1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 高考总复习导数及其应用第三章第二节 利用导数研究函数的性质第三章典例探究学案2课 时 作 业3自主预习学案1自主预习学案1.了解函数单调性和导数的关系2能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)3了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件4会用导数求函数的极大值、极小值，会用导数求闭区间上函数的最大(小)值(其中多项式函数一般不超过三次)利用导数研究函数的性质，是高考必定考查的内容，常见的考查方式有两种形式：一是直接把导数应用于多项式函数性质的研究，考查多项式函数的单调性、极值、最值等，二是把导数与函数、
2、方程、不等式、数列等相联系，进行综合考查，主要考查函数的最值或求参数的值(或范围)等1.函数的单调性(1)设函数yf(x)在区间(a，b)内可导，如果f(x)_0，则f(x)在区间(a，b)内为增函数；如果f(x)_0，则f(x)在区间(a，b)内为减函数(2)如果在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)等于常数对于可导函数f(x)来说，f(x)0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的_条件，f(x)0是f(x)在(a，b)上为单调减函数的_条件，如f(x)x3在R上为增函数，但f(0)0，所以在x0处不满足f(x)0.充分不必要 充分不必要2函数的极值(1)函数极值的定义已知函数yf(x)，设
3、x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)_f(x0)(f(x)_f(x0)，则称f(x)在点x0取得极大(小)值，称x0是f(x)的一个极大(小)值点3函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值：在闭区间a，b内可导的函数f(x)必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内可导的函数f(x)不一定有最大值与最小值 答案B答案D答案B(理)(2013课标文，11)已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f(x0)0B函数yf(x)的图象是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)单调递减D若x0是f(x)的极值点，则f
4、(x0)0答案C3(2014湖北荆州质检)设函数f(x)在R上可导，其导函数是f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()答案C解析由条件知x2时，f(x)2时，f(x)0，yxf(x)在x0，x2时，y0，2x0时，y0时，y0，故选C答案A(理)(2014江西七校一联)定义域为R的连续函数f(x)，对任意x都有f(2x)f(2x)，且其导函数f(x)满足(x2)f(x)0，则当2a4时，有()Af(2a)f(2)f(log2a)Bf(2)f(2a)f(log2a)Cf(log2a)f(2a)f(2)Df(2)f(log2a)0，当x2时，f(x)0，f(x
5、)是增函数；当x2时，f(x)0，f(x)是减函数又2a4，1log2a2,42a16；由f(2x)f(2x)，得f(x)f(4x)，f(log2a)f(4 log2a)，由 1log2a2，得 2 log2a124 log2a3.24 log2a2a.f(2)f(4 log2a)f(2a)，即f(2)f(log2a)0与f(x)0.分析(1)由x0是f(x)的极值点可求m的值，然后求f(x)，解不等式f(x)0与f(x)0，只需证f(x)min0.(理)(2014安徽)设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0,1时，求f(x)取得最大
6、值和最小值的x的值(文)已知函数f(x)x36x29xm.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间0,4上的最小值为2，求它在该区间上的最大值利用导数求函数的极(最)值(理)(2014陵县一中月考)已知函数f(x)lnxax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值(文)(2014合 肥 质 检)已 知 函 数 f(x)x3 ax2 bx4(xR)在x2处取得极小值(1)若函数f(x)的极小值是4，求f(x)；(2)若函数f(x)的极小值不小于6，问：是否存在实数k与函数f(x)，使得函数f(x)在k，k3上单调递减若存在，求出k的取
