1、五年高考真题分类汇编：不等式、推理与证明一. 选择题1.（2015四川高考，理9）如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D）【解析】选B.时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即.由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即.由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.2.（2015北京高考，理2）若，满足则的最大值为（ ）A0B1C D2【解析】选D. 如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2.3（2015广东高考，理6）若变量，满足约束条件则的最小值为（ ） A
2、 B. 6 C. D. 4【答案】4.（2015陕西高考，理9）设，若，则下列关系式中正确的是（ ）A B C D【解析】选C. ，函数在上单调递增，因为，所以，所以5(2015湖北高考，理10)设，表示不超过的最大整数. 若存在实数，使得， 同时成立，则正整数的最大值是（ ） A3 B4 C5 D6【解析】选B. 因为表示不超过的最大整数.由得，由得，由得，所以，所以，由得，所以，由得，与矛盾，故正整数的最大值是4.6.（2015天津高考，理2）设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为( )（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案】C7.（2015陕西高考，理10）某企业生产甲、
3、乙两种产品均需用A，B两种原料已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A12万元 B16万元 C17万元 D18万元甲乙原料限额（吨）（吨）【解析】选D. 设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润由题意可列，其表示如图阴影部分区域：当直线过点时，取得最大值，所以，故选D8.（2015山东高考，理5）不等式的解集是（ ）（A）（-，4） （B）（-，1） （C）（1，4） （D）（1，5）【解析】选A. 原不等式同解于如下三个不等式解集的并集; 解（I）得： ,解（II）得： ,解（II
4、I）得： ,所以，原不等式的解集为 .故选A.9.（2015福建高考，理5）若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ( )A B C D2值，解该类题目时候，往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较，否则很容易出错，属于基础题10.（2015山东高考，理6）已知满足约束条件，若的最大值为4，则 （ ）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3【解析】选B. 不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若的最大值为4，则最优解可能为 或 ，经检验，是最优解，此时 ；不是最优解.故选B. 11.（2015湖南高考，理4）若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）A.-7 B
5、.-1 C.1 D.2【解析】选A. 如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线：，平移，从而可知当，时，的最小值是，故选A.12.（2015上海高考，理17）记方程：，方程：，方程：，其中，是正实数当，成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是（ ）A方程有实根，且有实根 B方程有实根，且无实根C方程无实根，且有实根 D方程无实根，且无实根【答案】B13.（2015天津高考，文2）设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为（ ）(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14【解析】选C. ,当 时取得最大值9,故选C.14.（2015浙江高考，文6）有三个房间需要粉刷，粉刷
6、方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，且在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A B C D【解析】选B.由，所以，故；同理，故.因为，故.故最低费用为.故选B.15.（2015重庆高考，文10）若不等式组,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（ ）(A)-3 (B) 1 (C) (D)3【解析】选B. 如图，由于不等式组,表示的平面区域为，且其面积等于，再注意到直线与直线互相垂直，所以是直角三角形，易知，,;从而=，化简得：，解得,或，检验知当时，已知不等式组不能表示
7、一个三角形区域，故舍去，所以;故选B.16.（2015湖南高考，文7）若实数满足，则的最小值为( )A、 B、2 C、2 D、4【解析】选C. ，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.17.（2015四川高考，文9）设实数x，y满足，则xy的最大值为( )(A) (B) (C)12 (D)1418.(2015广东高考，文4)若变量，满足约束条件，则的最大值为（ ）A B C D【解析】选C. 作出可行域如图所示：作直线，再作一组平行于的直线，当直线经过点时，取得最大值，由得：，所以点的坐标为，所以，故选C19.（2015湖南高考，文4）若变量满足约束条件 ，则的最小值为( )A、 B、
8、0 C、1 D、2【解析】选A.由约束条作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立 ,在点A处取得最小值为故选：A20.（2015福建高考，文10）变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（ ）A B C D【解析】选C. 将目标函数变形为，当取最大值，则直线纵截距最小，故当时，不满足题意；当时，画出可行域，如图所示， 其中显然不是最优解，故只能是最优解，代入目标函数得，解得，故选C21.（2015福建高考，文5）若直线过点，则的最小值等于（ ）A2 B3 C4 D5【解析】选C. 由已知得，则，因为，所以，故，当，即时取等号22.(2015安徽高考，文5)已知x，y满足约束条件，则的最大
9、值是（ ）（A）-1 （B）-2 （C）-5 （D）1【解析】选A. 根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：令，可知在图中处，取到最大值-1,故选A.23.(2015上海高考，文16)下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ）.A. B. C. D. 【解析】选B. 因为，可能是正数、负数或零，所以由可得，所以不等式解集相同的是，选B.24.（2015陕西高考，文11）（与陕西理同）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A12万元 B16万元 C
10、17万元 D18万元甲乙原料限额（吨）（吨）【解析】选D. 设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润由题意可列，其表示如图阴影部分区域：当直线过点时，取得最大值，所以，故选D25.（2015湖北高考，理9）已知集合，定义集合，则中元素的个数为（ ）A77 B49 C45 D30【解析】选C. 因为集合，所以集合中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个.26.(2015广东高考，理8)若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（ ） A大于5 B. 等于5 C. 至多等于
11、4 D. 至多等于3【解析】选C. 显然正三角形和正四面体的顶点是两两距离相等的，即或时命题成立，由此可排除、，故选27.（2015浙江高考，理6）设，是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数，命题：对任意有限集，“”是“ ”的充分必要条件；命题：对任意有限集，（ ）A. 命题和命题都成立 B. 命题和命题都不成立 C. 命题成立，命题不成立 D. 命题不成立，命题成立 【答案】A.28.（2015北京高考，理8）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同
12、速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【解析】选D. “燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选
13、D.29.（2015广东高考，文10）若集合，用表示集合中的元素个数，则（ ）A B C D【答案】D30.（2015浙江高考，文8）设实数，满足（ ）A若确定，则唯一确定 B若确定，则唯一确定C若确定，则唯一确定 D若确定，则唯一确定【解析】选B. 因为，所以，所以，故当确定时，确定，所以唯一确定.故选B.31.（2015湖北高考，文10）已知集合，定义集合，则中元素的个数为（ ） A77 B49 C45 D30【解析】选C. 由题意知，所以由新定义集合可知，或.当时，所以此时中元素的个数有：个；当时，这种情形下和第一种情况下除的值取或外均相同，即此时有，由分类计数原理知，中元素的个数为个，
14、故应选.32.（2014山东高考理科5）已知实数满足（），则下列关系式恒成立的是（ ）A、.B、.C、.D、.【解题指南】本题考查了指数函数的性质，不等式的性质，先利用指数函数的性质判断x,y的大小，然后判断每个选项.【解析】选D.由知，所以选项具体分析结论A在递增，递减.无法判断B在递减，递增.无法判断C为周期函数.无法判断D在R上位增函数.33.（2014山东高考文科5）与（2014山东高考理科5）相同已知实数满足（），则下列关系式恒成立的是（ ）A、.B、.C、.D、.【解题指南】本题考查了指数函数的性质，不等式的性质，先利用指数函数的性质判断x,y的大小，然后判断每个选项.【解析】选D
