1、4.4幂函数学 习 任 务核 心 素 养(教师独具)1掌握幂函数的概念、图像和性质(重点)2熟悉1,2,3，1时的五类幂函数的图像、性质及其特点(易错点)3能利用幂函数的图像与性质解决综合问题(难点)1通过幂函数概念与图像的学习，培养数学抽象素养2借助幂函数性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.给出下列五个问题：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付pw元，这里p是w的函数如果正方形的边长为a，那么正方形的面积Sa2，这里S是a的函数如果正方体的棱长为a，那么正方体的体积Va3，这里V是a的函数如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长aS，这里a是S的函数如果某人t
2、s内骑车行进了1 m，那么他骑车的平均速度vt1 m/s，这里v是t的函数问题：(1)上述5个问题中，若自变量都用x表示，因变量用y表示，则对应的函数关系式分别是什么？(2)你能根据指数运算的定义，把问题1中的五个函数改写成统一形式吗？提示(1)yx，yx2，yx3，y，y.(2)yx，yx2，yx3，yx，yx1知识点1幂函数的概念及五个常见的幂函数1幂函数的概念一般地，函数yx称为幂函数，其中是常数幂函数yx与指数函数yax(a0且a1)有什么样的区别？提示幂函数yx的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数yax中，底数是常数，指数是自变量2五个常见幂函数的图像1思考辨析(
3、正确的画“”，错误的画“”)(1)函数yx是幂函数()(2)函数y2x是幂函数()(3)幂函数的图像都不过第二、四象限()提示(1).函数yx符合幂函数的定义，所以是幂函数(2).幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y2x不是幂函数(3).幂函数yx2过第二象限答案(1)(2)(3)2.下列函数中不是幂函数的是()AyByx3Cy2xDyx1C形如yx的函数为幂函数，只有C不是知识点2幂函数的图像特征及性质(1)幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上分布(2)当0时，图像过点(1,1)，(0,0)，且在第一象限随x的
4、增大而上升，函数在区间0，)上是单调增函数(3)当0时，幂函数的图像，过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴(4)当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数3.幂函数yx(R)的图像一定不经过()A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限A由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限4.已知幂函数f(x)的图像经过点(2，)，则f(4)_.2设f(x)x，f(4)42. 类型1幂函数的概念【例1】函数f(x)(m2m1)x是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式解根据幂函数定义得，m
5、2m11，解得m2或m1，当m2时，f(x)x3在(0，)上是增函数；当m1时，f(x)x3，在(0，)上是减函数，不符合要求f(x)的解析式为f(x)x3.如何判断一个函数是幂函数？提示(1)只有形如yx(其中为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且指数为常数，底数为自变量，底数系数为1形如y(3x)，y2x，yx5，形式的函数都不是幂函数反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式1已知f(x)(m22m)x，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数？(2)反比例
6、函数？(3)二次函数？(4)幂函数？解(1)若f(x)为正比例函数，则m1(2)若f(x)为反比例函数，则m1(3)若f(x)为二次函数，则m.(4)若f(x)为幂函数，则m22m1，所以m1. 类型2幂函数的图像和性质【例2】(1)幂函数yx(mZ)的图像如图所示，则m的值为()A1m4B0或2C1或3D0,1,2或3(2)已知幂函数yx3m9(mN*)的图像关于y轴对称，且在(0，)上单调递减，求满足(a3)(52a)的a的取值范围思路探究(1)根据幂函数的图像特征与性质确定m的值；(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m的值，再利用幂函数的单调性求解关于a的不等式(1)D(1)因为
