1、专题15 跨阶同构【方法点拨】跨阶同构的几个关键环节:1.指对各一边，参数是关键，凑形是难点.2.凑形的常用方法：为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：、，有时也需要对两边同时加、乘某式等.3.常见同构式:（1）与型：，；（2）与型：，.【典型题示例】例1 已知函数，若，则的取值范围是 .【答案】【解析】由移项得：（说明：将变量移至一边的原则进行变形）即，两边同时加（x1）得（说明：系数升指数、按左右结构相同的原则进行变形）即设，则，所以单增所以，即设，则，所以在单减，在单增，所以，所以.点评：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等
2、，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数例2 设实数0，若对任意的x(0，+)，不等式ex-lnx0恒成立，则的取值范围是 【答案】1e，+)【解析】由ex-lnx0得exlnx，即xexlnxelnx对任意的x(0，+)恒成立设f(t)=tet，则f(x)f(lnx)对任意的x(0，+)恒成立，又ft=tet+et=(t+1)et，当t-1时，f(t)-1时，f(t)0，f(t)单调递增画出图象为当x1e时，t1=x0，t2=lnx-1，此时函数f(t)单调递增，f(t1)f(t2)，即f(x)f(lnx)，所以xlnx对任意的x(0，+)恒成立，lnxx
3、对任意的x(0，+)恒成立设gx=lnxx，x0，则gx=1-lnxx2，则当0x0，g(x)单调递增；当xe时，gx0，g(x)单调递减，gxmax=ge=1e，1e当0x0，t2=lnx0f(t2)，即f(x)f(lnx)对任意的x(0，+)恒成立综上可得1e，实数的取值范围是1e，+)【解析二】由ex-lnx0得exlnx，即xexlnxelnx对任意的x(0，+)恒成立当x(0，1时，总有xex0，xlnx0.只需考虑x1的情形，亦即xexlnxelnx.设f(t)=tet(t0)，则ft=tet+et=t+1et0，ft在t(0，+)上为增函数.由fxflnx得，xlnx，即lnxx
4、，故lnxxmax设gx=lnxx，x0，则gx=1-lnxx2，gxmax=ge=1e，1e【解析三】由ex-lnx0得exlnx，exlnx，即（x）exxlnx对任意的x(0，+)恒成立当x(0，1时，总有xex0，xlnx0.只需考虑x1的情形，亦即exlnexxlnx.设f(t)=tlnt(t1)，则ft=1+lnt0，ft在t(1，+)上为增函数.由fexfx得，exx，即lnxx，故lnxxmax设gx=lnxx，x0，则gx=1-lnxx2，gxmax=ge=1e，1e【解析四】由ex-lnx0得exlnx，exlnx，即（x）exxlnx对任意的x(0，+)恒成立当x(0，1
5、时，总有xex0，xlnx0.只需考虑x1的情形，得x+ln(x)lnx+ln(lnx).设ft=t+lnt(t1)，则ft=1+1t0，ft在t(1，+)上为增函数.由fxflnx得，xlnx，即lnxx，故lnxxmax设gx=lnxx，x0，则gx=1-lnxx2，gxmax=ge=1e，1e例3 对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是 .【答案】【解析一】将变形为，（说明：将参数移至一边）两边同时乘x得（说明：目的是凑右边的结构）即（说明：目的是凑左右两边的结构相同）（#）设，则，单增故由（#）得，再令，则，易知当所以，即.【解析二】将变形为，即设，易知单增故（以下同解法一，从略）
6、.点评：（1） 为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的恒等变形的方法有：x=elnx(x0)，x=lnex(xR).1. xex=ex+lnx；x+lnx=lnxex.2. xex=elnx-x； x-lnx=lnexx.3. x2ex=ex+2lnx；x+2lnx=lnx2ex.4. exx2=ex-2lnx； x-2lnx=lnexx2.有时也需要对两边同时加、乘某式等.（2） 与为常见同构式：，；与为常见同构式：，.【巩固训练】1.设实数，若对任意的，不等式成立，则实数m的取值范围是（ ）ABCD2. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（
7、 ） 3已知函数，（其中a为参数），若对任意x(0，)，不等式成立，则正实数a的取值范围是 4. 对于任意实数，不等式恒成立，则的最大值是_.5. 关于的不等式对任意（其中）恒成立，则的取值范围是_.6. 关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是_.7.已知函数fx=（x+1x）lnx，gx=memx+m若对任意的x(0，+)，不等式2fx-gx0恒成立，则m的取值范围是 【答案与提示】1.【答案】D【分析】把不等式成立，转化为恒成立，设函数，进而转化为恒成立，得出恒成立，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【解析】因为，不等式成立，即成立，即，进而转化为恒成立，构造函数，可得
8、，当，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，进而转化为恒成立，设，可得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以当，函数取得最大值，最大值为，所以，即实数m的取值范围是. 故选：D.2. 【答案】【提示】变形为，构造函数，等价转化为，即，只需，答案为.3【答案】【解析】（构建同构式处理不等式） 由得，即，两边同时加得令,则， 为单调增函数 ，即，令,则在上单调递减，在上单调递增，解得4.【答案】e【提示】变形为.5.【答案】【提示】变形为.6.【答案】【提示】变形为，利用.7.【答案】2e，+)【解析】2fx-gx0转化为（x2+1）lnx2mxemx+mx，即x2lnx2+lnx2mxemx+mx，设ft=tet+t，则flnx2f(mx)对任意的x(0，+)恒成立，又ft=tet+et+1=t+1et+10，f(t)单调递增所以lnx2mx，m2lnxx，易求得m2e实数m的取值范围是2e，+)