15、.由知，所以选项具体分析结论A在递增，递减.无法判断B在递减，递增.无法判断C为周期函数.无法判断D在R上位增函数.34.（2014四川高考理科4）若，则一定有（ ）A. B. C. D. 【解题提示】本题考查不等式的基本性质.【解析】选D.因为，所以，即得，又，得，从而有.35.（2014四川高考文科5）与（2014四川高考理科4）相同若，则一定有（ ）A. B. C. D. 【解题提示】本题考查不等式的基本性质.【解析】选B.因为，所以，即得，又，得，从而有.36.（2014浙江高考理科15）设函数若，则实数的取值范围是_.【解析】由题意，或，解得，所以或，解得答案：37. (2014湖北
16、高考文科T4)若变量x,y满足约束条件则2x+y的最大值是()A.2 B.4 C.7 D.8【解题提示】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域,再用角点法,求出目标函数的最大值.【解析】选C. 满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：目标函数z=2x+y,即y=-2x+z,显然,当直线经过点B时z的值最大,最大值为7.38.(2014广东高考文科T4)若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值等于()A.7 B.8 C.10 D.11【解题提示】画出可行域,标出边界点,目标函数对应动直线的斜率为-2.【解析】选C.作出可行域OABCD是34的矩形去掉一个12的直角三角形,其中B(2,
17、3),C(4,2),所以当动直线z=2x+y经过点C(4,2)时取得最大值10.39.(2014广东高考理科)若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=()A.5 B.6 C.7 D.8【解题提示】画出可行域,标出边界点,目标函数对应动直线的斜率为-2.【解析】选B.如图,可行域是以A,B(-1,-1),C(2,-1)为顶点的等腰直角三角形,所以当动直线z=2x+y经过点C(2,-1)时取得最大值3,经过点B(-1,-1)时取得最小值-3,所以m-n=6.40.（2014福建高考文科11）11已知圆，设平面区域，若圆心,且圆C与x轴相切，则的最大值为 （ ）
18、【解题指南】画出可行域，发现最优解【解析】由圆C 与x 轴相切可知，b=1又圆心C（a,b）在平面区域（如图2）内，由，解得；由，解得故所以当时，取最大值为3741. （2014山东高考理科9）已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）A、5 B、4 C、 D、2【解题指南】本题考查了简单的线性规划问题，再利用两点间距离公式的几何意义求解.【解析】选B.解方程组求得交点为，则，的最小值即为在直线上找一点使得它到原点的距离平方最小.即求点到直线的距离的平方为.42. （2014山东高考文科10）与(2014山东高考理科9）相同已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取
19、到最小值时，的最小值为（ ）A、5 B、4 C、 D、2【解题指南】本题考查了简单的线性规划问题，再利用两点间距离公式的几何意义求解.【解析】选B.解方程组求得交点为，则，的最小值即为在直线上找一点使得它到原点的距离平方最小.即求点到直线的距离的平方为.43. （2014天津高考文科2同2014天津高考理科2）设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【解析】选B. 由得。作出可行域如图，A平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最小，此时最小，由，得，即代入，得. 8.（2014安徽高考理科5）满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的
20、值为（ ）A, B. C.2或1 D.【解题提示】 画出线性约束条件的图像，数形结合判断。【解析】选D.由线性约束条件可得其图象如图所示，由图象可知直线经过AB或AC时取得最大值的最优解不唯一，此时a=2或-144. (2014新课标全国卷高考文科数学T9) 设x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值为()A.8 B.7 C.2 D.1【解题提示】结合约束条件,画出可行域,然后将目标函数化为斜截式,平移得最大值.【解析】选B.画可行区域知为三角形,可以代值.两两求解,得三点坐标(1,0),(3,2),(0,1).代入z=x+2y,则最大值为7.故选B.45. (2014新课标全国卷高考理科数学
21、T9)设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为 ()A.10 B.8 C.3 D.2【解题提示】结合约束条件,画出可行域,然后将目标函数化为斜截式,平移得最大值.【解析】选B.画出区域,可知区域为三角形,经比较斜率,可知目标函数z=2x-y在两条直线x-3y+1=0与x+y-7=0的交点(5,2)处,取得最大值z=8.故选B.46.（2014福建高考文科9）9要制作一个容积为，高为1m的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，则该溶器的最低总造价是 （ ）【解题指南】利用基本不等式建立关系式求解，可以考虑设两变量，也可以考虑设一变量。【解析】由容器
22、体积为4，高为1可知，容器的底面积为4设底面长为x，则宽为，总造价为W由题意，当，即时取“=”47. （2014重庆高考文科9）若 则的最小值是（ ）A. B. C. D.【解题提示】直接根据题设条件得到关于的等式，进而利用不等式求解的最小值.【解析】选. 可得 且 即 所以故选D48.(2014广东高考文科T10)对任意复数1,2,定义12=1,其中是2的共轭复数.对任意复数z1,z2,z3,有如下四个命题:(z1+z2) z3=(z1z3)+(z2z3);z1 (z2+z3)=(z1z2)+(z1z3);(z1z2) z3=z1 (z2z3);z1z2=z2z1.则真命题的个数是()A.1
23、 B.2 C.3 D.4【解题提示】因为新定义12=1,所以对运算“”是否满足分配率、结合律、交换律需要逐一验证判断.【解析】选B.因为(z1+z2) z3=(z1+z2)=z1+z2=(z1z3)+(z2z3),所以正确;因为z1 (z2+z3)=z1()=z1+z1=(z1z2)+(z1z3),所以正确;(z1z2) z3=(z1)=z1,z1 (z2z3)=z1()=z1()=z1z3,所以(z1z2) z3z1 (z2z3)(实质上z3不是实数时(z1z2) z3=z1 (z2z3)不成立),不正确;因为z1z2=z1,z2z1=z2,除非z1=z2,也就是z1是实数才能成立,否则z1
24、z2z2z1,所以不一定成立,故正确.49.（2014山东高考理科4）用反证法证明命题：“已知为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A、方程没有实根.B、方程至多有一个实根.C、方程至多有两个实根.D、方程恰好有两个实根.【解题指南】本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0,1,2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根.【解析】选A.“已知为实数，则方程至少有一个实根”的反面是“方程没有实根.”故选A.50.（2014山东高考文科4）与（2014山东高考理科4）相同用反证法证明命题：“已知为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
25、A、方程没有实根.B、方程至多有一个实根.C、方程至多有两个实根.D、方程恰好有两个实根.【解题指南】本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0,1,2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根.【解析】选A.“已知为实数，则方程至少有一个实根”的反面是“方程没有实根.”故选A.51（2013湖南高考理）若变量x，y满足约束条件则x2y的最大值是 ()A B0 C. D.【解析】选C本小题主要考查线性规划知识及数形结合思想，属中档偏易题求解本小题时一定要先比较直线x2y0与边界直线xy1的斜率的大小，然后应用线性规划的知识准确求得最值作出题设约束条件的平面区域
26、(图略)，由可得(x2y)max2.52（2013安徽高考理）已知一元二次不等式f(x)0的解集为 ()Ax|xlg 2 Bx|1xlg 2 Dx|xlg 2 【解析】选D本题考查一元二次不等式的求解、指对数运算考查转化化归思想及考生的合情推理能力因为一元二次不等式f(x)0的解集为，所以可设f(x)a(x1)(a0可得(10x1)0，即10x，xlg 2，故选D53（2013安徽高考理）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA|OB|OAOB2，则点集P|OPOAOB，|1，R所表示的区域的面积是 ()A2 B2 C4 D4【解析】选D本题考查平面向量运算、线性规划等知识，培
27、养考生对知识的综合应用能力以及数形结合思想由|OA|OB|OAOB2，可得AOB，又A，B是两定点，可设A(，1)，B(0,2)，P(x，y)，由OPOAOB，可得因为|1，所以1，当，时，由可行域可得S02，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S4S04，故选D.54.（2013新课标高考理）已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a ()A. B. C1 D2【解析】选B本题考查线性规划问题，属于基础题由已知约束条件，作出可行域如图中ABC内部及边界部分，由目标函数z2xy的几何意义为直线l：y2xz在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，2a)时，目标函数z2xy的
