1、高考资源网（） 您身边的高考专家223两条直线的位置关系第1课时两条直线相交、平行与重合的条件1了解平面内两条直线的位置关系2理解直线相交、平行、重合的概念3会求两条直线的交点4掌握两直线相交、平行、重合的判定方法两条直线相交、平行与重合的条件(1)代数方法判断两条直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20的位置关系，可以用方程组的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：方程组的解位置关系交点个数代数条件无解平行无交点A1B2A2B10且B1C2B2C10(A2C1A1C20)或(A2B2C20)有唯一解相交有一个交点A1B2A2B10或(A2B20)有无数个解重
2、合无数个交点A1A2，B1B2，C1C2(0)或(A2B2C20)(2)几何方法判断两条直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2的位置关系，也可用两直线的斜率和在y轴上的截距来进行判断具体判断方法如表所示位置关系平行重合相交图示k，b满足条件k1k2且b1b2k1k2且b1b2k1k21若两条直线平行，斜率一定相等吗？解：不一定例如直线x3和x2平行，但是，两条直线斜率不存在2判断下列各组中两条直线的位置关系，若相交，求出交点坐标(1)l1：y3x4，l2：2x6y0；(2)l1：2x6y40，l2：y；(3)l1：(1)xy3，l2：x(1)y2解：(1)因为，即，所以l1与l2相交解方程
3、组得所以交点坐标为(2)把l2化为一般式为x3y20因为2，所以l1与l2重合(3)因为，所以l1与l2平行判断直线的位置关系判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行：(1)l1经过点A(1，2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(1，1)；(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)；(3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(1，3)，N(2，0)；(4)l1经过点A(3，2)，B(3，10)，l2经过点M(5，2)，N(5，5)【解】(1)k11，k2，因为k1k2，所以l1与l2不平行(2)k11，k21，因为k1k2，所以l1l2或l1与l2重合(
4、3)k11，k21，则有k1k2又kAM21，即A，B，M不共线，故l1l2(4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1l2当两条直线的斜率存在且斜率相等时，未必有两直线平行，应进一步作判断是否有两直线重合；当两条直线的斜率均不存在时，则两直线重合或平行解答此类问题应考虑周全 已知P(2，m)，Q(m，4)，M(m2，3)，N(1，1)，若直线PQ直线MN，求m的值解：由题意可知，直线PQ和MN的斜率显然都存在因为PQMN，所以kPQkMN即，解得m0或1利用两直线平行的条件求参数已知两条直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0问：当m为何值时，l1与l2(1)平行
5、；(2)重合？【解】(1)因为l1l2，所以3m(m2)0即m22m30所以m1或m3经检验当m3时两直线重合，故m3舍去所以m1(2)由(1)可知当m3时两直线重合 利用两直线相交、平行、重合的条件进行判断时要根据题目合理选择，要特别注意系数为0和不为0，直线的斜率存在和不存在的情况，可进行分类讨论 已知直线l1：(m2)x2ym20，l2：2x(m2)y30，当m为何值时，满足下列条件(1)l1与l2相交；(2)l1l2；(3)l1与l2重合？解：(1)A1B2A2B1(m2)(m2)22(m2)240，得(m2)24即m22，所以当m4且m0时l1与l2相交(2)由A1B2A2B10得m
6、0或m4，当m0时，两直线方程分别为2x2y20，2x2y30，此时l1l2；当m4时，两直线方程为2x2y20，2x2y30，此时l12故m0或m4时，两直线l1l2(3)由(2)知，直线l1与l2不可能重合求直线方程已知A(2，2)和直线l：3x4y200，求过点A和直线l平行的直线方程【解】设所求直线方程为3x4yC0，由(2，2)在直线l上，可得3242C0，所以C14所以过点A与直线l平行的直线方程为3x4y140直线方程的设法(1)直线AxByC0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0(mC)，这是经常采用的解题技巧 (2)经过点A(x
7、0，y0)，且与直线AxByC0平行的直线方程为A(xx0)B(yy0)0求与直线3x4y10平行且过点(1，2)的直线l的方程解：法一：设直线l的斜率为k，因为直线l与直线3x4y10平行，所以k又因为直线l过点(1，2)，所以所求直线方程为y2(x1)，即3x4y110法二：设与直线3x4y10平行的直线l的方程为3x4ym0，因为直线l过点(1，2)，所以3142m0，解得m11，所以所求直线l的方程为3x4y1101判断两条直线是否平行的步骤2平行直线的求法(1)求与直线ykxb平行的直线方程时，根据两直线平行的条件可巧设为ykxm(mb)，然后通过待定系数法，求参数m的值；(2)求与
