1、第五章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第3课时 两角和与差的正切公式 学 习 目 标核 心 素 养 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用(难点)1.通过利用公式进行化简、证明等问题，培养逻辑推理素养.2.借助公式进行求值，提升数学运算素养.情 景 导 学 探 新 知 根据同角三角函数的商数关系 tan sin cos，怎样由 sin()以及 cos()的公式将 tan()用 tan，tan 来表示？如何将 ta
2、n()用 tan，tan 来表示？提 示：tan()sincos sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos cos sin sin cos cos tan tan 1tan tan，tan()tan()tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan.两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件 两角和的正切T()tan()，k2(kZ)且 tan tan 1两角差的正切T()tan()，k2(kZ)且 tan tan 1tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan 1思考辨析
3、(正确的画“”，错误的画“”)(1)存在，R，使 tan()tan tan 成立()(2)对任意，R，tan()tan tan 1tan tan 都成立()(3)tan()tan tan 1tan tan 等价于 tan tan tan()(1tan tan)()提示(1).当 0，3时，tan()tan03 tan 0tan 3，但一般情况下不成立(2).两角和的正切公式的适用范围是，k2(kZ)(3).当 k2(kZ)，k2(kZ)，k2(kZ)时，由前一个式子两边同乘以 1tan tan 可得后一个式子 答案(1)(2)(3)2已知 tan tan 2，tan()4，则 tan tan
4、等于()A2 B1 C.12 D4C tan()tan tan 1tan tan 4，且 tan tan 2，21tan tan 4，解得 tan tan 12.3求值：tan1112.2 3 tan1112 tan 12tan46 tan4tan61tan4tan61 331 33 2 3.4已知 tan 3，则 tan4.2 tan4 tan tan41tan tan4 311312.合 作 探 究 释 疑 难 两角和与差的正切公式的正用【例 1】(1)已知，均为锐角，tan 12，tan 13，则.(2)如图，在ABC 中，ADBC，D 为垂足，AD 在ABC的 外 部，且 BDCDAD
5、 236，则 tanBAC.思路点拨(1)先用公式 T()求 tan()，再求.(2)先求CAD，BAD 的正切值，再依据 tanBACtan(CADBAD)求值(1)4(2)17(1)tan 12，tan 13，tan()tan tan 1tan tan 1213112131.，均为锐角，(0，)，4.(2)ADBC 且 BDCDAD236，tanBADBDAD13，tanCADCDAD12，tanBACtan(CADBAD)tanCADtanBAD1tanCADtanBAD 121311213 17.1公式 T()的结构特征和符号规律：(1)结构特征：公式 T()的右侧为分式形式，其中分子
6、为 tan 与 tan 的和或差，分母为 1 与 tan tan 的差或和(2)符号规律：分子同，分母反 2利用公式 T()求角的步骤：(1)计算待求角的正切值(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息(3)根据角的范围及三角函数值确定角跟进训练1(1)已知 tan54 15，则 tan.(2)已知角，均为锐角，且 cos 35，tan()13，则 tan.(1)32(2)3(1)因为 tan54 15，所以 tan tan54 54 tan54 tan 541tan54 tan 54151115132.(2)因为 cos 35，为锐角，所以 sin 45，tan 43，所以 tan tan(
7、)tan tan1tan tan4313143133.两角和与差的正切公式的逆用【例 2】(1)1tan 151tan 15.(2)1 3tan 753tan 75.思路点拨 注意特殊角的正切值和公式 T()的结构，适当变形后逆用公式求值(1)3(2)1(1)原式 tan 45tan 151tan 45tan 15 tan(4515)tan 60 3.(2)原式33 tan 751 33 tan 75 tan 30tan 751tan 30tan 75 tan(3075)tan 451.公式 T的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.如等.要特别注意 跟进训练2已知、均为锐角，
8、且 sin 22sin 2，则()Atan()3tan()Btan()2tan()C3tan()tan()D3tan()2tan()A sin 22sin 2，sin()()2sin()()，sin()cos()cos()sin()2sin()cos()2cos()sin()，sin()cos()3cos()sin()，两边同除以 cos()cos()得 tan()3tan()两角和与差的正切公式的变形运用 探究问题1两角和与差的正切公式揭示了 tan tan 与哪些式子的关系？提示：揭示了 tan tan 与 tan tan，tan tan 与 tan tan 之间的关系2若 tan、tan
9、 是关于 x 的方程 ax2bxc0(a0，b24ac0)的两个根，则如何用 a、b、c 表示 tan()?提示：tan()tan tan 1tan tan ba1ca bac.【例 3】(1)tan 67tan 22tan 67tan 22.(2)已知ABC 中，tan Btan C 3tan Btan C 3，且 3tan A 3tan Btan Atan B1，试判断ABC 的形状思路点拨(1)看到 tan 67tan 22与 tan 67tan 22想到将tan(6722)展开变形，寻找解题思路(2)先由关于角 A，B 的等式求出 tan(AB)得角 AB，然后求角C 并代入关于角 B
10、，C 的等式求角 B，最后求角 A，判断ABC 的形状(1)1 tan 67tan 22 tan(6722)(1tan 67tan 22)tan 45(1tan 67tan 22)1tan 67tan 22，tan 67tan 22tan 67tan 22 1tan 67tan 22tan 67tan 221.(2)解 3tan A 3tan Btan Atan B1，3(tan Atan B)tan Atan B1，tan Atan B1tan Atan B 33，tan(AB)33.又 0AB，AB56，C6.tan Btan C 3tan Btan C 3，tan C 33，tan B
11、33 tan B 3，tan B 33，B6，A23，ABC 为等腰钝角三角形1将例 3(1)中的角同时增加 1结果又如何？解 tan 45tan(6823)tan 68tan 231tan 68tan 23，1tan 68tan 23tan 68tan 23，即 tan 68tan 23tan 68tan 231.2能否为例 3(1)和探究 1 归纳出一个一般结论？若能，试证明解 一般结论：若 45(，k18090，kZ)，则 tan tan tan tan 1.证明：tan 45tan()tan tan 1tan tan，1tan tan tan tan，即 tan tan tan tan
12、 1.1整体意识：若化简的式子中出现了“tan tan”及“tan tan”两个整体，常考虑 tan()的变形公式 2熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：(1)tan tan tan()(1tan tan)；(2)1tan tan tan tan tan；(3)tan tan tan tan tan()tan()；(4)tan tan 1tan tan tan.提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式课 堂 小 结 提 素 养 1牢记 2 个公式T()、T()公式 T()与 S()、C()的一个重要区别，就是前者角、都不能取 k2(kZ)，而后两者、R，应
13、用时要特别注意这一点2关注 4 个变形 注意公式的变形应用如：tan tan tan()(1tan tan)，1tan tan tan tan tan，tan tan tan()(1tan tan)，1tan tan tan tan tan 等3规避 1 个易错 注意公式中的符号1若 tan 3，tan 43，则 tan()等于()A3 B3C.13D13C tan()tan tan 1tan tan 343134313.2若 tan 3，tan()2，则 tan()A.17 B17 C1 D1A tan tan()tantan 1tantan 2312317.3若 tan3 3，则 tan
14、的值为65 313 tan tan33 tan3tan31tan3tan3 331 33 333 313 321 1210 326 65 313.4已知 tan()35，tan3 13，则 tan3.29 tan3 tan3 tantan31tantan3 351313513 29.5已知 cos 55，cos 35，其中，都是锐角，求 tan()的值解 因为，都是锐角，所以 sin 1cos22 55，sin 1cos245，tan sin cos 2，tan sin cos 43，所以 tan()tan tan 1tan tan 2.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