28、最小值为1，则22a1，a，故选B. 55（2013北京高考理）设关于x，y的不等式组 表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02.求得m的取值范围是 ()A. B. C. D.【解析】选C本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查数形结合思想、等价转化思想以及考生分析问题、解决问题的能力问题等价于直线x2y2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(m，m)不可能在第一和第三象限，而直线x2y2经过第一、三、四象限，则点(m，m)只能在第四象限，可得m0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x2y2与阴影部分有公共点，则点(m，m)在直线x2y20的下方
29、，由于坐标原点使得x2y20，故m2m20，即m. 56（2013广东高考理）设整数n4，集合X1,2,3，n令集合S(x，y，z)|x，y，zX，且三条件xyz，yzx，zxy恰有一个成立若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是 ()A.(y，z，w)S，(x，y，w)SB.(y，z，w)S，(x，y，w)SC.(y，z，w)S，(x，y，w)SD.(y，z，w)S，(x，y，w)S【解析】选B本题考查集合、推理与证明，考查考生接受、理解、运用和迁移新知识的能力，推理论证能力与创新意识题目中xyz，yzx，zxy恰有一个成立说明x，y，z是互不相等的三个正整数，可用特殊值
30、法求解，不妨取x1，y2，z3，w4满足题意，且(2,3,4)S，(1,2,4)S，从而(y，z，w)S，(x，y，w)S成立57（2013山东高考理）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为 ()A2 B1 C D【解析】选C本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查两点间斜率的几何意义等基础知识，考查数形结合思想，考查运算求解能力已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x2y10和3xy80，解得A(3，1)，故OM斜率的最小值为.58（2013山东高考理）设正实数x，y，z满足x23x
31、y4y2z0.则当取得最大值时，的最大值为 ()A0 B1 C. D3【解析】选B本题考查基本不等式、二次函数的性质等基础知识，考查等价转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力.1，当且仅当x2y时等号成立，此时z2y2，211，当且仅当y1时等号成立，故所求的最大值为1.59（2013天津高考理）设变量x, y满足约束条件则目标函数zy2x的最小值为 ()A7 B4 C1 D2【解析】选A本题考查线性规划，意在考查考生数形结合思想的应用约束条件对应的平面区域是一个三角形区域，当目标函数y2xz经过可行域中的点(5,3)时，z取得最小值为7.60（2013天津高考理）
32、已知函数f(x)x(1a|x|). 设关于x的不等式f(xa)f(x)的解集为A.若A, 则实数a的取值范围是 ()A. B. C. D.【解析】选A本题考查函数与不等式的综合应用，意在考查考生的数形结合能力由题意可得0A，即f(a)f(0)0，所以a(1a|a|)0时无解，所以a0，所以1ab，则 ()Aacbc B.b2 D. a3b3【解析】选D当c0时，选项A不成立；当a0，b0，故选D.62（2013重庆高考文）关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a ()A. B. C. D. 【解析】选A本题主要考查二次不等式与二次方程的关系由条件知x1，x
33、2为方程x22ax8a20的两根，则x1x22a，x1x28a2，故(x2x1)2(x1x2)24x1x2(2a)24(8a2)36a2152，得a，故选A.63（2013山东高考文）设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0.则当取得最小值时，x2yz的最大值为 ()A0 B. C2 D.【解析】选C本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想32 31，当且仅当x2y时等号成立，因此z4y26y24y22y2，所以x2yz4y2y22(y1)222.64（2013大纲卷高考文）不等式|x22|2的解集是 ()A(1,1) B(2,2) C(1,0)
34、(0,1) D(2,0)(0,2)【解析】选D本题主要考查绝对值不等式、二次不等式的解法由|x22|2得2x222，即0x24，所以2x0或0x1332，故A不恒成立；同理，当x时，1xx2，故B不恒成立；因为(cos xx21)sin xx0(00，)，且x0时，ycos xx210，所以ycos xx210恒成立，所以C对；当x4时，ln(1x)b1，c；acloga(bc)其中所有的正确结论的序号是 ()A B C D【解析】选D 由ab1，c0得，；幂函数yxc(c0)是减函数，所以acbc，所以logb(ac)loga(ac)loga(bc)，均正确91.（2012新课标高考文）已知
35、正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在ABC内部，则zxy的取值范围是 ()A(1，2) B(0,2) C(1,2) D(0,1)【解析】选A 由题意知，正三角形的顶点C的坐标为(1，2)，当zxy经过点B时，zmax2，经过点C时，zmin1.92.（2012重庆高考文）不等式0的解集为 ()A(1，) B(，2) C(2,1) D(，2)(1，)【解析】选C 不等式等价于(x1)(x2)0，解得2x1，在约束条件下，目标函数zxmy的最大值小于2，则m的取值范围为 ()A(1,1) B(1，) C(1,3) D(3，)【解析】选A 变换目标函数为
36、yx，由于m1，所以10，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线yx在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值显然在点A处取得最大值，由ymx，xy1，得A(，)，所以目标函数的最大值是2，即m22m10，解得1m0时的最小值，而a要小于等于这个最小值.【解析】135.（2014福建高考理科13）13、要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_（单位：元）【解题指南】利用基本不等式建立关系式求解，可以考虑设两变量，也可以考虑设一变量。【解析】由容器体积为4，高为1可知，容
37、器的底面积为4设底面长为x，则宽为，总造价为W由题意，当，即时取“=”【答案】160136.(2014陕西高考理科T14)观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中,F,V,E所满足的等式是.【解题指南】本题是对欧拉公式的考查,观察图形,准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键.【解析】因为5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,所以V+F-E=2;答案:V+F-E=2137.（2013福建高考理）当xR，|x|1时，有如下表达式：1xx2xn.两边同时积分得：01dx0xdx0x2dx0xndx0d
38、x，从而得到如下等式：123n1ln 2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：CC2C3Cn1_.【解析】本题考查定积分、二项式定理、类比推理等基础知识，意在考查考生的转化和归能力、类比推理能力和运算求解能力法一：设f(x)CxCx2Cx3Cxn1，所以f(x)CCxCx2Cxn(1x)n，所以f0f(x)dx0(1x)ndx(1x)n10n1(10)n1.法二：CC2C3Cn11n23n1(n1)23n1.【答案】138.（2013浙江高考理）设zkxy，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k_.【解析】本题考查用平面区域表示二元一次不等式组、直线方程中参数的几何意义以及分析问
39、题、解决问题的能力画出可行域，根据线性规划知识，目标函数取最大值12时，最优解一定为(4,4)，这时124k4，k2.【答案】2139（2013陕西高考理）若点(x，y)位于曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为_【解析】本题考查分段函数的图象和线性规划的应用，考查考生的数形结合能力由题意知y作出曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域，如图中阴影部分所示，即得过点A(1,2)时，2xy取最小值4.【答案】4140.（2013陕西高考理）观察下列等式1211222312223261222324210照此规律，第n个等式可为_【解析】本题考查考生的观察、归纳、推理能力观察规律可知，
40、第n个式子为12223242(1)n1n2(1)n1.【答案】12223242(1)n1n2(1)n1141（2013广东高考理）不等式x2x20的解集为_【解析】本题考查一元二次不等式的解集，考查考生的运算能力及数形结合思想的领悟能力令f(x)x2x2(x2)(x1)，画出函数图象可知，当2x1时，f(x)0，从而不等式x2x20的解集为x|2x1【答案】x|2x0，则当a_时，取得最小值. 【解析】本题考查基本不等式的应用，意在考查考生分析问题、解决问题的能力因为211，当且仅当，a0，即a2，b4时取等号，故取最小值时，a2.【答案】2148（2013北京高考文）设D为不等式组所表示的平