7、值集合与f(x)；若不存在，说明理由答案D函数f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)xlnx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x0时，求函数f(x)的极值分析(1)令x0，代入可求(2)求x0的极值，由奇函数性质便可求得x0的极值答案C已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由解析(1)f(x)3ax22bxc，x1是函数f(x)的极值点，且f(x)在定义域内任意一点处可导x1使方程f(x)0，答案B已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x
8、)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值(4)存在性问题已知函数f(x)ax36ax2b，是否存在实数a、b，使f(x)在1,2上取得最大值3、最小值29？若存在，求出a、b的值，若不存在，请说明理由(6)解决恒成立问题(2014广州模拟)设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为_答案4(7)比较大小或证明不等式f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0.对任意正数a、b，若a0，f(x)为增函数，x(0,2)时，f(x)0，f(x)为增函数只有C符合题
9、意，故选C方法总结1.导函数图象中函数值为正(负)的部分对应函数单调增(减)，极值点在导数值为0的点中找2函数f(x)的图象单调增加(或减小)的部分，对应导函数f(x)的图象位于x轴上方(下方)设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能为图中的()答案D解析当yf(x)为增函数时，yf(x)0，当yf(x)为减函数时，yf(x)0，当yf(x)为减函数时，yf(x)0，可判断D成立.(文)已知a为实数，f(x)(x24)(xa)(1)求导数f(x)；(2)若f(1)0，求f(x)在2,2上的最大值和最小值；(3)若f(x)在(，2和2，)上都是单调增函
10、数，求a的取值范围已知函数的单调性或极值，求参数值或参数的取值范围(理)已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0,1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0，求a的取值范围分析先由f(0)1，f(1)0得a，b，c关系，求得f(x)解析式，利用f(x)0求解解析由f(0)1，f(1)0，得c1，ab1，则f(x)ax2(a1)x1ex，f(x)ax2(a1)xaex依题意需对任意x(0,1)，有f(x)0时，因为二次函数yax2(a1)xa的图象开口向上，而f(0)a0，所以需f(1)(a1)e0，即0a1.当a1时，对任意x(0,1)有f(x)(x21)ex0，f(x)符合条件；当a0时，对于
11、任意x(0,1)，f(x)xex0，f(x)符合条件；当a0，f(x)不符合条件故a的取值范围为0a1.方法总结1.f(x)的解析式中含参数，已知f(x)在某区间A上单调增(或减)，即f(x)0(或f(x)0)在区间A上恒成立，可借助分离参数法、赋值法，构造函数法等加以讨论，特别注意参数取值范围的端点值能否取到2f(x)在点P(x0，y0)处取得极值，包含两层含义：f(x0)0，y0f(x0)(2014河南名校联考)已知函数f(x)xlnxx1，g(x)x22lnx1，(1)令h(x)4f(x)g(x)，试求h(x)的单调区间；(2)若x1时，恒有af(x)g(x)，求a的取值范围(文)设a为
12、实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln21且x0时，exx22ax1.分析(1)求单调区间与极值可通过解不等式f(x)0(或3，试判断f(x)在(0,1上的单调性，并证明你的结论；(3)是否存在实数a，使得当x(0,1时，f(x)有最大值1?分类讨论思想的应用分析(1)已知x1,0)时，f(x)x3ax，且f(x)为偶函数，用转化的方法求出f(x)在(0,1上的解析式，(2)求导数f(x)，判断f(x)的符号得出其单调性，(3)结合单调性讨论其最值的存在性，判断能否取得最大值1.解析(1)当x(0,1时，x1,0)，f(x)x3ax，函数f(x)是偶函数，f(x)x3ax(x(0,1)(2)f(x)3x2a，x(0,1，3x23,0)，又a3，3x2a0.即f(x)0，f(x)在(0,1上是增函数方法总结若函数f(x)解析式中含有参数，参数取值的变化会引起f(x)的性质的变化，应注意分类讨论辨析f(x)0(x(a，b)是f(x)在(a，b)上单调递减的充分不必要条件，不是充要条件，如f(x)x3在R上递减，但f(x)3x20.错解D辨析求出导函数f(x)0的零点，然后判断导函数在这些点两侧的符号，若符号相反，则是极值点，若符号相同，则不是极值点课 时 作 业（点此链接）
