1、高考资源网（） 您身边的高考专家天津市2014届高三理科数学一轮复习试题选编9：圆锥曲线一、选择题 （2013天津高考数学（理）已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, AOB的面积为, 则p =（）A1BC2D3【答案】C 因为,故两条渐近线的方程为,由得两个交点坐标为,所以 （天津耀华中学2013届高三年级第三次月考 理科数学试卷）设F是抛物线的焦点,点A是抛物线与双曲线=1的一条渐近线的一个公共点,且轴,则双曲线的离心率为（）A2BCD【答案】D【解析】由题意知,不妨取双曲线的渐近线为,由得.因为,所以,即,解得,即,所以,即,所
2、以离心率,选D （天津市红桥区2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题（Word版含答案）以抛物线的焦点为圆心,且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（）A(x-5)2+y2=4B(x+5)2+y2=4C(x-10)2+y2=64 (D)(x-5)2+y2=16【答案】D （天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）己知抛物线方程为(),焦点为,是坐标原点, 是抛物线上的一点,与轴正方向的夹角为60,若的面积为,则的值为（）A2BC2或D2或【答案】A （2010年高考（天津理）已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为（）AB C
3、D【答案】B （2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理）已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）ABCD【答案】D （2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理科数学）已知双曲线的左右焦点分别为,在双曲线右支上存在一点满足且,那么双曲线的离心率是（）ABCD 【答案】C因为且,所以,又,所以,即双曲线的离心率为,选C （天津市红桥区2013届高三第二次模拟考试数学理试题（word版） ）己知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1两条渐近线分别交于A,B两点,且|AB|=2,则双曲线的离心率e为
4、（）A2BCD【答案】D （2009高考(天津理)）设抛物线=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于C,=2,则BCF与ACF的成面积之比=（）ABCD 【答案】A （天津市和平区2013届高三第一次质量调查理科数学）若抛物线y2=ax上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A，B，则a的取值范围是（）A(，0)B(0，)C(0，)D【答案】C二、填空题（天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）已知双曲线的左右焦点为,P为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率的取值范围是_.【答案】（天津市天津一中2013届高三上学期第三次
5、月考数学理试题）已知抛物线的参数方程为(为参数),焦点为,准线为,为抛物线上一点,为垂足,如果直线的斜率为,那么_ . 【答案】8 解:消去参数得抛物线的方程为.焦点,准线方程为.由题意可设,则,所以.因为,所以,代入抛物线,得.,所以. 三、解答题（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）（本小题满分13分）如图F1、F2为椭圆的左、右焦点，D、E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，.若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”，直线l与椭圆交于A、B两点，A、B两点的“椭点”分别为P、Q.（1）求椭圆C的标准方程；（2）问是否存在过左焦点F1的直线l，使得以PQ为直径的圆经过坐标原
6、点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）由题意得，故，故，即a=2，所以b=1，c=，故椭圆C的标准方程为.（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为联立解得或，不妨令，所以对应的“椭点”坐标.而.所以此时以PQ为直径的圆不过坐标原点.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为联立，消去y得：设，则这两点的“椭点”坐标分别为，由根与系数的关系可得：，若使得以PQ为直径的圆经过坐标原点，则OPOQ，而，因此，即即=0，解得所以直线方程为或（天津市河北区2013届高三总复习质量检测（二）数学（理）试题）已知椭圆经过点A(2,1)且离心率为,过点B(3,0)的直线l与椭圆
7、交于不同的两点M、N.(I)求椭圆的方程; ()求的取值范围.【答案】 （天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）设点P是曲线C:上的动点,点P到点(0,1)的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为(1)求曲线C的方程(2)若点P的横坐标为1,过P作斜率为的直线交C与另一点Q,交x轴于点M,过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N,问是否存在实数k,使得直线MN与曲线C相切?若存在,求出k的值,若不存在,说明理由.【答案】解:(1)依题意知,解得,所以曲线C的方程为 (2)由题意设直线PQ的方程为:,则点 由,得, 所以直线QN的方程为 由, 得 所以直线MN的斜率为 过点N的切线的斜率