41、面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为_【解析】本题主要考查线性规划的简单应用，意在考查考生的运算能力、作图能力以及数形结合思想和转化思想作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0)到直线2xy0的距离最小，d，故最小距离为.【答案】149（2013北京高考文）已知点A(1，1)，B(3,0)，C(2,1)若平面区域D由所有满足APABAC (12,01)的点P组成，则D的面积为_【解析】本题主要考查平面向量、线性规划以及考生利用函数方程的思想解答问题的能力，是一道综合性较强的题目，意在考查考生分析问题、解决问题的能力设点P(x，y)，由APABAC，得(x1
42、，y1)(2,1)(1,2)，故得由12,01得，即画出可行域如图中阴影部分所示，点B(3,0)到直线x2y0的距离d，点B，N之间的距离|BN|，故阴影部分的面积为3.【答案】3150（2013江苏高考文）抛物线yx2在x1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界) .若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x2y的取值范围是_【解析】本题考查导数的几何意义，线性规划等知识，意在考查学生的数形结合思想和逻辑推理能力因为y2x，所以当x1时，y1，y2，则过点(1,1)的切线方程为y12(x1)，即y2x1，所以切线与两坐标轴围成的三角形区域端点为(0,0)，(0，1)，所
43、以x2y在点处取得最大值，在点(0，1)处取得最小值2，即x2y的取值范围为2，.【答案】2， 151（2013江苏高考文）已知f(x)是定义在R上的奇函数当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_【解析】本题考查奇函数的性质及一元二次不等式的解法，意在考查学生的化归能力及运算能力由于f(x)为R上的奇函数，所以当x0时，f(0)0；当x0，所以f(x)x24xf(x)，即f(x)x24x，所以f(x)由f(x)x，可得或解得x5或5x0，所以原不等式的解集为(5,0)(5，)【答案】(5,0)(5，)152（2013安徽高考文）若非负变量x，y满足约束条件则xy的最大
44、值为_【解析】本题主要考查线性规划的有关知识和数形结合思想法一：画出可行域是如图所示的四边形OABC的边界及内部，令zxy，易知当直线yxz经过点C(4,0)时，直线在y轴上截距最大，目标函数z取得最大值，即zmax4.法二：令zxy.界点定值，则先画出可行域，这时把边界点O(0,0)，A(0,1)，B，C(4,0)代入目标函数zxy可得zA1，zB，zC4，比较可得zmax4.【答案】4153（2013山东高考文）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是_【解析】本题主要考查线性规划下的最值求法，考查数形结合思想、图形处理能力和运算能力作出不等式组表示
45、的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM|的最小值为点O到直线xy20的距离，所以|OM|min.【答案】154（2013大纲卷高考文）若x，y满足约束条件则zxy的最小值为_【解析】本题主要考查线性规划的最值问题首先作出约束条件下的平面区域，由图可知当目标函数zxy经过点C(1,1)时取得最小值，即为110.【答案】0155（2013浙江高考文）设zkxy，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k_.【解析】本题主要考查二元一次不等式组的平面区域、线性规划的最优解的问题，意在考查考生的数形结合能力已知不等式组可表示成如图的可行域，当0k时，直线ykxz经过点A(4,4)时z最大，所以4k
46、412，解得k2(舍去)；当k时，直线ykxz经过点B(2,3)时，z最大，所以2k312，解得k(舍去)；当k0, 则的最小值为_【解析】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查考生分析问题、解决问题的能力因为211，当且仅当，a0，即a2，b4时取等号，故的最小值是.【答案】 158（2013天津高考文）在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中ABC是格点三角形，对应的S1，N0，L4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别
47、是_；(2)已知格点多边形的面积可表示为SaNbLc，其中a，b，c为常数若某格点多边形对应的N71，L18，则S_(用数值作答)【解析】本题属自定义型信息题，考查考生的创新意识(1)由定义知，四边形DEFG由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有1个，边界上格点有6个，S四边形DEFG3.(2)由待定系数法可得，当N71，L18时，S17118179.【答案】3,1,679159（2013陕西高考文）观察下列等式(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135照此规律， 第n个等式可为_【解析】本题主要考查归纳推理，考查考生的观察、归纳、猜测能力观察规律可
48、知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n1)，(nn)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)【答案】(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)160（2013四川高考文）已知函数f(x)4x(x0，a0)在x3时取得最小值，则a_.【解析】本题主要考查基本不等式，意在考查考生对基础知识的掌握f(x)4x24，当且仅当4x，即a4x2时取等号，则由题意知a43236.【答案】36161（2013广东高考文）已知变量x，y满足约束条件则zxy的最大值是_【解析】本题主要考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考
49、生的运算求解能力画出可行域如图中阴影部分所示，故目标函数在直线xy30与x1的交点(1,4)处取得最大值，所以zmax145.【答案】5162（2012广东高考理）不等式|x2|x|1的解集为_【解析】若x0，则x2x1，无解；若2x0，则x2x1，得2x；若x2，则(x2)x1，得x2.综合上述，得不等式|x2|x|1的解集为x|x【答案】x|x163（2012山东高考理）若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.【解析】由|kx4|2可得2kx6，所以1x3，所以1，故k2.【答案】2164（2012陕西高考理）观察下列不等式111照此规律，第五个不等式为_【解析】观察得出规律，
50、左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1(nN*，n2)，所以第五个不等式为1.【答案】1166（2012江苏高考理）已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_【解析】因为f(x)的值域为0，)，所以0，即a24b，所以x2axc0的解集为(m，m6)，易得m，m6是方程x2axc0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得解得c9.【答案】9167（2012江苏高考理）已知正数a，b，c满足：5c3ab4ca，cln bacln c，则的取值范围是_【解析】由条件可得令x，y，则问题转化
51、为约束条件为求目标函数z的取值范围作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分)，过原点作yex的切线，切线方程为yex，切点P(1，e)在区域内故当直线yzx过点P(1，e)时，zmine；当直线yzx过点C(，)时，zmax7，故e,7【答案】e,7168（2012北京高考理）已知f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2.若同时满足条件：xR，f(x)0或g(x)0；x(，4)，f(x)g(x)0，则m的取值范围是_【解析】当x1时，g(x)0，当x1时，g(x)0，当x1时，g(x)0.m0不符合要求；当m0时，根据函数f(x)和函数g(x)的单调性，一定存在区间a，)使f(x)0
52、且g(x)0，故m0时不符合第条的要求；当m0时，如图所示，如果符合的要求，则函数f(x)的两个零点都得小于1，如果符合第条要求，则函数f(x)至少有一个零点小于4，问题等价于函数f(x)有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于4.函数f(x)的两个零点是2m，(m3)，故m满足或者解第一个不等式组得4m2，第二个不等式组无解，故所求m的取值范围是(4，2)【答案】(4，2 )169（2012浙江高考理）设aR，若x0时均有(a1)x1(x2ax1)0，则a_.【解析】显然a1不能使原不等式对x0恒成立，故a1且当x1，a1时原不等式成立对于x2ax10，设其两根为x2，x3，
53、且x2x3，易知x20，x30.当x0时，原不等式恒成立，故x1满足方程x2ax10，代入解得a或a0(舍去)【答案】170（2012安徽高考理）若x，y满足约束条件则xy的取值范围是_【解析】记zxy，则yxz，所以z为直线yxz在y轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中ABC区域所示结合图形可知，当直线经过点B(1,1)时，xy取得最大值0，当直线经过点C(0,3)时，xy取得最小值3.【答案】3,0171（2012新课标高考理）设x，y满足约束条件则zx2y的取值范围为_【解析】依题意，画出可行域，如图所示，可行域为ABOC，显然，当直线yx过点A(1,2)时，z取得最小值为
54、3；当直线过点B(3,0)时，z取得最大值为3，综上可知z的取值范围为3,3【答案】3,3172（2012浙江高考文）设zx2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是_【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，作直线l0：x2y0，平移l0，当所得直线过点C(，)时，z取最大值3，当所得直线过点O(0,0)时，z取最小值0.【答案】0，17313（2012大纲卷高考理）若x，y满足约束条件则z3xy的最小值为_【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由z3xy，得y3xz，由题可知，求z的最小值即为求y3xz在可行域内纵截距的最大值，当过点A时，所求的z最大，即过点A(0,1)，即最大值为
