1、高考大题专项练五高考中的解析几何一、非选择题1.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若AP=3PB,求|AB|.解:设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F34,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+32,由题设可得x1+x2=52.由y=32x+t,y2=3x可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-12(t-1)9.从而-12(t-1)9=52,得t=-78.所以l的方程为y=32x-78.(2)由AP=3PB可得y1=-3y2.由
2、y=32x+t,y2=3x可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=13.故|AB|=4133.2.(2020全国,理19)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.(1)求C1的离心率;(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.解:(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=a2-b2.不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B
3、的纵坐标分别为b2a,-b2a;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=2b2a,|CD|=4c.由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3ca=2-2ca2,解得ca=-2(舍去),ca=12.所以C1的离心率为12.(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c2+y23c2=1.设M(x0,y0),则x024c2+y023c2=1,y02=4cx0,故x024c2+4x03c=1.由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入得(5-c)24c2+4(5-c)3c=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去),c=3.所以C1的
4、标准方程为x236+y227=1,C2的标准方程为y2=12x.3.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解:由题知F12,0.设直线l1:y=a,直线l2:y=b,则ab0,且Aa22,a,Bb22,b,P-12,a,Q-12,b,R-12,a+b2.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,
5、则k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以ARFQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF=12|b-a|FD|=12|b-a|x1-12,SPQF=|a-b|2.由题设可得|b-a|x1-12=|a-b|2,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得,2a+b=yx-1(x1).而a+b2=y,所以y2=x-1(x1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.4.已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点0,12作直线l与抛物线C交于不同的两点M,
6、N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.答案:(1)解由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=12.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为14,0,准线方程为x=-14.(2)证明由题意,设直线l的方程为y=kx+12(k0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由y=kx+12,y2=x得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=1-kk2,x1x2=14k2.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1
7、,x1),直线ON的方程为y=y2x2x,点B的坐标为x1,y2x1x2.因为y1+y2x1x2-2x1=y1x2+y2x1-2x1x2x2=kx1+12x2+kx2+12x1-2x1x2x2=(2k-2)x1x2+12(x2+x1)x2=(2k-2)14k2+1-k2k2x2=0,所以y1+y2x1x2=2x1.故A为线段BM的中点.5.已知曲线C:y=x22,D为直线y=-12上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点;(2)若以E0,52为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.答案:(1)证明设Dt,-12,A(x1,y1
8、),则x12=2y1.由于y=x,所以切线DA的斜率为x1,故y1+12x1-t=x1.整理得2tx1-2y1+1=0.设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.所以直线AB过定点0,12.(2)解由(1)得直线AB的方程为y=tx+12.由y=tx+12,y=x22可得x2-2tx-1=0.于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,|AB|=1+t2|x1-x2|=1+t2(x1+x2)2-4x1x2=2(t2+1).设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,则d1=t2+1,d2=2t2+1.因
9、此,四边形ADBE的面积S=12|AB|(d1+d2)=(t2+3)t2+1.设M为线段AB的中点,则Mt,t2+12.由于EMAB,而EM=(t,t2-2),AB与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=1.当t=0时,S=3;当t=1时,S=42.因此,四边形ADBE的面积为3或42.6.已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆,离心率e=12,且椭圆过点1,32.(1)求椭圆的方程;(2)椭圆左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,则F1AB的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.解:(
10、1)由题意可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0).则ca=12,1a2+94b2=1,a2=b2+c2,解得a2=4,b2=3.椭圆方程为x24+y23=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨令y10,y20).由y=kx,x24+y22=1,得x=21+2k2.记u=21+2k2,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG的斜率为k2,方程为y=k2(x-u).由y=k2(x-u),x24+y22=1,得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0. ()设G(xG,yG),则-u和xG是方程()的解,故xG=u(3k2+2)2+k2,由此得yG=uk32+k2.从而直线PG的斜率为uk32+k2-uku(3k2+2)2+k2-u=-1k.所以PQPG,即PQG是直角三角形.由得|PQ|=2u1+k2,|PG|=2ukk2+12+k2,所以PQG的面积S=12|PQ|PG|=8k(1+k2)(1+2k2)(2+k2)=8(1k+k)1+2(1k+k)2.设t=k+1k,则由k0,得t2,当且仅当k=1时取等号.因为S=8t1+2t2在区间2,+)内单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为169.因此,PQG面积的最大值为169.
