1、南阳中学2023-2024学年第一学期高二级第一次月考数学科试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题，8个小题，每小题5分共40分.1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果.【详解】由空间直角坐标系的性质可知，点关于平面对称的点的坐标是.故选：A2. ，若，则（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量共线求出m，n的值作答.【详解】因为，则存在，使得，即，于是，解得，所以.故选：C3. 某人连续投篮两次，则他至少投中一次的对立事件是（ ）A. 至多投中
2、一次B. 两次都投中C. 只投中一次D. 两次都没投中【答案】D【解析】【分析】根据对立事件的定义判断.【详解】至少投中1次的反面是没有一次投中，因此选项D正确故选：D4. 已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（ ）A. -3或1B. 3或C. -3D. 1【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的模的坐标表示结合即可求得x的值，再根据，列出方程，即可求得y，从而可得答案.【详解】因为，所以，又，所以，所以，所以，所以当时，则，当时，则，所以或.故选：A.5. 在空间直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】
3、【分析】根据平行四边形对角线的交点为中点可得答案.【详解】设，因为与的中点相同，所以，解得，所以.故选：A.6. 利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率甲、乙两名选手进行比赛，采用三局两胜制决出胜负，若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为利用计算机产生15之间的随机整数，约定出现随机数1或2时表示一局比赛甲获胜，由于要比赛3局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数如下：354 151 314 432 125 334 541 112 443 534 312 324 252 525 453 114 344 423 123 243，则
4、依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意分析随机数中表示甲获胜的数目，然后利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】根据题意，在20组随机数中，表示甲获胜有：151，125，112，312，252，114，123，共7种情况，所以可估计甲选手最终赢得比赛的概率为，故选：B7. 已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由空间向量夹角的坐标表示求，再根据点到直线距离为即可求结果.【详解】由题设，则，所以，而，故到l的距离为.故选：C8. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，点在侧面内
5、，若，则的面积的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的坐标运算求得，进而结合二次函数性质求得，利用三角形面积公式，即可求得答案.【详解】以点为空间直角坐标系的原点，分别以，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，则点，所以因为，所以,因为，所以，所以因为，所以，所以,因为，所以当时，因为正方体中，平面，平面,故，所以，故选：B二、多选题，4个小题，每小题5分共20分，有错选不得分，少选且正确得2分.9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算
6、逐项计算并判断.【详解】对于A，向量，则，A正确；对于B，B错误；对于C，由数量积的定义得，C错误；对于D，所以，D正确.故选：AD.10. 设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（ ）A. ，两两不共线，但两两共面B. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使得C. ，能构成空间另一个基底D. 若，则实数，全为零【答案】ABD【解析】【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可.【详解】因为构成空间的一个基底，所以，两两不共线，但两两共面，故A正确；对空间任一向量，总存在有序实数组，使得，故B正确；因为， 所以，共面，故不能构成空间的一个基底，故C错误；根据空间向量基本定理可知，若，则实数，全为零，
7、故D正确；故选：ABD11. 已知事件满足，则下列结论正确的是（ ）A. 如果，那么B. 如果，那么C. 如果与互斥，那么D. 如果与相互独立，那么【答案】BCD【解析】【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐个分析判断即可【详解】对于选项A，设一个盒子里有标号为 1 到 10 的小球， 从中摸出一个小球， 记下球的编号，记事件A=“球的编号是偶数”， 事件B=“球的编号是1，2，3” ，事件C=“球的编号是奇数” 满足 ， 但是 选项A错误；对于选项B，如果 ， 那么，选项B正确；对于选项C， 如果与互斥，那么 ， 所以选项C正确；对于选项D，如果与相互独立，那么，所以选项D正确.故选：B
8、CD12. 如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点为侧面内（不含边界）的动点，则（ ）A. B. 存在一点，使得C. 三棱锥的体积为D. 若，则的最小值为【答案】AC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设点，其中，利用空间向量法判断A、B、D，根据锥体的体积公式判断C.【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，设点，其中，对于A选项，则，所以，故A正确；对于B选项，若，则，解得，不符合题意，所以不存在点，使得，故B错误；对于C选项，点到平面的距离为，所以，故C正确；对于D选项，若，则，可得，由，可得，所以，当且仅当时取等号，故D错误；故选：AC三、填空
9、题，4个小题，每小题5分共20分.13. 从长度为的条线段中任取条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为_.【答案】#【解析】【分析】采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可得结果.【详解】从条线段中任取条，则有，共个基本事件；其中三条线段能够成三角形的基本事件有：，共个；所求概率.故答案为：.14. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的模是_【答案】#【解析】【分析】根据给定条件，求出投影向量，再求出模作答.【详解】向量，则，因此向量在向量上的投影向量为，所以向量在向量上的投影向量的模是.故答案为：15. 已知，若，三向量共面，则实数等于_.【答案】【解