55、130z，所以zmin1.【答案】1174.（2012湖北高考文）若变量x，y满足约束条件则目标函数z2x3y的最小值是_【解析】作出不等式组表示的平面区域(如图)，再平移目标函数得最小值当目标函数经过点(1,0)时，z取得最小值2.【答案】2175（2012四川高考文）设a，b为正实数现有下列命题：若a2b21，则ab1；若1，则ab1；若|1，则|ab|1；若|a3b3|1，则|ab|0，b0，于是有abab1，此时(ab)(ab)1这与“a2b2(ab)(ab)1”相矛盾，因此ab1，因此不正确；对于，取a9，b4，有|1，但此时|ab|51，因此不正确；对于，由|a3b3|1得|ab|
56、(a2abb2)1，|ab|(a2abb2)|ab|(a22abb2)|ab|3，于是有|ab|31，|ab|1，因此正确综上所述，其中的真命题有.【答案】176（2012江苏高考文）已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_【解析】因为f(x)的值域为0，)，所以0，即a24b，所以x2axc0，2x3，xlog23.故答案为log23.【答案】log23179（2012上海高考文）满足约束条件|x|2|y|2的目标函数zyx的最小值是_【解析】由题意知约束条件表示的可行域为如图所示的菱形区域，所以当x2，y0时，目
57、标函数zyx取得最小值2.【答案】2180（2012福建高考文）已知关于x的不等式x2ax2a0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_【解析】由题意得a28a0，解得a(0,8)【答案】(0,8)181（2012北京高考文）已知f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2.若xR，f(x)0或g(x)0，则m的取值范围是_【解析】由题易知当x1时，g(x)0，故要使对xR，f(x)0或g(x)0，只需在x1时，f(x)0恒成立即可当m0时，f(x)0等价于00时，f(x)0等价于(x2m)(xm3)0得m3x2m，对x1不可能恒成立，故舍去；当m0时，f(x)0，因为x1，2m0，所以x2m0
58、，于是不等式转化为mx3，又x1时，x34，所以要使mx3在x1时恒成立，只需m4，故4m0.综上，4m0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.【解析】根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n1，故fn(x).【答案】185（2011广东高考）不等式|x1|x3|0的解集是_【解析】原不等式等价于或或，解得1x3或x3，故原不等式的解集为x|x1【答案】x|x1186（2
59、011浙江高考）设x，y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_【解析】4x2y2xy1，(2xy)23xy12xy1()21，(2xy)2，(2xy)max.【答案】187（2011陕西高考）观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第n个等式为_【解析】每行最左侧数分别为1、2、3、，所以第n行最左侧的数为n；每行数的个数分别为1、3、5、，则第n行的个数为2n1.所以第n行数依次是n、n1、n2、3n2.其和为n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.【答案】n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2三. 解答题188.（2015江苏高考，23）（本小题满
60、分10分） 已知集合，令表示集合所含元素的个数.（1）写出的值；（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.【解析】（1），中产生，分以下情形讨论：1）若，则，此时有，结论成立；2）若，则，此时有，结论成立；3）若，则，此时有，结论成立；4）若，则，此时有，结论成立；5）若，则，此时有，结论成立；6）若，则，此时有，结论成立学优高考网综上所述，结论对满足的自然数均成立189.（2015高考北京，理20）已知数列满足：，且记集合（）若，写出集合的所有元素；（）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（）求集合的元素个数的最大值【解析】（）由已知可知：（）因为集合存在一个元素
61、是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知，可用用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数.190.（2015上海高考，理23）对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设单调递增，.（1）验证是以为周期的余弦周期函数；（2）设证明对任意，存在，使得；（3）证明：“为方程在上得解”的充要条件是“为方程在上有解”，并证明对任意都有.（2）由于的值域为，所
62、以对任意，都是一个函数值，即有，使得.若，则由单调递增得到，与矛盾，所以.同理可证.故存在使得.（3）若为在上的解，则，且，即为方程在上的解.同理，若为方程在上的解，则为该方程在上的解.以下证明最后一部分结论.由（2）所证知存在，使得，.而是函数的单调区间，.与之前类似地可以证明：是在上的解当且仅当是在上的解.从而在与上的解的个数相同.故，.对于，而，故.类似地，当，时，有.结论成立.191.(2014陕西高考文科T18)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在ABC三边围成的区域(含边界)上,且=m+n.(m,nR).(1)若
63、m=n=,求.(2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.【解题指南】(1)先利用点的坐标求得向量坐标,代入已知关系式,再利用向量模的公式解得所求.(2)利用已知转化求得m-n与x,y的关系,再利用平面直角坐标系中简单的线性规划问题求其最值.【解析】(1)因为m=n=,=(1,2),=(2,1),所以=+=(1,2)+(2,1)=(2,2),所以|=2.(2)因为=m+n,所以(x,y)=(m+2n,2m+n),所以两式相减得,m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,2)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.192.(2014陕西高考理科T18)(本小题满分12
64、分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在ABC三边围成的区域(含边界)上.(1)若+=0,求.(2)设=m+n(m,nR),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.【解题指南】(1)先利用点的坐标求得向量坐标,代入已知关系式得点P坐标,再利用向量模的公式解得所求.(2)利用已知转化求得m-n与x,y的关系,再利用平面直角坐标系中简单的线性规划问题求其最值.【解析】(1)因为+=0,又+=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),所以解得x=2,y=2,即=(2,2),故|=2.(2)因为=m+n,所以(
65、x,y)=(m+2n,2m+n),所以两式相减得,m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,2)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.193.(2014广东高考理科)(14分)设数列an的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,nN*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值.(2)求数列an的通项公式.【解题提示】(1)取n=1,n=2,n=3,结合S3=15列方程组求a1,a2,a3.(2)利用an=Sn-Sn-1(n2),先猜出an,再用数学归纳法给出证明.【解析】(1)由已知得解得a1=3,a2=5,a3=7.(2)猜测an=2n+1.由Sn
66、=2nan+1-3n2-4n得Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1)(n2),当n2时,an=Sn-Sn-1,所以两式相减,整理得an=2nan+1-2(n-1)an-6n-1,an+1=an+,建立an与an+1的递推关系(nN*);因为当n=1时,a1=3,假设ak=2k+1成立,那么n=k+1时,ak+1=ak+= (2k+1)+=2k+3=2(k+1)+1,对于nN*,有an=2n+1,数列an的通项公式为an=2n+1.【技巧点拨】本题的设计有“数学归纳法”的暗示,第(2)问用数学归纳法较为简便,且容易想到.若直接变形转化为等差(比)数列求解,则比较困难,可变形为(
67、2n+1)an+1-2(n+1)+1=(2n+2)an+2-2(n+2)+1,又a1-(21+1)=0an-(2n+1)=0,即an=2n+1.194.（2014安徽高考理科21）设实数，整数，.（1）证明：当且时，；（2）数列满足，证明：【解题提示】用数学归纳法证明不等式。【解析】（1）用数学归纳法证明当p=2时，原不等式成立。假设时，不等式成立，当p=k+1时，=，所以p=k+1时，原不等式成立。综上可得，当且时，对一切整数p1,不等式均成立。（2）设，并且，由此可得上单调递增，因而，当时，。当n=1时，由，即可知=，并且，从而。故当n=1时，不等式成立。假设时，不等式成立，则当n=k+1
