1、高考总复习第（1）轮理科数学第十一单元选考内容第81讲 极坐标系1了解坐标系的作用，了解极坐标的基本概念，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化 2能在极坐标系中给出简单的图形表示的极坐标方程 1极坐标系与极坐标(1)极坐标系：在平面内取一个定点 O，叫作，自极点 O 引一条射线 Ox，叫作 ，再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标：设 M 是平面内的一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫作点 M 的，记作，以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的xOM 叫作点 M 的 ，记作.有序数对
2、(，)叫作点 M 的 ，记作 .一般地，不作特殊说明时，我们认为 0，可取任意实数 极点1极坐标系与极坐标(1)极坐标系：在平面内取一个定点 O，叫作，自极点 O 引一条射线 Ox，叫作 ，再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标：设 M 是平面内的一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫作点 M 的，记作，以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的xOM 叫作点 M 的 ，记作.有序数对(，)叫作点 M 的 ，记作 .一般地，不作特殊说明时，我们认为 0，可取任意实数 极轴极径极角极坐标M(，)2极坐标与直角坐标的互
3、化(1)互化前提是：直角坐标系的原点作为 ，x 轴的正半轴作为 ，两坐标系中取 .(2)互化公式：x ，y .2 ，tan .3曲线的极坐标方程(1)直线的极坐标方程：若直线过点 M(0，0)，且与极轴所成的角为，则它的极坐标方程为 sin()0sin(0)极点极轴相同的单位长度cos sin 几个特殊位置的直线的极坐标方程：直线过极点且与极轴所成的角为：和 ；直线过点(a,0)且垂直于极轴：cos ；直线过点(a，2)且平行于极轴：sin .(2)圆的极坐标方程：圆心为(1，1)，半径为 r 的圆的极坐标方程为：221cos(1)(21r2)0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：圆心在极点，半径
4、为 r：；圆心在 C(a,0)，半径为 a：；圆心在 C(a，2)，半径为 a：.aar 2|a|cos 2|a|sin 1把点 P 的直角坐标(1，1)化为极坐标为()A(2，4)B(2，34)C(2，54)D(2，74)解：1212 2，tan 1，又点(1，1)在第四象限，所以取 74，故选 D.答案：D2将点 M 的极坐标(4，43)化为直角坐标为()A(2,2 3)B(2，2 3)C(2 3，2)D(2 3，2)解：x4cos43 4(12)2，y4sin43 2 3，所以直角坐标为(2，2 3)答案:B 3曲线的极坐标方程 4sin 化成直角坐标方程为()Ax2(y2)24Bx2(
5、y2)24 C(x2)2y24D(x2)2y24 解：因为 24sin，所以 x2y24y，即 x2(y2)24.答案：B4在极坐标系中，过点(3，3)且垂直于极轴的直线方程为()Acos 32Bsin 32 C32cos D32sin 解：方程为 cos 312，即 cos 32.答案：A5(2017天津卷)在极坐标系中，直线 4cos(6)10 与圆 2sin 的公共点的个数为.解：由 4cos(6)10 得 2 3cos 2sin 10，故直线的直角坐标方程为 2 3x2y10.由 2sin 得 22sin，故圆的直角坐标方程为x2y22y，即 x2(y1)21.圆心为(0,1)，半径为
6、 1.因为圆心到直线 23x 2y 10 的距离 d|211|2 3222341，所以直线与圆相交，有两个公共点答案：2极坐标与直角坐标的互化极坐标背景下处理有关解析几何问题极坐标的综合问题考点1极坐标与直角坐标的互化【例 1】(1)将直角坐标方程(x3)2y29 化为极坐标方程；(2)将极坐标方程 sin 2cos 化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线 解：(1)将 xcos，ysin 代入方程得(cos 3)2(sin)29，化简得 26cos，即 0 或 6cos，因为 0 表示极点，包含在 6cos 中，所以所求的极坐标方程为 6cos.(2)因为 不恒为零，方程两边同乘 得 2si
7、n 2cos，化为直角坐标方程为 x2y2y2x，即(x1)2(y12)254.这是以(1，12)为圆心，半径为 52 的圆【变式探究】1化下列极坐标方程为直角坐标方程，并判断它们表示什么曲线(1)cos(6)1；(2)4sin23.解：(1)因为 cos(6)(cos cos6sin sin6)32 cos 12sin，又因为 cos x，sin y，所以该方程化为直角坐标方程为 32 x12y1，即 3xy20.表示斜率为 3，在 y 轴上的截距为 2 的直线(2)因为 4sin23，所以 42sin232，又因为 cos x，sin y，所以直角坐标方程为 4y23(x2y2)，即 y2