8、为 所以,解得 故存在实数k=使命题成立. （2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理）已知椭圆的离心率为，直线过点，且与椭圆相切于点.（）求椭圆的方程；（）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、，使得?若存在，试求出直线的方程；若不存在,请说明理由.【答案】（）由题得过两点，直线的方程为.因为，所以，. 设椭圆方程为,2分由消去得，.又因为直线与椭圆相切,所以4分6分8分又直线与椭圆相切，由解得，所以10分则. 所以.又 所以，解得.经检验成立.所以直线的方程为.14分（天津市五区县2013届高三质量检查（一）数学（理）试题）设椭圆的中心在坐标原点,对称轴是坐标轴
9、,一个顶点为,右焦点F到点的距离为2.(I)求椭圆的方程;()设经过点(0,-3)的直线Z与椭圆相交于不同两点M,N满足,试求直线的方程.【答案】解:() 依题意,设椭圆方程为, 则其右焦点坐标为, 由,得, 即,故 又, , 所求椭圆方程为 ()由题意可设直线的方程为, 由,知点在线段的垂直平分线上, 由 得 即(*) 即时方程(*)有两个不相等的实数根 设,线段的中点 则,是方程(*)的两个不等的实根,故有 从而有, 于是,可得线段的中点的坐标为 又由于,因此直线的斜率为 由,得 即,解得, 所求直线的方程为: 方法二:设直线的方程为, 则 得: 由 设、 由韦达定理得 , 又,则 移项得
10、:=-=-=- 解得, 此时0适合题意, 所求直线的方程为:=-3 （天津耀华中学2013届高三年级第三次月考 理科数学试卷）如图F1、F2为椭圆的左、右焦点,D、E是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率,.若点在椭圆C上,则点称为点M的一个“椭点”,直线l与椭圆交于A、B两点,A、B两点的“椭点”分别为P、Q.(1)求椭圆C的标准方程;(2)问是否存在过左焦点F1的直线l,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)由题意得,故, , 故,即a=2,所以b=1,c=,故椭圆C的标准方程为. (2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为 联立解得
11、或,不妨令, 所以对应的“椭点”坐标.而. 所以此时以PQ为直径的圆不过坐标原点. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为 联立,消去y得: 设,则这两点的“椭点”坐标分别为,由根与系数的关系可得:, 若使得以PQ为直径的圆经过坐标原点,则OPOQ, 而,因此, 即即=0,解得 所以直线方程为或 （2012年天津理）设椭圆的左、右顶点分别为,点P在椭圆上且异于两点,为坐标原点.()若直线与的斜率之积为,求椭圆的离心率;()若,证明:直线的斜率满足.【答案】(1)取,;则(2)设;则线段的中点（2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理科数学）设椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为,在轴负
12、半轴上有一点,满足,且.()求椭圆的离心率;()是过三点的圆上的点,到直线的最大距离等于椭圆长轴的长,求椭圆的方程; ()在()的条件下,过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中垂线与轴相交于点,求实数的取值范围.【答案】【解】()连接,因为,所以, 即,故椭圆的离心率 (其他方法参考给分) ()由(1)知得于是, , 的外接圆圆心为),半径 到直线的最大距离等于,所以圆心到直线的距离为, 所以,解得 所求椭圆方程为 ()由()知, : 代入消得 因为过点,所以恒成立 设,则, 中点 当时,为长轴,中点为原点,则 当时中垂线方程. 令, , 可得 综上可知实数的取值范围是 （2013天津
13、高考数学（理）设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. () 求椭圆的方程; () 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. 【答案】本题主要考查椭圆的标准方程和 几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力. ()解:设,由,知.过点F且与轴垂直的直线为,代入椭圆方程有,解得,于是,解得,又,从而,所以椭圆的方程为. ()解:设点,由得直线CD的方程为, 由方程组消去,整理得. 求解可得,.因为, 所以 . 由已知得
14、,解得. （天津市十二校2013届高三第二次模拟联考数学（理）试题）已知椭圆的离心率为,椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合,过点且不垂直于轴,直线与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的方程;(2)已知是坐标原点,求的取值范围;(3)若点关于轴的对称点是点,证明:直线与轴相交于定点.【答案】 （天津市蓟县二中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设椭圆的左右焦点分别为F1、F2,A是椭圆C上的一点,坐标原点O到直线AF1的距离为()求椭圆C的方程;()设Q是椭圆C上的一点,过点Q的直线交轴于点,交轴于点M,若,求直线的斜率.【答案】 直线的方程为,则有 设,由于、三点共线,且 （2009高考(天津
15、理)）以知椭圆的两个焦点分别为,过点的直线与椭圆相交与两点,且(1)求椭圆的离心率; (2)求直线AB的斜率; (3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线上有一点在的外接圆上,求的值 【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算能力和推理能力,满分14分 (I)解:由/且,得,从而 整理,得,故离心率 (II)解:由(I)得,所以椭圆的方程可写为 设直线AB的方程为,即. 由已知设,则它们的坐标满足方程组 消去y整理,得. 依题意, 而 由题设知,点B为线段AE的中点,所以 联立解得, 将代入中,解得.