68、时，成立，即，所以n=k+1时，原不等式也成立。综合可得，对一切正整数n，不等式均成立。195.（2013北京高考理科20）已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项，的最小值记为Bn，dn=AnBn(1)若an为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列(即对任意nN*，)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d为非负整数，证明：dn=d(n=1,2,3)的充分必要条件为an为公差为d的等差数列；(3)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3)，则an的项只能是1或2，且有无穷多项为1【解题指南】(1)根据dn的定义求.(2)充分性:先证
69、明an是不减数列,再利用定义求dn;必要性:先证明an是不减数列,再利用定义证明等差.(3)可通过取特殊值和反证法进行证明.【解析】（1），。（2） 充分性：若为公差为的等差数列，则.因为是非负整数，所以是常数列或递增数列.，(n=1,2,3,).必要性：若，假设是第一个使得的项，则，这与矛盾.所以是不减数列.，即，是公差为的等差数列.（3）首先中的项不能是0，否则，与已知矛盾.中的项不能超过2，用反证法证明如下：若中有超过2的项，设是第一个大于2的项，中一定存在项为1，否则与矛盾.当时，否则与矛盾.因此存在最大的i在2到k-1之间，使得，此时，矛盾.综上中没有超过2的项.综合，中的项只能是1
70、或2.下面证明1有无数个，用反证法证明如下：若为最后一个1，则，矛盾.因此1有无数个. 196.（2013北京高考文科20）给定数列a1，a2，an。对i=1，2，n-l，该数列前i项的最大值记为Ai，后n-i项ai+1，ai+2，an的最小值记为Bi，di=Ai-Bi.（1）设数列an为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值.（2）设a1，a2，an（n4）是公比大于1的等比数列，且a10.证明：d1，d2，dn-1是等比数列。（3）设d1，d2，dn-1是公差大于0的等差数列，且d10，证明：a1，a2，an-1是等差数列。【解题指南】(1)利用di的公式,求d1,d2,d3的值.(2)
71、先求出dn的通项,再利用等比数列的定义证明dn是等比数列.(3)先证明an是单调递增数列,再证明an是数列an的最小项,最后证明an是等差数列.【解析】（1），。（2）由是公比大于1的等比数列，且a10，可得的通项为且为单调递增数列。于是当时，为定值。因此d1，d2，dn-1构成首项，公比的等比数列。（3）若d1,d2,dn-1是公差大于0的等差数列,则0d1d2dn-1,先证明a1,a2,an-1是单调递增数列,否则,设ak是第一个使得akak-1成立的项,则Ak-1=Ak,Bk-1Bk,因此dk-1=Ak-1-Bk-1Ak-Bk=dk,矛盾.因此a1,a2,an-1是单调递增数列.再证明a
72、n为数列an中的最小项,否则设ak0矛盾.因而k2,此时考虑dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak0，因此h(x)在0,1上是增函数，故h(x)h(0)0.所以f(x)1x，x0,1要证x0,1时，(1x)e2x，只需证明exx1.记K(x)exx1，则K(x)ex1，当x(0,1)时，K(x)0，因此K(x)在0,1上是增函数，故K(x)K(0)0.所以f(x)，x0,1综上，1xf(x)，x0,1(2)法一：f(x)g(x)(1x)e2x1xax12xcos xx.设G(x)2cos x，则G(x)x2sin x.记H(x)x2sin x，则H(x)12cos x，当x(0,1)时，
73、H(x)0，于是G(x)在0,1上是减函数，从而当x(0,1)时，G(x)3时，f(x)g(x)在0,1上不恒成立f(x)g(x)1ax2xcos xax2xcos xx，记I(x)a2cos xaG(x)，则I(x)G(x)，当x(0,1)时，I(x)3时，a30，所以存在x0(0,1)，使得I(x0)0，此时f(x0)0，于是G(x)在0,1上是增函数，因此当x(0,1)时，G(x)G(0)0，从而F(x)在0,1上是增函数，因此F(x)F(0)0，所以当x0,1时，1x2cos x.同理可证，当x0,1时，cos x1x2.故x0,1时，1x2cos x1x2.因为当x0,1时，f(x)
74、g(x)(1x)e2xax12xcos x(1x)ax12x(a3)x，所以当a3时，f(x)g(x)在0,1上恒成立下面证明，当a3时，f(x)g(x)在0,1上不恒成立因为f(x)g(x)(1x)e2x1ax2x(a3)xx，所以存在x0(0,1)(例如x0取和中的较小值)满足f(x0)0，区间Ix|f(x)0(1)求I的长度(注：区间(，)的长度定义为)；(2)给定常数k(0,1)，当1ka1k时，求I长度的最小值解：本题考查含参数的一元二次不等式的解法、导数的应用等，意在考查考生恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力(1)因为方程ax(1a2)x20(a0)有两个实根x
75、10，x2，故f(x)0的解集为x|x1xx2因此区间I，I的长度为.(2)设d(a)，则d(a).令d(a)0，得a1.由于0k1，故当1ka0，d(a)单调递增；当1a1k时，d(a)0，d(a)单调递减所以当1ka1k时，d(a)的最小值必定在a1k或 a1k处取得而1，故d(1k)ln 2.解：本题考查函数与导数、不等式的综合应用，考查分类讨论的数学思想，考查考生分析问题、解决问题的能力(1)由已知f(0)0，f(x)，f(0)0.若，则当0x0，所以f(x)0.若，则当x0时，f(x)0时，f(x)0时，f(x)ln (1x)取x，则ln .于是a2nann ln 2nln nln
76、2.所以a2nanln 2.201（2013湖北高考理）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值；(参考数据：若XN(，2)，有P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4.)(2)某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆若每天要以不小于p0的
77、概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解：本题考查正态分布、简单的线性规划等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查运算求解能力、逻辑推理能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有800，50，P(700X900)0.954 4.由正态分布的对称性，可得p0P(X900)P(X800)P(800X900)P(7000，区间Ix|f(x)0(1)求I的长度(注：区间(，)的长度定义为)；(2)给定常数k(0,1)，当1ka1k时，求I长度的最小值解：本题主要考查二次不
78、等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力(1)因为方程ax(1a2)x20(a0)有两个实根x10，x2.故f(x)0的解集为x|x1xx2，因此区间I，区间长度为.(2)设d(a)，则d(a).令d(a)0，得a1.由于0k1，故当1ka0，d(a)单调递增；当1a1k时，d(a)0，d(a)单调递减因此当1ka1k时，d(a)的最小值必定在a1k或a1k处取得而1，故d(1k)2时，不等式axx22(x2)cos x4对x0,1不恒成立因为当x0,1时，axx22(x2)cos x4(a2)xx24(x2)sin2(a2)xx2
79、4(x2)2(a2)xx2(a2)xx2x.所以存在x0(0,1)(例如x0取和中的较小值)满足ax0x2(x02)cos x040，即当a2时，不等式axx22(x2)cos x40对x0,1不恒成立综上，实数a的取值范围是(，2法二：记f(x)axx22(x2)cos x4，则f(x)a2x2cos x2(x2)sin x.记G(x)f(x)，则G(x)23x4sin x2(x2)cos x.当x(0,1)时，cos x，因此G(x)23x4x(x2)(22)x0.于是f(x)在0,1上是减函数，因此，当x(0,1)时，f(x)f(0)a2，故当a2时，f(x)2时，不等式axx22(x2
80、)cos x4对x0,1不恒成立由于f(x)在0,1上是减函数，且f(0)a20，f(1)a2cos 16sin 1.当a6sin 12cos 1时，f(1)0，所以当x(0,1)时，f(x)0，因此f(x)在0,1上是增函数，故f(1)f(0)0；当2a6sin 12cos 1时，f(1)0，故存在x0(0,1)使f(x0)0，则当0xf(x0)0，所以f(x)在0，x0上是增函数，所以当x(0，x0)时，f(x)f(0)0.所以，当a2时，不等式axx22(x2)cos x4对x0,1不恒成立综上，实数a的取值范围是(，2205（2012广东高考理）设a0，BxR|2x23(1a)x6a0
81、，DAB.(1)求集合D(用区间表示)；(2)求函数f(x)2x33(1a)x26ax在D内的极值点解：(1)2x23(1a)x6a0的判别式9(1a)248a9(a3)(a)，而a0，当0时，得a3，即a，由2x23(1a)x6a0，解得x1，x2，若x10，即1a ，得a0，若x20，即(1a) 0，无解，所以当a0时，x10x2，B(，x1)(x2，)，DAB(x2，)，当a0时，0x1x2，B(，x1)(x2，)，DAB(x2，)，当0a时，0x1x2，B(，x1)(x2，)，DAB(0，x1)(x2，)；当0时，得a，由x22x10，得x1，此时B(，1)(1，)，DAB(0,1)(
82、1，)；当0时，得a1，BR，DAB(0，)综上所述：当a0时，D(，)；当0a时，D(0，)(，)；当a时，D(0,1)(1，)；当a1时，D(0，)(2)f(x)6x26(1a)x6a6(x1)(xa)，a1，令f(x)0得xa或x1，当x1时，f(x)0，f(x)单调递增，当ax1时，f(x)1，所以此时f(x)在D(x2)上无极值点；当0a0，f(1)23(1a)6a3a10，再由f(x)的单调性可得0ax11x2，此时f(x)在D上只存在一个极大值点xa；当a时，f(x)在D(0,1)(1，)上只存在一个极大值点x；当a1时，f(x)在D(0，)上存在一个极大值点xa和极小值点x1.
