1、第四章综合素能检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1圆x2y2xy0的半径是()A1 BC2 D2答案B解析(x)2(y)22，r，故选B2圆O1：x2y22x0与圆O2：x2y24y0的位置关系是()A外离 B相交C外切 D内切答案B解析圆O1(1,0)，r11，圆O2(0,2)，r22，|O1O2|12，且21，故两圆相交3圆x22xy24y30上到直线xy10的距离为的点共有()A4个 B3个C2个 D1个答案B解析将圆的方程化为标准方程为(x1)2(y2)2(2)2，圆心(1，2)到直
2、线xy10的距离d，则到直线xy10的距离为的两条平行线与圆的公共点的个数即为所求由于圆的半径为2，所以到直线xy10的距离为的平行线一条过圆心，另一条与圆相切，故这两条直线与圆有3个交点4设直线过点(a,0)，其斜率为1，且与圆x2y22相切，则a的值为()A B2C2 D4答案B解析切线的方程是y(xa)，即xya0，a2.5已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|2，则实数x的值是()A3或4 B6或2C3或4 D6或2答案D解析由空间两点间的距离公式得2，解得x6或x2.6当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为()Ax2y22
3、x4y0 Bx2y22x4y0Cx2y22x4y0 Dx2y22x4y0答案C解析由(a1)xya10得a(x1)(xy1)0，所以直线恒过定点(1,2)，所以圆的方程为(x1)2(y2)25，即x2y22x4y0.7直线l1：yxa和l2：yxb将单位圆C：x2y21分成长度相等的四段弧，则a2b2()A B2C1 D3答案B解析依题意，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，即，1cos45，所以a2b21，故a2b22.8(2015山东威海模拟)若直线ykx1与圆x2y21相交于P，Q两点，且POQ120(其中O为原点)，则k的值为()A或 BC或 D答案A解析方法
4、1：|PQ|21sin60，圆心到直线的距离d，解得k.方法2：利用数形结合如图所示，直线ykx1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x2y21上，故不妨设P(0,1)，在等腰三角形POQ中，POQ120，QPO30，故PAO60，k，即直线PA的斜率为.同理可求得直线PB的斜率为.9(2013重庆)设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则|PQ|的最小值为()A6 B4C3 D2答案B解析|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径因为圆的圆心为(3，1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d3(3)24.10(2015全国卷)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，
5、则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A BC D答案B解析ABC外接圆圆心在直线BC垂直平分线上即直线x1上，设圆心D(1，b)，由DADB得|b|b，所以圆心到原点的距离d.故选B11(2013山东)过点(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A2xy30 B2xy30C4xy30 D4xy30答案A解析根据平面几何知识，直线AB一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为，故直线AB的斜率一定是2，只有选项A中直线的斜率为2.12若圆C：x2y24x4y100上至少有三个不同的点到直线l：xyc0的距离为2，则c的取值范围是()A
6、2，2 B(2，2)C2,2 D(2,2)答案C解析圆C：x2y24x4y100整理为(x2)2(y2)2(3)2，圆心坐标为C(2,2)，半径长为3，要使圆上至少有三个不同的点到直线l：xyc0的距离为3，如右图可知圆心到直线l的距离应小于等于，d，解得|c|2，即2c2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13已知点A(1,2,3)，B(2，1,4)，点P在y轴上，且|PA|PB|，则点P的坐标是_ _.答案解析设点P(0，b,0)，则，解得b.14已知圆C1：x2y26x70与圆C2：x2y26y270相交于A、B两点，则线段AB的中垂线方程为_ _.
7、答案xy30解析AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C1.又C1(3,0)，C2(0,3)，所以C1C2所在直线的方程为xy30.15过点A(1，)的直线l将圆(x2)2y24分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k_ _.答案解析点A(1，)在圆(x2)2y24内，当劣弧所对的圆心角最小时，l垂直于过点A(1，)和圆心M(2,0)的直线k.16(2015江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_ _.答案(x1)2y22.解析由题意得：半径等于，所以所求圆为(x1)2y22.三、解答题(本大
8、题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)求经过两点A(1,4)，B(3,2)且圆心C在y轴上的圆的方程解析AB的中点是(1,3)，kAB，AB的垂直平分线方程为y32(x1)，即2xy10.令x0，得y1，即圆心C(0,1)所求圆的半径为|AC|.所求圆的方程为x2(y1)210.18(本小题满分12分)(2015宁波高一检测)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|3|NC1|，试求MN的长解析以D为原点建立如图所示坐标系，则B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，D1(0
9、,0，a)由于M为BD1的中点，所以M(，)，取A1C1中点O1，则O1(，a)，因为|A1N|3|NC1|，所以N为O1C1的中点，故N(，a，a)由两点间的距离公式可得：|MN|a.规律总结：空间中的距离可以通过建立空间直角坐标系通过距离公式求解19(本小题满分12分)已知过点A(1,0)的动直线l与圆C：x2(y3)24相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x3y60相交于N.(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；(2)当|PQ|2时，求直线l的方程解析(1)证明：因为l与m垂直，且km，所以kl3，故直线l的方程为y3(x1)，即3xy30.因为圆心坐标为(0,3)满足直线
10、l方程，所以当l与m垂直时，l必过圆心C(2)解：当直线l与x轴垂直时，易知x1符合题意当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0，因为|PQ|2，所以|CM|1，则由|CM|1，得k，所以直线l：4x3y40.故直线l的方程为x1或4x3y40.20(本小题满分12分)某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300 km处，以40 km/h的速度向北偏西60方向移动据测定，距台风中心250 km的圆形区域内部都将受玻台风影响，请你推算该市受台风影响的持续时间解析以该市所在位置A为原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向建立直角坐标系开始时台风中心在B(30
11、0,0)处，台风中心沿倾斜角为150方向直线移动，其轨迹方程为y(x300)(x300)该市受台风影响时，台风中心在圆x2y22502内，设直线与圆交于C，D两点，则|CA|AD|250，所以台风中心到达C时，开始受影响该市，中心移至点D时，影响结束，作AHCD于点H，则|AH|150，|CD|2400，t10(h)即台风对该市的影响持续时间为10小时21(本小题满分12分)(2011新课标全国改编)已知点(0,1)，(32，0)，(32，0)在圆C上(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线xya0交于A，B两点，且OAOB，求a的值解析(1)由题意可设圆C的圆心为(3，t)，则有32(t1)2
12、(2)2t2，解得t1.则圆C的圆心为(3,1)，半径长为3.所以圆C的方程为(x3)2(y1)29.(2)由消去y，得2x2(2a8)xa22a10，此时判别式5616a4a2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有由于OAOB，可得x1x2y1y20，又y1x1a，y2x2a，所以2x1x2a(x1x2)a20由得a1，满足0，故a1.22(本小题满分12分)(2013江苏)如下图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4.设圆C的半径为1，圆心在l上(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐
13、标a的取值范围分析(1)由已知设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径列式求解；(2)利用|MA|2|MO|求出点M的轨迹方程，再写出圆C的方程，由这两个方程有公共点列不等式求解解析 (1)由题设，圆心C是直线y2x4和yx1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在设过A(0,3)的圆C的切线方程为ykx3，由题意，得1，解得k0或k，故所求切线方程为y3或3x4y120.(2)因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为MA2MO，所以2，化简得x2y22y3 0，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21，即13.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a，所以点C的横坐标a的取值范围为0，
