-a)a(1-b)b,故D正确.故选D.8.A在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=12x,y=log2x,y=log12x的图像(如图所示),由图可知0ab11,a2+12a+12a,又f(x)=log12x是(0,+)上的减函数,fa2+12fa+12f(a),fa2+12=log12a2+12=12log12a2+12=12fa2+12,f(a)=12f(a
6、),12fa2+12fa+1212f(a),即PNM.二、解答题10.解析a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)=(a2b-ab2)+(b2c-bc2)+(c2a-ca2)=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)=ab(a-b)+bc(b-a)+(a-c)+ca(c-a)=ab(a-b)+bc(b-a)+bc(a-c)+ca(c-a)=b(a-b)(a-c)+c(a-c)(b-a)=(a-b)(a-c)(b-c).abc,a-b0,a-c0,b-c0,(a-b)(a-c)(b-c)0,a2b+b2c+c2aab2+bc2+ca2.11.解析作差,得11+x-(1-x)=x21+x.当x=0时,x21+x=0,11+x=1-x;当1+x0,即x-1时,x21+x0,11+x0且x0,即-1x0时,x21+x0,11+x1-x.12.解析由题知a0,b0,且ab.当0ab时,0ab1,a-b0,a-b2ab0=1,aabb(ab)a+b2;当0b1,a-b0,a-b20,aabb(ab)a+b2=aba-b2ab0=1,aabb(ab)a+b2.a0,b0,且ab时,总有aabb(ab)a+b2.同理可得,a0,b0,且ab时,(ab)a+b2abba.综上所述,aabb(ab)a+b2abba.
