1、第四部分 选考内容第二十八讲 几何证明选讲(选修41)1.利用平行线等分线段定理和平行线分线段成比例定理进行相关推理和计算2相似三角形的判定及有关性质，直角三角形的射影定理的应用3应用圆心角、圆周角、弦切角定理说明角之间的关系考纲要求4应用圆内接四边形的性质进行推理5利用圆的切线的性质和判定进行推理和证明6利用圆中的比例线段进行计算和推理考纲要求要点串讲1.平行线分线段成比例定理及推论(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例2相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定预备定理：平行于三角形一边的直
2、线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似如图，若 EFBC，则AEFABC.判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理 3：三边对应成比例，两三角形相似(2)直角三角形相似的判定上述所有的任意三角形相似的判定皆适用于直角三角形定理 1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似定理 2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似定理 3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(3)相似三角形的性质相似三角形的性质(一)()相似三
3、角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比()相似三角形周长的比等于相似比()相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形的性质(二)()相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比()相似三角形外接圆的面积比等于相似比的平方3圆周角定理(1)圆周角定理及其推论定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论()推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧也相等()推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数4圆内接四边形的性质与判定定理(1)圆内接四边形的性质定理定理 1：
4、圆内接四边形的对角互补定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角(2)圆内接四边形的判定定理及推论判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆5圆的切线的性质及判定定理(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径(2)推论：推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心6弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角7与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦 AB、CD相 交 于圆内点 P(1)PAPBPCPD(2)ACP
5、BDP(1)在 PA、PB、PC、PD 四线段中知三求一(2)求弦长及角割线定理PAB、PCD 是O 的割线(1)PAPBPCPD(2)PACPDB(1)求线段 PA、PB、PC、PD 及AB、CD(2)应用相似比求 AC、BD切割线定理PA 切O 于A，PBC 是O 的割线(1)PA2 PBPC(2)PABPCA(1)已知 PA、PB、PC 知二可求一(2)求解 AB、CA切线长定理PA、PB 是 O 的 切线(1)PAPB(2)OPAOPB(1)证 线 段 相等，已知 PA求 PB(2)求角高频考点类型一 平行线(等)分线段成比例定理的应用【例 1】如图，F 为ABCD 边上一点，连 DF
6、交 AC 于 G，延长 DF 交 CB 的延长线于 E.求证：DGDEDFEG.分析 由于条件中有平行线，考虑平行线(等)分线段定理及推论，利用相等线段(平行四边形对边相等)，经中间比代换，证明线段成比例，得出等积式证明 四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ABDC，ADBC，ADBC，DGEGADEC，又ABDC，DFDEBCECADEC，DGEGDFDE，即 DGDEDFEG.类型二 相似三角形判定定理、性质定理的应用【例 2】如图，BD、CE 是ABC 的高，求证：ADEABC.分析 易证AECADB，可得证明 BD、CE 是ABC 的高，AECADB90，又AA，AECADB，A
7、DABAEAC，又AA，ADEABC.类型三 直角三角形射影定理的应用【例 3】如图，在 RtABC 中，BAC90，ADBC 于 D，DFAC 于 F，DEAB 于 E，求证：AD3BCBECF.分析 题目中有直角三角形和斜边上的高符合直角三角形射影定理的两个条件，选择合适的直角三角形是解决问题的关键证明 ADBC，ADBADC90，在 RtADB 中，DEAB，由射影定理得 BD2BEAB，同理 CD2CFAC，BD2CD2BEABCFAC又在 RtABC 中，ADBC，AD2BDDC由得 AD4BD2DC2BECFABACBECFADBC，AD3BCBECF.类型四 圆内接四边形性质及判
