1、第2课时 利用导数研究函数的极值、最值 A级基础巩固1函数yxex的最小值是()A1 Be C D不存在解析：因为yxex，所以yexxex(1x)ex.当x1时，y0；当x1时，y2时，f(x)0；当x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.所以当2x0时，xf(x)0；当x2时，xf(x)0；当x0.因此函数yxf(x)的图象可能为C项答案：C3(2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A1 B2e3 C5e3 D1解析：函数f(x)(x2ax1)ex1，则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1由x2是函数f(
2、x)的极值点得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以a1.所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(x2x2)由ex10恒成立，得x2或x1时，f(x)0，且x0；2x1时，f(x)1时，f(x)0.所以x1是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1.故选A.答案：A4若函数yf(x)存在(n1)(nN*)个极值点，则称yf(x)为n折函数，例如f(x)x2为2折函数已知函数f(x)(x1)exx(x2)2，则f(x)为()A2折函数 B3折函数 C4折函数 D5折函数解析：f(x)(x2)ex(x2)(3x2)(x2)(ex3x2)，令f(x)0，得x2或e
3、x3x2.易知x2是f(x)的一个极值点，又ex3x2，结合函数图象，yex与y3x2有两个交点又e23(2)24.所以函数yf(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数答案：C5.(多选题)已知定义在R上的函数f(x)，其导数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()(1)f(a)f(e)f(d)；(2)函数f(x)在(a，c)上递增，在(c，e)上递减；(3)f(x)的极值点为c，e；(4)f(x)的极大值为f(b)A(1) B(2) C(3) D(4)解析：由导数与函数单调性的关系知，当f(x)0时f(x)递增，f(x)0，所以f(x)在(a，c)上单调递增，x(c，e)时，f(x
4、)0，所以f(x)在(e，)上单调递增函数f(x)在xc处取得极大值，在xe处取得极小值；所以f(x)的极值点为c，e.答案：BC6若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数解析式为yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为_百万件解析：y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y0)，则g(x)ex.由g(x)0，得xln 2.所以g(x)在区间(，ln 2)单调递减，在区间(ln 2，)上单调递增，所以g(x)ming(ln 2)1.答案：19已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的
5、最大值和最小值解：(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减，所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0，所以函数f(x)在区间上单调递减，因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.10(2019北京卷)已知函数f(x)x3x2x.(1)求曲线yf(x)的斜率为1的切线方程；(2)当x2
6、，4时，求证：x6f(x)x；(3)设F(x)|f(x)(xa)|(aR)，记F(x)在区间2，4上的最大值为M(a)当M(a)最小时，求a的值解：(1)由f(x)x3x2x，得f(x)x22x1，令f(x)1，即x22x11，得x0或x.又f(0)0，f ，所以曲线yf(x)的斜率为1的切线方程是yx与yx，即yx与yx.(2)证明：令g(x)f(x)x，x2，4由g(x)x3x2得g(x)x22x.令g(x)0得x0或x.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下：x2(2，0)04g(x)00g(x)600所以g(x)的最小值为6，最大值为0.故6g(x)0，即x6f(x)x.(3)由
7、第(2)问知，当a3；当a3时，M(a)F(2)|g(2)a|6a3；当a3时，M(a)3.综上，当M(a)最小时，a3.B级能力提升11(2020石家庄检测)若函数f(x)(1x)(x2axb)的图象关于点(2，0)对称，x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，则x2x1()A B2 C2 D.解析：由题意可得f(2)3(42ab)0，因为函数图象关于点(2，0)对称，且f(1)0，所以f(5)0，即f(5)6(255ab)0.联立解得故f(x)(1x)(x27x10)x36x23x10，则f(x)3x212x33(x24x1)，由于x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点所以x1
8、，x2是f(x)的零点，则x1x24，x1x21，从而x10，x2x2，因此x2x12.答案：C12(2020郑州联考)已知函数f(x)2ln xax23x在x2处取得极小值，则f(x)的极大值为_解析：由题意得，f(x)2ax3，因为f(x)在x2处取得极小值，所以f(2)4a20，解得a，所以f(x)2ln xx23x，f(x)x3，所以f(x)在(0，1)，(2，)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以f(x)的极大值为f(1)3.答案：13已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值解：(1)当x1时，f
9、(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极小值极大值故当x0时，函数f(x)取得极小值f(0)0，函数f(x)的极大值点为x.(2)当1x0时，f(x)在1，e上单调递增，则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a.故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a0时，f(x)2x0；当x0时，f(x)3x233(x1)(x1)，当x0，f(x)是增函数，当1x0时，f(x)0，f(x)是减函数，所以f(x)f(1)2.所以f(x)的最大值为2.(2)在同一平面直角坐标系中画出y2x和yx33x的图象，如图所示，当a2时，f(x)maxa33a.综上，当a(，1)时，f(x)无最大值答案：(1)2(2)(，1)