10、析】【分析】依题意设，列方程组能求出结果【详解】解：，4，2，且，三向量共面，设，2，解得，故答案为：16. 点是棱长为的正四面体表面上的动点，是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是_.【答案】【解析】【分析】作出图形，计算出正四面体内切球的半径，由此可求得，由空间向量数量积的运算性质得出，进而可知当点为正四面体的顶点时，取得最大值，即可得解.【详解】如下图所示：正四面体的棱长为，其内切球球心为点，连接并延长交底面于点，则为正的中心，且平面，连接并延长交于点，则为的中点，且，平面，平面，则，面积为，正四面体的体积为，设球的半径为，则，当点位于正四面体的顶点时，取最大值，因此，.故答案为：.【
11、点睛】本题考查空间向量数量积的最值的计算，同时也考查了正四面体内切球半径的计算，考查计算能力，属于较难题.四、解答题，6个小题，第17题10分，第18-22每题12分，共70分.17. ，.（1）若，求.（2）若，求的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）依题意可得，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；（2）依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得，即可求出，再根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标运算计算可得.【小问1详解】解：因为，且，所以，即，即，即，所以，所以.【小问2详解】解：因为，且，所以，解得，所以，所以，所以.18. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为号和
12、号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.求下列事件的概率.（1）“两个骰子的点数之和是5”；（2）“号骰子的点数大于号骰子的点数”.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用列举法，结合古典摡型概率计算公式，即可求解；（2）利用列举法，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；【小问1详解】解：由抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有个不同的结果，因为“两个骰子的点数之和是5”，可得事件，所以，所以.【小问2详解】解：因为“号骰子的点数大于号骰子的点数”，可得事件 ，即，所以.19. 如图，已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E是AD的中点.（1）求证：；（2）求的值.【答案】（1）证明过
13、程见解析； （2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的定义和运算性质进行求解计算即可.【小问1详解】连接，因为ABCD是正四面体，所以是等边三角形，又因为点E是AD的中点，所以，而平面，因此平面，而平面，因此；【小问2详解】因为点E是AD的中点，所以有，由（1）同理可证明，即，因为ABCD是正四面体，所以是等边三角形，且边长是2，因此.20. 近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数BMI=衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的BMI数值标准是：BMI18.5为偏瘦；18
14、.5BMI23.9为正常：24BMI28为肥胖下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100名居民体检数据，将其BMI值分成以下五组：，得到相应的频率分布直方图 （1）根据频率分布直方图，求a的值，并估计该社区居民身体质量指数BMI的样本数据的80%分位数；（2）现从样本中利用分层抽样的方法从，的两组中抽取6名居民，再从这6人中随机抽取2人，求抽取到2人的BMI值不在同一组的概率【答案】（1），80%分位数为 （2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图矩形面积和为求出，再根据频率分布直方图求百分位数步骤求解即可；（2）先按照分层抽样在，分别抽取人和人，再应用古典概型计算可解.【小问1详
15、解】根据频率分布直方图可知组距为，所有矩形面积和为，所以，解得因为，三组频率之和为，而，四组的频率之和为，故样本数据的80%分位数在内，设为，则，解得，即该社区居民身体质量指数的样本数据80%分位数为.【小问2详解】由频率分布直方图可知的频数为，的频数为，所以两组人数比值为，按照分层抽样抽取人，则在，分别抽取人和人，记这组两个样本编号为，这组编号为，故从人随机抽取人所有可能样本的构成样本空间：设事件“从6个人中随机抽取2人，抽取到2人的值不在同一组”，则故，即从这6个人中随机抽取2人，抽取到2人的值不在同一组的概率为.21. 如图，在直三棱柱中， （1）求证：；（2）求点到平面的距离【答案】（
16、1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标后利用它们的数量积为零可证异面直线的垂直.（2）求出平面的法向量和的坐标后可求点面距.【小问1详解】建立直角坐标系，其中为坐标原点. 依题意得，因为，所以.【小问2详解】设是平面的法向量，由得所以，令，则，因为，所以到平面的距离为.22. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为的中点，且记的中点为，若在线段上（异于、两点）（1）若点是中点，证明：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）取线段的中点，连接、，然后证明四边形为平行四边形，从而，从而平面
17、.（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出线段的长.【小问1详解】证明：取线段的中点，连接、，因为，因为为的中点，则且，因为为的中点，则且，因为、分别为、的中点，所以，且，所以，且，所以，四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，所以，平面.【小问2详解】连接，因为，为的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，所以，且，因为，则，又因为，则，因为，为的中点，则，因为，所以，所以，则，又因，、平面，所以，平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系， 则、，设，则，设平面的法向量为，则，取，可得，若直线与平面所成角的正弦值为，则，整理可得，因为，解得，故.
