1、第9节函数模型及其应用 选题明细表知识点、方法题号用函数(图象)刻画实际问题1,2二次函数、分段函数模型4,9,12指数、对数函数模型3,5,6,10函数模型综合应用7,8,11(建议用时:20分钟)1.有一个盛水的容器,由悬在它的上空的一条水管均匀地注水,最后把容器注满,在注水过程中时刻x,水面高度y的关系如图所示,图中PQ为一线段,与之对应的容器的形状是(B)解析:由函数图象可判断出该容器必定有不规则形状,并且一开始先慢后快,所以下边粗,上边细,再由PQ为直线段则是均匀变化的,容器上端必是直的一段,故排除A,C,D,故选B.2.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情
2、况.加油时间加油量(升)加油时累计里程(千米)2019年10月1日1235 0002019年10月15日6035 600(注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为(C)(A)6升(B)8升(C)10升(D)12升解析:因为第二次加满油箱,加了60升,所以从第一次加油到第二次加油共用油60升,行驶600千米,所以在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为=10升,故选C.3.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,要想容器
3、中的沙子只有开始时的八分之一,则需再经过(B)(A)8 min(B)16 min(C)24 min(D)32 min解析:依题意有ae-b8=a,所以b=,所以y=a,若容器中细沙只有开始时的时,则有a=a,解得t=24.所以再经过24-8=16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一,故选B.4.中华人民共和国个人所得税法规定,公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税,超过5 000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算:全月应纳税所得额税率(%)不超过3 000元的部分3超过3 000元至12 000元的部分10超过12 000元至25 000元的部分20超过
4、25 000元至35 000元的部分25小王一月份缴纳此项税款330元,那么他当月的工资、薪金所得是(C)(A)14 000元(B)24 000元(C)10 400元(D)20 400元解析:当当月的工资、薪金所得为8 000元时,应缴税(8 000-5 000)3%=90(元),当当月的工资、薪金所得为8 000到17 000元时,应缴税最多为90+9 00010%=990(元),现小王一月份缴纳此项税款为330元,则他当月的工资、薪金所得为8 000到17 000元,由330-90=240,8 000+2 400=10 400(元),故他当月的工资、薪金所得是10 400元,故选C.5.当
5、生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是(C)(A)8(B)9(C)10(D)11解析:设死亡生物体内原有的碳14含量为1,则经过n(nN*)个“半衰期”后的含量为()n,由()n100,即100,所以n=6.即从第7年开始,前n年获利总和超过投入的100万元.答案:77.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池,其容积为4 800 m3,深度为3 m.如果池底每1 m2的造价为
6、150元,池壁每1 m2的造价为120元,要使水池总造价最低,那么水池底部的周长为m.解析:设水池底面一边的长度为x m,则另一边的长度为 m,由题意可得水池总造价f(x)=150+120(23x+23)=240 000+720(x+)(x0).则f(x)=720(x+)+240 0007202+240 000=720240+240 000=297 600.当且仅当x=,即x=40时,f(x)有最小值297 600.此时另一边的长度为=40 m.因此,当水池的底面周长为160 m时,水池的总造价最低,最低总造价是297 600元.答案:1608.某地西红柿从2月1日开始上市,通过市场调查,得到
7、西红柿种植成本Q(单位:元/100 kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=abt,Q=alogbt.利用你选取的函数,求得:西红柿种植成本最低时的上市天数是;最低种植成本是(元/100 kg).解析:根据表中数据可知函数不单调,所以Q=at2+bt+c,且开口向上,对称轴t=-=120,代入数据解得所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120,最低种植成本是14 400a+120b+c=14 4000.01+120(-2.
8、4)+224=80(元/100 kg).答案:12080(建议用时:25分钟)9.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示).当截取的矩形面积最大时,矩形两边的长x,y应为(A)(A)x=15,y=12(B)x=12,y=15(C)x=14,y=10(D)x=10,y=14解析:结合题图,可得=,得y=24-,矩形铁片的面积S=xy=x(24-)=-+24x,所以当x=-=15时,S最大,此时y=24-15=12,故选A.10.某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(毫克/升)与过滤时间t(时)
9、之间的函数关系式为 P=P0e-kt(k,P0均为正的常数).如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%,那么至少还需过滤小时才可以排放(C)(A)(B)(C)5(D)10解析:由题意,知前5个小时排除了90%的污染物.因为P=P0e-kt,所以(1-90%)P0=P0e-5k,所以0.1=e-5k,即-5k=ln 0.1,所以k=-ln 0.1.设t小时后污染物含量为1%,由1%P0=P0e-kt,得0.01=e-kt,所以-kt=ln 0.01,即ln 0.1=ln 0.01=2ln 0.1,所以t=10.即至少还需过滤5小时才可以排放.故选C.11.网店和实体店各有利弊,两者的结合
10、将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x=3-.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是万元.解析:由题知t=-1,(1x3),所以月利润:y=(32150%+)x-32x-3-t=16x-3=16x-+-3=45.5-16(3-x)+45.5-2=37.5,当且仅当x
11、=时取等号,即最大月利润为37.5万元.答案:37.512.某公司代理销售某种品牌小商品,该产品进价为 5元/件,销售时还需交纳品牌使用费3元/件,售价为 x元/件,其中10x30,且xN*.根据市场调查,当10x15,且xN*时,每月的销售量h(万件)与(18-x)2成正比;当15x30,且xN*时,每月的销售量h(万件)与1-成反比.已知售价为15元/件时,月销售量为9万件.(1)求该公司的月利润f(x)(万元)与每件产品的售价x(元)的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,该公司的月利润f(x)最大?并求出最大值.解:(1)当10x15且xN*时,设h(x)=k1(18-x)2,由题意可知h(15)=9,即9=9k1,故k1=1.此时利润f(x)=(x-8)(18-x)2.当15x30且xN*时,设h(x)=,又h(15)=9,故9=,故k2=3.此时利润f(x)=(x-8)=.所以f(x)=(2)当10x15且xN*时,f(x)=(x-18)(3x-34),令f(x)=0可得x=18(舍去)或x=.所以当10x0,当x15时,f(x)0,故f(x)在15,30上单调递增,所以当x=30时,f(x)取得最大值f(30)=99.综上,当x=11时,f(x)取得最大值147.答:当每件产品的售价为11元时,该公司的月利润 f(x) 最大,最大利润为147万元.