83、综上所述，当a0时，f(x)在D上无极值点；当0a时，f(x)在D上存在一个极大值点xa；当a1时，f(x)在D上存在一个极大值点xa和极小值点x1.206（2012四川高考理）已知a为正实数，n为自然数，抛物线yx2与x轴正半轴相交于点A.设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距(1)用a和n表示f(n)；(2)求对所有n都有成立的a的最小值；(3)当0a4n(13)n1C3C32C331C3C32C3312n3n5(n2)2(2n5)2n31.当n0,1,2时，显然()n2n31.故a时，对所有自然数n都成立所以满足条件的a的最小值为.(3)由(1)知f(k)ak，则，.下面证明：
84、.首先证明：当0x1时，x.设函数g(x)x(x2x)1,0x1.则g(x)x(x)当0x时，g(x)0；当x0.故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)ming()0.所以，当0x1时，g(x)0，即得x.由0a1知0ak.207（2012辽宁高考理）设f(x)ln(x1)axb(a，bR，a，b为常数)，曲线yf(x)与直线yx在(0,0)点相切(1)求a，b的值；(2)证明：当0x2时，f(x)0时，2x11x2，故1.记h(x)f(x)，则h(x).令g(x)(x6)3216(x1)，则当0x2时，g(x)3(x6)22160.因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)0，
85、得g(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)0，得h(x)0.于是当0x2时，f(x)0时，2x11x2，故1.令k(x)ln (x1)x，则k(0)0，k(x)10，故k(x)0，即ln(x1)0时，f(x)x.记h(x)(x6)f(x)9x，则当0x2时，h(x)f(x)(x6)f(x)9x(x6)()93x(x1)(x6)(2)18(x1)3x(x1)(x6)(3)18(x1)(7x18)0.因此h(x)在(0,2)内单调递减，又h(0)0，所以h(x)0，即f(x).208（2012北京高考理）设A是由mn个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对
86、值不大于1，且所有数的和为零记S(m，n)为所有这样的数表构成的集合对于AS(m，n)，记ri(A)为A的第i行各数之和(1im)，cj(A)为A的第j列各数之和(1jn)；记k(A)为|r1(A)|，|r2(A)|，|rm(A)|，|c1(A)|，|c2(A)|，|cn(A)|中的最小值(1)对如下数表A，求k(A)的值；110.80.10.31(2)设数表AS(2,3)形如11cab1求k(A)的最大值；(3)给定正整数t，对于所有的AS(2,2t1)，求k(A)的最大值解：(1)因为r1(A)1.2，r2(A)1.2，c1(A)1.1，c2(A)0.7，c3(A)1.8，所以k(A)0.
87、7.(2)不妨设ab.由题意得c1ab.又因c1，所以ab0，于是a0.r1(A)2c1，r2(A)r1(A)1，c1(A)1a，c2(A)1b，c3(A)(1a)(1b)(1a)所以k(A)1a1.当ab0且c1时，k(A)取得最大值1.(3)对于给定的正整数t，任给数表AS(2,2t1)如下：a1a2a2t1b1b2b2t1任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*S(2,2t1)，并且k(A)k(A*)因此，不妨设r1(A)0，且cj(A)0(j1,2，t1)由k(A)的定义知，k(A)r1(A)，k(A)cj(A)(j1,2，t1)又因为c1(A)c2(A
88、)c2t1(A)0，所以(t2)k(A)r1(A)c1(A)c2(A)ct1(A)r1(A)ct2(A)c2t1(A)jj(t1)t(1)2t1.所以k(A).对数表A0：第1列 第2列 第t1列 第t2列 第2t1列1111111则A0S(2,2t1)，且k(A0).综上，对于所有的AS(2,2t1)，k(A)的最大值为.209（2012湖北高考理）(1)已知函数f(x)rxxr(1r)(x0)，其中r为有理数，且0r1.求f(x)的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a10，a20，b1，b2为正有理数若b1b21，则a1b1a2b2a1b1a2b2；(3)请将(2)中的命题推广
89、到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题注：当为正有理数时，有求导公式(x)1x1.解：(1)f(x)rrxr1r(1xr1)，令f(x)0，解得x1.当0x1时，f(x)0，所以f(x)在(0,1)内是减函数；当x1时，f(x)0，所以f(x)在(1，)内是增函数故函数f(x)在x1处取得最小值f(1)0.(2)由(1)知，当x(0，)时，有f(x)f(1)0，即xrrx(1r)，若a1，a2中至少有一个为0，则ab11ab22a1b1a2b2成立；若a1，a2均不为0，又b1b21，可得b21b1，于是在中令x，rb1，可得()b1b1(1b1)，即ab11a1b12a1b1a2(1b
90、1)，亦即ab11ab22a1b1a2b2.综上，对a10，a20，b1，b2为正有理数且b1b21，总有ab11ab22a1b1a2b2.(3)(2)中命题的推广形式为设a1，a2，an为非负实数，b1，b2，bn为正有理数若b1b2bn1，则ab11ab22abnna1b1a2b2anbn.用数学归纳法证明如下：(1)当n1时，b11，有a1a1，成立(2)假设当nk时，成立，即若a1，a2，ak为非负实数，b1，b2，bk为正有理数，且b1b2bk1，则ab11ab22abkka1b1a2b2akbk.当nk1时，已知a1，a2，ak，ak1为非负实数，b1，b2，bk，bk1为正有理数
91、，且b1b2bkbk11，此时0bk11，即1bk10，于是ab11ab22abkkabk1k1(ab11ab22abkk)abk1k1(aaa)1bk1abk1k1.因1，由归纳假设可得aaaa1a2ak，从而ab11ab22abkkabk1k1()1bk1abk1k1.又因(1bk1)bk11，由得()1bk1abk1k1(1bk1)ak1bk1a1b1a2b2akbkak1bk1，从而ab11ab22abkkabk1k1a1b1a2b2akbkak1bk1，故当nk1时，成立由(1)(2)可知，对一切正整数n，所推广的命题成立说明：(3)中如果推广形式中指出式对n2成立，则后续证明中不需
92、讨论n1的情况210（2012浙江高考理）已知a0，bR，函数f(x)4ax32bxab.(1)证明：当0x1时，函数f(x)的最大值为|2ab|a；f(x)|2ab|a0；(2)若1f(x)1对x0,1恒成立，求ab的取值范围解：(1)f(x)12ax22b12a(x2)当b0时，有f(x)0，此时f(x)在0，)上单调递增当b0时，f(x)12a(x)(x)，此时f(x)在0，上单调递减，在，)上单调递增所以当0x1时，f(x)maxmaxf(0)，f(1)maxab,3ab|2ab|a.由于0x1，故当b2a时，f(x)|2ab|af(x)3ab4ax32bx2a4ax34ax2a2a(
93、2x32x1)当b2a时，f(x)|2ab|af(x)ab4ax32b(1x)2a4ax34a(1x)2a2a(2x32x1)设g(x)2x32x1,0x1，则g(x)6x226(x)(x)，于是x0(0，)(，1)1g(x)0g(x)1减极小值增1所以，g(x)ming()10.所以当0x1时，2x32x10.故f(x)|2ab|a2a(2x32x1)0.(2)由知，当0x1时，f(x)max|2ab|a，所以|2ab|a1.若|2ab|a1，则由知f(x)(|2ab|a)1.所以1f(x)1，对任意0x1恒成立的充要条件是即或在直角坐标系aOb中，所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中
94、不包括线段BC.作一组平行直线abt(tR)，得1ab3.所以ab的取值范围是(1,3211（2012福建高考理）已知函数f(x)exax2ex，aR.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)试确定a的取值范围，使得曲线yf(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.解：(1)由于f(x)ex2axe，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率k2a0，所以a0，即f(x)exex.此时f(x)exe，由f(x)0得x1.当x(，1)时，有f(x)0；当x(1，)时，有f(x)0.所以f(x)的单调递减区间为(，1)，
95、单调递增区间为(1，)(2)设点P(x0，f(x0)，曲线yf(x)在点P处的切线方程为yf(x0)(xx0)f(x0)，令g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)，故曲线yf(x)在点P处的切线与曲线yf(x)只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点因为g(x0)0，且g(x)f(x)f(x0)exex02a(xx0)(1)若a0，当xx0时，g(x)0，则xx0时，g(x)g(x0)0；当xx0时，g(x)0，则xx0时，g(x)g(x0)0.故g(x)只有唯一零点xx0.由P的任意性，a0不合题意(2)若a0，令h(x)exex02a(xx0)，则h(x0)0，h(x)ex2a
