1、第十五章 推理与证明练好题考点自测1.改编题下面结论正确的个数是()(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.(3)用反证法证明结论“ab”时,应假设“ab”.(4)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.(5)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思想与方法,再用综合法展现解决问题的过程.(6)证明不等式2+73+6可以用分析法.A.1B.2C.3D.42.2020全国卷,3,5分如图15-1,将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,a12.设1ij0),则1+1t=t,t2-t-1=0,取正值得t=5+12.用类似方法可得12+
2、12+12+=.5.2020山东章丘四中检测两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图15-2中的实心点个数1,5,12,22,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作a1=1,第2个五角形数记作a2=5,第3个五角形数记作a3=12,第4个五角形数记作a4=22,若按此规律继续下去,得数列an,则an-an-1=(n2);对nN*,an=.拓展变式1.2017全国卷,7,5分理甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成
3、绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩2.设不等式|x+1|-|x-1|1.答 案1.B(1)错误,综合法和分析法都是直接证明;(2)错误,寻找的是使结论成立的充分条件;(3)错误,应假设“ab”;(4)错误,反证法是只否定结论,推出矛盾;(5)(6)正确.2.C解法一由题意,知ai,aj,ak构成原位大三和弦时,j=k-3,i=j-4,所以ai,aj,ak为原位大三和弦的情况有:k=12,j=9,i=5;k=11,j=8,i=4;k=
4、10,j=7,i=3;k=9,j=6,i=2;k=8,j=5,i=1.共5种.ai,aj,ak构成原位小三和弦时,j=k-4,i=j-3,所以ai,aj,ak为原位小三和弦的情况有:k=12,j=8,i=5;k=11,j=7,i=4;k=10,j=6,i=3;k=9,j=5,i=2;k=8,j=4,i=1.共5种.所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10,故选C.解法二由题意,知当ai,aj,ak为原位大三和弦时,k-j=3且j-i=4,又1ijk12,所以5j9,所以这12个键可以构成的原位大三和弦的个数为5.当ai,aj,ak为原位小三和弦时,k-j=4且j-i
5、=3,又1ij0),两边平方得,12+12+12+12+=m2,即12+m=m2,解得m=4.5.3n-2(n2)n(3n-1)2因为a1=1,a2=5,a3=12,a4=22,所以a1=1,a2-a1=4,a3-a2=7,a4-a3=10,an-an-1=3n-2(n2),以上n个式子等号两边分别相加,得an=1+4+7+10+3n-2=n(3n-1)2.综上,an-an-1=3n-2(n2);对nN*,an=n(3n-1)2.1.D依题意,由于甲看后还是不知道自己的成绩,说明乙、丙两人必是一个优秀、一个良好,则甲、丁两人必是一个优秀、一个良好,因此乙看了丙的成绩就可以知道自己的成绩,丁看了甲的成绩就可以知道自己的成绩,综合以上信息可知,乙、丁可以知道自己的成绩.2.(1)由已知,令f(x)=|x+1|-|x-1|=2,x1,2x,-1x1,-2,x-1,由|f(x)|2得A=x|-1x1,只需证|1-abc|ab-c|,只需证1+a2b2c2a2b2+c2,只需证1-a2b2c2(1-a2b2),只需证(1-a2b2)(1-c2)0.由a,b,cA,得a2b21,c20恒成立.综上所述,|1-abcab-c|1.