16、 (III)解法一:由(II)可知 当时,得,由已知得. 线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴 的交点是外接圆的圆心,因此外接圆的方程为. 直线的方程为,于是点H(m,n)的坐标满足方程组 , 由解得故 当时,同理可得. 解法二:由(II)可知 当时,得,由已知得 由椭圆的对称性可知B,C三点共线,因为点H(m,n)在的外接圆上, 且,所以四边形为等腰梯形. 由直线的方程为,知点H的坐标为. 因为,所以,解得m=c(舍),或. 则,所以. 当时同理可得 （天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题（WORD版）椭圆E:+=1(ab0)离心率为,且过P(,).(1)求椭圆E的方程;(2)已知
17、直线l过点M(-,0),且与开口朝上,顶点在原点的抛物线C切于第二象限的一点N,直线l与椭圆E交于A,B两点,与y轴交与D点,若=,=,且+=,求抛物线C的标准方程.【答案】【解析】 解. (1) 点P(,)在椭圆上 (2)设的方程为直线与抛物线C切点为 , 解得, 代入椭圆方程并整理得: 则方程(1)的两个根, 由, , ,解得 （天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学理试题）已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,一条渐近线方程为,右焦点,双曲线的实轴为,为双曲线上一点(不同于),直线,分别与直线交于两点(1)求双曲线的方程;(2)是否为定值,若为定值,求出该值;若不为定值,说明
18、理由.【答案】(1) (2) 因为三点共线 ,同理 （天津市红桥区2013届高三第二次模拟考试数学理试题（word版） ）已知椭圆:=l(ab0)的一个顶点坐标为B(0,1),若该椭圆的离心率等于.(I)求椭圆的方程.()设Q是椭圆上任意一点,F1F2分别是左、右焦点,求F1QF2的取值范围;()以B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC,判断这样的三角形存在吗?若存在,有几个?若不存在,请说明理由.【答案】 （天津市宝坻区2013届高三综合模拟数学（理）试题）如图,圆与离心率为的椭圆()相切于点.()求椭圆的方程;()过点引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点、与点、(均不重合).(
19、)若为椭圆上任一点,记点到两直线的距离分别为、,求的最大值;()若,求与的方程.AOBDMxyC【答案】解: ()由题意: 解得 椭圆的方程为 ()()设因为,则因为 所以 因为 所以当时取得最大值为,此时点 ()设的方程为,由解得 由 解得 同理可得, 所以, , 由得解得 所以的方程为,的方程为 或的方程为,的方程为 （天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴的距离的差都是1.()求曲线C的方程;()是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有0?若存在,求出m的取值
20、范围;若不存在,请说明理由.【答案】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的性质等基础知识,同时考查推理运算的能力. 解:(I)设P是直线C上任意一点,那么点P()满足: 化简得 (II)设过点M(m,0)的直线与曲线C的交点为A(),B() 设的方程为,由得,. 于是 又 又,于是不等式等价于 由式,不等式等价于 对任意实数t,的最小值为0,所以不等式对于一切t成立等价于 ,即 由此可知,存在正数m,对于过点M(,0)且与曲线C有A,B两个交点的任一直线,都有,且m的取值范围是 （天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）已知中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆过点
21、,且它的离心率.()求椭圆的标准方程;()与圆相切的直线交椭圆于两点,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围.OxyMN【答案】解:() 设椭圆的标准方程为 由已知得: 解得 所以椭圆的标准方程为: () 因为直线:与圆相切 所以, 把代入并整理得: 7分 设,则有 因为, 所以, 又因为点在椭圆上, 所以, 因为 所以 所以 ,所以 的取值范围为 （2011年高考（天津理）在平面直角坐标系xoy中,点为动点,、分别为椭圆的左、右焦点,已知为等腰三角形.()求椭圆的离心率()设直线与椭圆相交于A,B两点,M是直线上的点,满足,求点M的轨迹方程.【答案】【命题立意】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何
22、形状、直线的方程、平面向量等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想,考查解决问题能力与运算能力. 【解析】(I)设、,由题意,可得,即,整理得得(舍去)或,所以 (II)由(I)知,可得椭圆方程为,直线方程为A,B两点的坐标满足方程组,消去y并整理,得,解得,得方程组的解为,不妨设 ,设点M的坐标为,则,由,得,于是,由,即,化简得,将 代入,得,所以,所以点M的轨迹方程是(). （2010年高考（天津理）已知椭圆的离心率,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4(1)求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆相交于不同的两点,已知点的坐标为(),点 在线段的垂直平分线上,且,求的
23、值【答案】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质,直线的方程,平面向量等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算和推理能力 ()解:由,得,再由,得 由题意可知, 解方程组 得 a=2,b=1 所以椭圆的方程为 ()解:由(1)可知A(-2,0)设B点的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2), 于是A,B两点的坐标满足方程组 由方程组消去Y并整理,得 由得 设线段AB是中点为M,则M的坐标为 以下分两种情况: (1)当k=0时,点B的坐标为(2,0)线段AB的垂直平分线为y轴,于是 (2)当K时,线段AB的垂直平分线方程为 令x=0
24、,解得 由 整理得 综上 （2013届天津市高考压轴卷理科数学）已知椭圆(ab0)的焦距为4,且与椭圆有相同的离心率,斜率为k的直线l经过点M(0,1),与椭圆C交于不同两点A、B.(1)求椭圆C的标准方程;(2)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时,求k的取值范围.【答案】解:(1)焦距为4, c=2 又的离心率为 ,a=,b=2 标准方程为 (2)设直线l方程:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 由得 x1+x2=,x1x2= 由(1)知右焦点F坐标为(2,0), 右焦点F在圆内部,0 (x1 -2)(x2-2)+ y1y20 即x1x2-2(x1+x2)+4+k2 x1x2+k(x1+x2)+10 0 k 经检验得kb0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e.(1)若e=,求椭圆的方程:(2)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF2,BF2的中点.若坐标原点O在以MN为直径的圆上,且e,求k的取值范围.【答案】解:(1) 高考资源网版权所有，侵权必究！