96、.令h(x)0，得xln(2a)，记x*ln(2a)，则当x(，x*)时h(x)0，从而h(x)在(，x*)内单调递减；当x(x*，)时，h(x)0，从而h(x)在(x*，)内单调递增若x0x*，由x(，x*)时，g(x)h(x)h(x*)0；由x(x*，)时，g(x)h(x)h(x*)0.知g(x)在R上单调递增所以函数g(x)在R上有且只有一个零点xx*.若x0x*，由于h(x)在(x*，)内单调递增，且h(x0)0，则当x(x*，x0)时，有g(x)h(x)h(x0)0，g(x)g(x0)0；任取x1(x*，x0)有g(x1)0.又当x(，x1)时，易知g(x)exax2(ef(x0)x
97、f(x0)x0f(x0)ex1ax2(ef(x0)xf(x0)x0f(x0)ax2bxc，其中b(ef(x0)，cex1f(x0)x0f(x0)由于a0，则必存在x2x1，使得axbx2c0.所以g(x2)0，故g(x)在(x2，x1)内存在零点即g(x)在R上至少有两个零点若x0，可证函数g(x)在R上至少有两个零点综上所述，当a0时，曲线yf(x)上存在唯一点P(ln(2a)，f(ln(2a)，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.212（2012四川高考文）已知a为正实数，n为自然数，抛物线yx2与x轴正半轴相交于点A.设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距(1)用a和n表
98、示f(n)；(2)求对所有n都有成立的a的最小值；(3)当0a6.首先证明：当0x6x.设函数g(x)6x(x2x)1,0x1，则g(x)18x(x)当0x时，g(x)0；当x0.故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)ming()0.所以，当0x0，即得6x.由0a1知0ak6ak，从而6(aa2an)66.213（2012辽宁高考文）设f(x)ln x1，证明：(1)当x1时，f(x)(x1)；(2)当1x3时，f(x)1时，g(x)0.又g(1)0，故g(x)0，即f(x)1时，2x1，故.令k(x)ln xx1，则k(1)0，k(x)10，故k(x)0，即ln x1时，f(x)(x
99、1)(2)法一：记h(x)f(x)，当1x3时，由(1)得h(x).令l(x)(x5)3216x,1x3，l(x)3(x5)22160，因此l(x)在(1,3)内是递减函数，又由l(1)0，得l(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(1,3)内是递减函数，又由h(1)0，得h(x)0.于是当1x3时，f(x).法二：记h(x)(x5)f(x)9(x1)，则当1x3时，由(1)得h(x)f(x)(x5)f(x)9(x1)(x5)()93x(x1)(x5)(2)18x3x(x1)(x5)(2)18x(7x232x25)0，因此h(x)在(1,3)内单调递减，又h(1)0，所以h(x)0，即f(x
100、).214（2012上海高考文）已知f(x)lg(x1)(1)若0f(12x)f(x)1，求x的取值范围；(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0x1时，有g(x)f(x)，求函数yg(x)(x1,2)的反函数解：(1)由得1x1.由0lg(22x)lg(x1)lg1得10，所以x122x10x10，x.由得x.(2)当x1,2时，2x0,1，因此yg(x)g(x2)g(2x)f(2x)lg (3x)由单调性可得y0，lg 2因为x310y，所以所求反函数是y310x，x0，lg 2215（2012北京高考文）设A是如下形式的2行3列的数表，abcdef满足性质P：a，b，c，d，e，f1
101、,1，且abcdef0.记ri(A)为A的第i行各数之和(i1,2)，cj(A)为A的第j列各数之和(j1,2,3)；记k(A)为|r1(A)|，|r2(A)|，|c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值(1)对如下数表A，求k(A)的值；110.80.10.31(2)设数表A形如1112ddd1其中1d0.求k(A)的最大值；(3)对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k(A)的最大值解：(1)因为r1(A)1.2，r2(A)1.2，c1(A)1.1，c2(A)0.7，c3(A)1.8，所以k(A)0.7.(2)r1(A)12d，r2(A)12d，c1(A)c2(A)1d，c3
102、(A)22d.因为1d0，所以|r1(A)|r2(A)|1d0，|c3(A)|1d0.所以k(A)1d1.当d0时，k(A)取得最大值1.(3)任给满足性质P的数表A(如下所示)，abcdef任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P，并且k(A)k(A*)因此，不妨设r1(A)0，c1(A)0，c2(A)0.由k(A)的定义知，k(A)r1(A)，k(A)c1(A)，k(A)c2(A)，从而3k(A)r1(A)c1(A)c2(A)(abc)(ad)(be)(abcdef)(abf)abf3，所以k(A)1.由(2)知，存在满足性质P的数表A使k(A)
103、1，故k(A)的最大值为1.216（2012广东高考文）设0a0，BxR|2x23(1a)x6a0，DAB.(1)求集合D(用区间表示)；(2)求函数f(x)2x33(1a)x26ax在D内的极值点解：(1)方程2x23(1a)x6a0的判别式9(1a)248a9(a3)(a)，而0a0，当0时，得a3，即0a，由2x23(1a)x6a0，解得x1，x2，有0x1x2，此时B(，x1)(x2，)，DAB(0，x1)(x2，)；当0时，得a，由x22x10，得x1，此时B(，1)(1，)，DAB(0,1)(1，)；当0时，得a1，BR，DAB(0，)综上所述：当0a时，D(0, )(，)；当a时
104、，D(0,1)(1，)；当a1时，D(0，)(2)由题知f(x)6x26(1a)x6a6(x1)(xa)，0a1，令f(x)0得xa或x1，当x1时，f(x)0，f(x)单调递增，当ax1时，f(x)0，f(x)单调递减当0a0，f(1)23(1a)6a3a10，再由f(x)的单调性可得0ax11x2，所以函数f(x)在D内的极值点为xa.当a时，D(0,1)(1，)，函数f(x)在D内的极值点为xa.当a1时，D(0，)，函数f(x)在D内的极值点为xa和x1.综上，当a1时，函数f(x)在D内的极值点为xa和x1；当a时，函数f(x)在D内的极值点为x；当0a时，函数f(x)在D内的极值点
105、为xa.217（2011湖南高考）已知函数f(x)x3，g(x)x.()求函数h(x)f(x)g(x)的零点个数，并说明理由；()设数列an(nN*)满足a1a(a0)，f(an1)g(an)，证明：存在常数M，使得对于任意的nN*，都有anM.解：()由h(x)x3x知，x0，)，而h(0)0，且h(1)10，h(2)60，则x0为h(x)的一个零点，且h(x)在(1,2)内有零点因此，h(x)至少有两个零点法一：h(x)3x21x，记(x)3x21x，则(x)6xx.当x(0，)时，(x)0，因此(x)在(0，)上单调递增，则(x)在(0，)内至多只有一个零点又因为(1)0，()0，则(x
106、)在(，1)内有零点所以(x)在(0，)内有且只有一个零点记此零点为x1，则当x(0，x1)时，(x)(x1)0；当x(x1，)时，(x)(x1)0.所以，当x(0，x1)时，h(x)单调递减而h(0)0，则h(x)在(0，x1内无零点；当x(x1，)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x1，)内至多只有一个零点从而h(x)在(0，)内至多只有一个零点综上所述，h(x)有且只有两个零点法二：由h(x)x(x21x)，记(x)x21x，则(x)2xx.当x(0，)时，(x)0，从而(x)在(0，)上单调递增，则(x)在(0，)内至多只有一个零点因此h(x)在(0，)内也至多只有一个零点综上所述，
107、h(x)有且只有两个零点()证明：记h(x)的正零点为x0，即xx0.(1)当ax0时，由a1a，即a1x0.而aa1x0x，因此a2x0.由此猜测：anx0.下面用数学归纳法证明当n1时，a1x0显然成立假设当nk(k1)时，akx0成立，则当nk1时，由a1akx0x知，ak1x0.因此，当nk1时，ak1x0成立故对任意的nN*，anx0成立(2)当ax0时，由()知，h(x)在(x0，)上单调递增则h(a)h(x0)0，即a3a.从而aa1aa3，即a2a.由此猜测：ana.下面用数学归纳法证明当n1时，a1a显然成立假设当nk(k1)时，aka成立，则当nk1时，由a1akaa3知，ak1a.因此，当nk1时，ak1a成立故对任意的nN*，ana成立综上所述，存在常数Mmaxx0，a，使得对于任意的nN*，都有anM.