8、直线AxByC0平行的直线方程时，可设方程为AxBym0(mC)，代入已知条件求出m即可1若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直线重合的情况2求平行直线的方程时，对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论1已知A(2，0)，B(3，3)，直线lAB，则直线l的斜率k()A3B3C D解析：选B因为直线lAB，所以kkAB32直线l1：x1与直线l2：x0的位置关系是()A相交 B平行C重合 D不确定解析：选B直线l1与l2的斜率都不存在，且10，所以l1l23直线y2x与直线xy3的交点坐标是解析：由，解得，所以交点坐标为(1，2)答案：(1，2)4直线l过A(1，1)点且与过B(2，5
9、)，C(3，1)两点的直线平行，则直线l的方程为答案：6xy70学生用书P115(单独成册)A基础达标1直线2xyk0和直线4x2y10的位置关系是()A平行B不平行C平行或重合 D既不平行也不重合解析：选C当k时，两直线重合，当k时，两直线平行2经过点A(1，1)和点B(3，2)的直线l1与过点C(4，5)和点D(a，7)的直线l2平行，则a()A1 B4C52 D44解析：选C因为k1，又l1l2，所以k2，故a523已知两平行直线的斜率是方程2x24xm10的两实根，则m的值为()A1 B1C3 D3解析：选C由题意知方程2x24xm10的两实根相等，所以(4)242(m1)0解之得m3
10、4如果直线l1：2xay10与直线l2：4x6y70平行，则a的值为()A3 B3C5 D0解析：选B因为l1l2，所以26(a)40，解得a35若三条直线xy0，xy0，xay3构成三角形，则a的取值范围是()Aa1 Ba1，a2Ca1 Da1，a2解析：选A因为直线xay3恒过点(3，0)，所以此直线只需不和xy0，xy0两直线平行就能构成三角形所以a16经过点P(2，1)和点Q(3，a)的直线与倾斜角是45的直线平行，则a解析：由题意得tan 45，解得a4答案：47过l1：3x5y100和l2：xy10的交点，且平行于l3：x2y50的直线方程为解析：由得交点为(，)，又l3的斜率为，
11、所以所求直线方程为y(x)，得8x16y210答案：8x16y2108已知直线l1经过点A(0，1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为解析：由题意得l1l2，则，解得a6答案：69求满足下列条件的直线的方程：(1)经过点A(3，2)，且与直线4xy20平行；(2)经过点C(2，3)，且平行于过点M(1，2)和N(1，5)的直线解：(1)设所求直线的方程为：4xym0又过点A(3，2)，所以432m0，所以m14，所以所求直线的方程为4xy140(2)因为M(1，2)，N(1，5)，所以kMN又所求直线与过M、N的直线平行，故可设所求直线的
12、方程为yxb又直线过点C(2，3)，所以32b，所以b10所以所求直线的方程为yx10即7x2y20010光线从点A(3，4)射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(1，6)，求光线BC所在直线的斜率解：设B(a，0)，C(0，b)，过点B、C作两条法线交于点E，则E90所以ECBEBC90，所以2ECB2EBC180由入射角等于反射角，得DCBABC180，所以ABCD所以kABkCD，即b6由入射角等于反射角，还可得直线AB的倾斜角与直线BC的倾斜角互补，所以kABkBC，即解得a，b所以B(，0)，C(0，)所以kBCB能力提升11已知过A
13、(2，m)和B(m，4)的直线与斜率为2的直线平行，则m的值是()A8B0C2 D10解析：选A由题意可知，kAB2，所以m812在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边ABDC，ADBC，已知A(2，0)，B(6，8)，C(8，6)，则D点的坐标为解析：依题意，直线CD的斜率kCDkAB1，且过C(8，6)，则CD的方程为y61(x8)，即xy20直线AD的斜率为kADkBC1，且过点A(2，0)，则AD的方程为y1(x2)，即xy20由得D(0，2)答案：(0，2)13已知两直线l1：mx8yn0和l2：2xmy10试确定m、n的值，使(1)l1与l2相交于点P(m，1)；(2)l1l2解：(1)因为m28n0且2mm10，所以m1，n7(2)由mm820，得m4由8(1)nm0，得n2即m4，n2或m4，n2时，l1l214(选做题)已知ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求顶点D的坐标解：设D(m，n)，由题意，得ABDC，ADBC，则有kABkDC，kADkBC所以解得所以点D的坐标为(3，4)高考资源网版权所有，侵权必究！
