1、南充高中20192020学年度下期高2018级期中考试数学试卷（理） 第卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知是虚数单位，则复数的虚部是（ ）A. B. C. D. 2、右图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( ) A. 5 B. 4 C. 6 D. 93、点的极坐标是，则在以极点为原点，极轴为轴正半轴的平面直角坐标系中，点的直角坐标是（ ）A. B. C. D. 4、已知数列满足，若，则（ ）A. B. C. D. 5、已知命题，则命题的否定为（）A. B. C. D. 6、在三棱锥中，且两两互相垂直,
2、则三棱锥的外接球的体积为( )A. B. C. D. 7、阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入的值为6，则输出的值为（ ）A B C D8、已知是所在平面内一点，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（ ）A. B C D9、过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，若两点的横坐标之和为3，则（ ）A B C D10、已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（ ）A BC D11、已知离心率为2的双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线在第一象限的交点为，的角平分线与交于点，若，则的值是（）A. B. C. D. 12、已知函数，若时，恒有，则的最大值为（ ）
3、A. B. C. D. 第卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13、 从1，2，3，.，9这9个正整数中选择两个，使其和为奇数，则不同的选择方法种数是 .14、函数的图象在处的切线方程为，则 ， 15、已知是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，是圆心，若四边形的面积的最小值为，则的值为 .16、已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是 。三、解答题（共70分）17、（10分）已知命题不等式的解集是. 命题函数在定义域内是增函数. 若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.18、（12分）目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，
4、采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下表格.（i）请将表格补充完整；短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上9060岁以下140合计300（ii）研究发现，某药物对新冠
5、病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7人做I期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率.19、（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，为的中点，底面，.（1） 求证：平面；（2）求钝二面角的余弦值. 20、（12分）在直角坐标系中，已知直线过点以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；（2）若与交于两点，求的最大值21、（12分）已知椭圆经过点与两点.（1） 求椭圆的方程；（2） 过原点的直线与椭圆交于两点（不与椭圆的顶点重合）， 椭圆上一点满足 . 求证:
6、为定值.22、（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）设函数，若有两个零点，（i）求的取值范围；（ii）证明：. 试卷答案(理科)一、选择题123456789101112DCADCACBCDDC二、填空题13141516203三、解答题17 解：若命题为真命题，则，解得；若命题为真命题，则，.因为 为真命题，为假命题，所以两命题一真一假（1） p真q假，则，（2） p假q真，则，综上所述，的取值范围是.18 （1）平均数. “长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率为0.5所以500人中“长潜伏者”的人数为人（2）（i）由题意补充后的表格如图：短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上907016
7、060岁以下6080140合计150150300（ii）由分层抽样知7人中，“短潜伏者”有3人，记为，“长潜伏者”有4人，记为D，E，F，G， 从中抽取2人，共有，共有21种不同的结果，两人中恰好有1人为“长潜伏者”包含了12种结果. 所以所求概率.19 解：（1）证明：，.四边形是矩形，所以，由 ，.，为的中点，由 . （2）由已知三条直线两两垂直，于是可以分别以射线、为建立空间直角坐标系.则,所以设平面的法向量为，则，令，则.设平面的法向量为，则，令，则.设二面角的平面角为，由已知为钝角，.20. (1)将方程两边同时乘以，得，即所以曲线的直角坐标方程为.(2) 设直线的倾斜角为，直线与抛
8、物线有两个交点，所以直线的参数方程为，将其代入，得设两点对应的参数分别是，则由于，一正一负于是当时，的最大值为21 （1）将与代入椭圆方程，得，解得，椭圆的方程为.（2）直线过原点，所以两点关于原点对称.，在线段的中垂线上.不与椭圆的顶点重合，所以直的斜率存在且不为0，设其为.所以直线的方程为，由所以 ，又直线，同理可得，22 解：（1），当时，；上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，上单调递增，在上单调递减；当时，上单调递增，在上单调递减； （2），(i) 若，则恒成立，在上递增，所以至多一个零点，与已知不符合，故时，在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，为当时， 当时，有两个零点，所以只需极大值，即设，则，所以在上单调递减又，所以使得的.(II) 结合（i）的分析，不妨设，设，所以当时，在上单调递增.，且，又，由，可知与均属于，又在上单调递减，由，即.