8、3x2，即 y 3x，其图象是两条直线 点评：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只需要将直角坐标方程中的 x，y，分别用 cos，sin 代替即可得到相应的直角坐标方程(2)化极坐标方程为直角坐标方程常利用 cos x，sin y 及 2x2y2 进行整体代换得到要判断极坐标系下曲线的形状，可先将极坐标方程化为直角坐标方程再判断 考点2极坐标背景下处理有关解析几何问题【例2】(1)已知点A是曲线3cos上任意一点，求点A到直线cos 1的距离的最大值和最小值;(2)在极坐标系下，求曲线3截直线cos(4)1所得的弦长 解：(1)因为 3cos，即 x2y23x，(x32)2y294.cos 1
9、，即 x1，故直线与圆相交 所以最大值为32212，最小值为 0.分析：将极坐标方程化为直角坐标方程后求解(2)由3化为直角坐标方程为x2y29，cos(4)1化为直角坐标方程为xy 2.如图，过点O作直线的垂线，垂足为B.|OB|00 2|1212 1，又R3，所以2|AB|2 R2|OB|24 2，即所截得的弦长为4 2.【变式探究】2(1)(2018江苏卷)在极坐标系中，直线 l 的方程为 sin(6)2，曲线 C 的方程为 4cos，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长；(2)(2018北京卷改编)在极坐标系中，直线 cos sin a(a0)与圆 2cos 相切，求 a 的值 解：(1
10、)由直线 l：sin(6)2 化为直角坐标方程为 x 3y40，由 4cos 化为直角坐标方程为(x2)2y24，它表示圆心为 C(2，0)，半径 R2 的圆设圆心 C 到 l 的距离为 d，则 d|2 304|12（3）21.所以弦长|AB|2 R2d22 412 3.(2)直线的直角坐标方程为 xya，圆的直角坐标方程为 x2y22x，即(x1)2y21，圆心 C(1，0)，半径 R1.因为直线与圆相切，所以 d|1a|12121，所以|a1|2.又 a0，所以 a 21.点评：在极坐标方程背景下处理有关解析几何问题，通常是将极坐标方程化为直角坐标方程，进而将不熟悉的问题转化为熟悉的问题进
11、行求解 考点3极坐标的综合问题【例 3】(经典真题)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x2，圆 C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1，C2 的极坐标方程；(2)若直线 C3 的极坐标为 4(R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求C2MN 的面积 解：(1)因为 xcos，ysin，所以 C1 的极坐标方程为 cos 2，C2 的极坐标方程为 22cos 4sin 40.(2)(方法 1)将 4代入 22cos 4sin 40，得 23 240，解得 12 2，2 2.故 12 2，即|MN|2，由于 C2 的半径为 1，所以
12、C2MN 的面积为12.(方法 2)化为直角坐标处理 C3：4化为直角坐标方程为 yx，又 C2：(x1)2(y2)21，因为圆心到直线的距离 d|21|2 12，所以|MN|2 12d22112 2，所以C2MN 的面积为12.【变式探究】3.(2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos 4.(1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|OP|16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程；(2)设点 A 的极坐标为(2，3)，点 B 在曲线 C2 上，求OAB面积的最大值解：(1)
13、设点 P 的极坐标为(，)(0)，点 M 的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1 4cos.由|OM|OP|16 得 C2 的极坐标方程 4cos(0)因此 C2 的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点 B 的极坐标为(B，)(B0)由题设知|OA|2，B4cos，于是OAB 的面积 S12|OA|BsinAOB4cos sin3 2sin23 32 2 3.当 12时，S 取得最大值 2 3.所以OAB 面积的最大值为 2 3.点评：直线与圆的位置关系的处理，常见的有两种解决方法：方法一：先把涉及的直线、圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据直角坐标系中相关的知识
14、进行求解；方法二：直接利用极坐标相关知识求解，其关键是将已知条件表示成 和 的关系，这一过程有时需要用到解三角形的知识，并需要掌握直线和圆的极坐标方程 1熟练掌握特殊位置的直线、圆的极坐标方程直线和圆的极坐标方程易混淆，可利用直角坐标与极坐标的互化进行辨别和加深理解 2直角坐标方程化极坐标方程只需将 x，y 分别换成cos，sin 即可，而极坐极化直角坐标时，常需两边同乘 或同时平方构造 cos，sin，2 的形式，然后整体代换要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增根或漏解 3由曲线的极坐标方程判断曲线的类型、讨论位置关系等，通常是将极坐标方程化为直角坐标方程，使不熟悉的问题转化为熟悉的问题对一些简单的直线、圆的问题，也可以直接用极坐标知识解决 点击进入WORD链接