7、幂函数图像在第一象限内为减函数，所以m23m40，解得1m4，又图像关于y轴对称说明m23m4为偶数，又mZ，所以m的值为0,1,2或3.(2)解因为函数在(0，)上单调递减，所以3m90，解得m3，又mN*，所以m1,2.因为函数的图像关于y轴对称，所以3m9为偶数，故m1，则原不等式可化为(a3)52a0或52aa30或a3052a，解得a或a0时，n越大，yxn递增速度越快，故C1的n2，C2的n，当n0，且a1)的单调性与实数a有什么关系？幂函数yx在(0，)上的单调性与有什么关系？提示当a1时，函数yax单调递增；当0a0时，幂函数yx在(0，)上单调递增；当，.(2)幂函数yx1在
8、(，0)上是单调递减的，又.(3)函数y1为R上的减函数，又，.又函数y2x在0，)上是增函数，且，.利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法3比较下列各组数的大小：(1)3与3.1；(2)0.70.8与0.80.7；(3)4.1，3.8和(1.9).解(1)函数yx在(0，)上为减函数33.1，33.1.(2)yx0.8在0，)上是增函数，0.70.8，0.70.80.80.8.又y0.8x在R上是减函数，0.70.8，0.80.80.80.7.0.70.80.80.80.80.7，即0.70.80.80.7.(3)幂函数yx在0，)上为增函数，且4.11，4.11，又幂函数yx在(0，)上为
9、减函数，且3.81，03.81而幂函数yx在(，0)上为增函数，且1.90，(1.9)0.故有4.13.8(1.9) .1下列函数中，其定义域和值域不同的函数是()AyxByxCyxDyxDA中定义域和值域都是R；B中定义域和值域都是(0，)；C中定义域和值域都是R；D中定义域为R，值域为0，)2函数yx的图像大致是图中的()ABCDB函数yx是奇函数，且1，函数图像为B3若幂函数f(x)(m2m1)x1m是偶函数，则实数m()A1B2C3D1或2A因为f(x)(m2m1)x1m为幂函数，所以m2m11解得m1或2，又f(x)是偶函数，则1m为偶数故m14在函数y，y3x2，yx22x，y1中
10、，幂函数的个数为_1函数yx4为幂函数；函数y3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数yx22x不是yx(是常数)的形式，所以它不是幂函数；函数y1与yx01(x0)不相等，所以y1不是幂函数5给出下列说法：幂函数图像均过点(1,1)；幂函数的图像均在两个象限内出现；幂函数在第四象限内可以有图像；任意两个幂函数的图像最多有两个交点其中说法正确的有_(填序号)根据幂函数的图像特征可知正确，错误回顾本节内容，自我完成以下问题：1简单幂函数的性质有哪些？提示(1)所有幂函数在(0，)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)1(2)0时，幂函数在0，)上有意义，且是增函数(3)0
11、时，幂函数在x0处无意义，在(0，)上是减函数2本节课的易错点是什么？提示本节课的易错点是对幂函数的图像掌握不准而致错(教师独具)“对勾”函数图像与性质探究学习了幂函数的图像，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行了相关运算，得到了新的函数f(x)x，利用计算机软件，我们绘制出它的图像，如图1参考幂函数的性质，探究函数f(x)x的性质提示(1)定义域：x0，函数f(x)x的定义域为(，0)(0，)(2)值域：函数f(x)x的值域为(，22，)(3)奇偶性：f(x)xf(x)，函数f(x)x为奇函数(4)单调性：由函数f(x)x的图像可知，函数f(x)x在(，1)，(1，)上单调递增，
12、在(1,0)，(0,1)上单调递减2试探究函数f(x)x(a0)的性质，并画出它的简图提示(1)定义域：(，0)(0，)(2)值域：(，22，)(3)奇偶性：奇函数(4)单调性：函数f(x)x(a0)在(，)和(，)上为增函数，在，0)和(0，上为减函数证明：任取x1，x2(0，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).因为0x1x2，所以x1x20,0x1x2a，所以1，所以10，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以f(x)在(0，上为减函数任取x1，x2(，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2).因为x1x20，x1x2a，所以1，所以10，所以
13、f(x1)f(x2)0，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，)上为增函数同理，f(x)在(，)上为增函数，在，0)上为减函数其图像如图所示3试探究函数f(x)x(a0)的性质，并画出它的简图提示(1)定义域：(，0)(0，)(2)值域：R.(3)奇偶性：奇函数(4)函数f(x)在区间(，0)，(0，)上单调递增证明：任取x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1(x1x2)，因为0x1x2，所以x1x20，又a0，所以10，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上单调递增；同理可知，函数f(x)在区间(，0)上单调递增其简图如图所示
