1、专题3 分类讨论思想 思想方法概述 1分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与融合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度 2分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等(3)由数学运算要求引起的
2、分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用 3分类讨论的原则(1)不重不漏(2)标准要统一，层次要分明(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，
3、决不无原则的讨论 热 点 调 研 调研一 集合、逻辑中的分类讨论子集问题(1)(2016山西忻州一中)已知集合A满足条件1，2A1，2，3，4，5，则集合 A 的个数为()A8 B7C4 D3【解析】由题意可知，集合A中必含有元素1和2，可含有3，4，5中的0个、1个、2个，则集合A可以为1，2，1，2，3，1，2，4，1，2，5，1，2，3，4，1，2，3，5，1，2，4，5，共7个故选B.【答案】B(2)(2016西安四校)集合 Ax|x21，Bx|ax1，若 BA，则实数 a 的值为()A1 B1C1 D0 或1【解析】Ax|x211，1BA，当 a0时，ax1 无解，故 B，满足条件；
4、若 B，则 B1或1，即 a1 或 a1.故满足条件的实数 a0，1，1，故选 D.【答案】D(3)设 a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】按照 b0 分类讨论求解 当 bba|a|b|b|；当 b0 时，显然有 aba|a|b|b|；当 b0 时，ab 有|a|b|，所以 aba|a|b|b|.综上可知 aba|a|b|b|，故选 C.【答案】C调研二 函数中的分类讨论分段函数(1)(2016杭州调研)已知函数f(x)x2x3，x1，lg（x21），x1，则f(f(3)_，f(x)的最小值是_【解析】由于 f
5、(3)lg(3)21lg101，故 f(f(3)f(1)1230；当 x1 时，f(x)x2x32x2x32 23，当 x1 时，f(x)lg(x21)lg10，综合可得 f(x)的最小值是 2 23.【答案】0 2 23(2)(2016江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1，1)上，f(x)xa，1x0，|25x|，0 x1，其中 aR.若 f(52)f(92)，则 f(5a)的值是_【解析】由题意可得f(52)f(12)12a，f(92)f(12)|2512|110，则12a 110，a35，故f(5a)f(3)f(1)13525.【答案】25最值问题求 函 数
6、f(x)x(x a)在 x 1，1 上 的 最大 值 为_【审题】【解析】函数f(x)(x a2)2 a24 的图像的对称轴为xa2，应分a21，即a2三种情形讨论(1)当a2时，由图(3)可知f(x)在1，1上的最大值为f(1)a1.综上可知，f(x)max（a1），a2.【答案】f(x)max（a1），a2.调研三 不等式中的分类讨论(1)(2016长春模拟)已知函数f(x)|xm|5x|(xR)当m3时，求不等式f(x)6的解集；若不等式f(x)10对任意实数x恒成立，求m的取值范围【解析】当m3时，f(x)6，即|x3|5x|6，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集 x5，x3（x
7、5）6，解得x5；或3x6，解得4x6，解集是.故不等式f(x)6的解集为x|x4 f(x)|xm|5x|(xm)(5x)|m5|，由题意得|m5|10，则10m510，解得15m5，故m的取值范围为15，5(2)设ab2，b0，则 12|a|a|b 的最小值为_【解析】分 a0 和 a0 时，12|a|a|b 12aabab4a ab14(b4aab)54；当 a0时，yax22x1为开口向上的抛物线，所以ax22x10在(0，)上恒有解；当a0，此时1a4时，c k4，由条件知14k4k 163；当0k4时，c 4k，由条件知144k4 1，解得0k3，综上知选C.【答案】C请做：专题训练作业（三）