8、定定理的应用【例 4】如图，已知 AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的割线，与O 交于 B，C 两点，圆心 O 在PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点(1)求证：A，P，O，M 四点共圆；(2)求OAMAPM 的大小分析 要证 A、P、O、M 四点共圆，可考虑四边形APOM 的对角互补；根据四点共圆，同弧所对的圆周角相等，进行等量代换，进而求出OAMAPM 的大小解(1)证明：连接 OP，OM，AP 与O 相切于点 P，OPAP，M 是O 的弦 BC 的中点，OMBC，于是OPAOMA180.由圆心 O 在PAC 的内部，可知四边形 APOM 的对角互补，所以 A，P，O，M 四
9、点共圆(2)由(1)得，A，P，O，M 四点共圆，所以OAMOPM，由(1)得 OPAP，由圆心 O 在PAC 的内部，可知OPMAPM90，OAMAPM90.类型五 圆的切线的性质及判定的应用【例 5】已知 AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD(如图)求证：DC 是O 的切线分析 因为 DC 过O 上的点 D，所以可连接 OD，只要证明 DCOD，因为 BC 和O 切于 B，所以OBC90，因此只需证ODCOBC，而这两个角分别在两个三角形中，只需证它们全等证明 连接 OD.OAOD，12，ADOC，13，24，34.又OBOD，OCOC，OBCODC，O
10、BCODC.BC 是O 的切线，OBC90ODC90，DC 是O 的切线类型六 与圆有关的比例线段【例 6】如图所示，已知O1与O2相交于 A、B两点，过点 A 作O1的切线交O2于点 C，过点 B 作两圆的割线，分别交O1、O2于点 D、E，DE 与 AC 相交于点 P.(1)求证：ADEC；(2)若 AD 是O2的切线，且 PA6，PC2，BD9，求 AD 的长分析(1)要证ADEC 可证DE寻找中间角，可连接AB(2)可由相交弦定理和平行线分线段成比例定理求得解(1)证明：连接 AB，AC 是O1的切线，BACD.又BACE，DE，ADEC.(2)设 BPx，PEy.PA6，PC2，由相
11、交弦定理得 PAPCBPPE，xy12ADEC，DPPEAPPC，9xy62 由可得，x3y4 或x12y1(舍去)，DE9xy16.AD 是O2的切线，DE 是O2的割线，AD2DBDE916，AD12.好方法好成绩1.圆中关于角的三个定理圆心角定理：圆心角等于它所对弧的度数；圆周角定理：圆周角等于它所对弧的度数的一半；弦切角定理：弦切角的度数等于所夹角弧度数的一半这是三个相互关联的定理，这三个定理通过其所对的弧建立相互关系，是解决圆的问题中所不可缺少的工具在解决与圆有关的问题时，作圆的直径就可以利用直径上的圆周角是直角，往往能使问题找到突破口直径上的圆周角是直角是圆周角定理的一个特殊情况，
12、这个定理无论在几何证明中还是在高中数学的其他地方都有重要应用，应熟练掌握2证明四点共圆常用的方法一是利用圆内接四边形的判定定理，去证明四点组成的四边形的对角互补；二是证明四点到某一点的距离都相等通过四点共圆就可以在圆上使用圆周角定理，实现角相等的转化，把分散的条件集中起来，这是进行几何推理证明的一个重要技巧.高考陪练1.在 RtABC 中，C90，CDAB 于 D，已知AC4.(1)若 AD2，则 BD_；(2)若 BC4 3，则 CD_.解析：方法一：(1)由直角三角形的射影定理得AC2ADAB，ABAC2AD 422 8，BDABAD826.(2)AB AC2BC2424 328，AC2A
13、DAB，ADAC2AB 428 2.BDABAD826.CD2ADDB，CD ADDB 262 3.方法二：(1)如图，在 RtCAD 和 RtBAC 中，A为公共角，ACBADC90，RtBACRtCAD，ACABADAC，AC2ADAB，ABAC2AD 422 8，BDABAD826.(2)由勾股定理得 AB424 328.由三角形的面积相等得 CDABACBC，即CDACBCAB 44 382 3.答案：(1)6(2)2 32.如图，D、E 两点分别在 AC、AB 上，且 DE 与 BC不平行，请填上一个你认为适合的条件：_，使得ADEABC.解析：AA，由两角对应相等，两三角形相似，可
14、添加1B 或2C；由两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可添加AEACADAB.答案：1B或2C或AEACADAB3.已知如图，O 和O相交于 A、B 两点，过 A作两圆的切线分别交两圆于 C、D.若 BC2，BD4，则AB 的长为_解析：AC、AD 分别是两圆的切线，C2，1D，ACBDAB.BCABABBD，AB2BCBD248.AB 82 2(舍去负值)答案：2 24(2011广东模拟)如图所示，AB 是圆 O 的直径，CB 切圆 O 于 B 点，CD 切圆 O 于 D 点，交 BA 的延长线于 E 点，若 AB3，ED2，则 BC 的长为_解析：由切割线定理得ED2EAEB，22E
15、A(EA3)，即 EA23EA40，解得 EA1(舍去负值)，EB4.CB 切圆 O 于 B 点，CD 切圆 O 于 D 点，AB 是圆 O的直径，CDCB，CBE90，由勾股定理得 CB2EB2CE2，即 CB242(2CB)2，解得 CB3.BC 的长为 3.答案：35(2011广东)如图所示，过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A，B 且 PB7，C 是圆上一点使得BC5，BACAPB，则 AB_.解析：PA 与O 切于点 A，PABBCA(弦切角等于同弧上的圆周角)，又BACAPB，PABACB，PBABABBC，AB2PBBC，PB7，BC5，AB 75 35.答案：35高考专题训练二十八
