1、5垂 直 关 系5.1直线与平面垂直 (15分钟30分)1.下列说法正确的是()A.垂直于同一条直线的两直线平行B.垂直于同一条直线的两直线垂直C.垂直于同一个平面的两直线平行D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行【解析】选C.垂直于同一条直线的两直线可能平行、可能相交、可能异面,故A,B错误;由线面垂直的性质定理知C正确;D中这条直线可能在平面内,故D错误.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l(与直线BB1不重合)平面A1C1,则有()A.B1BlB.B1BlC.B1B与l异面D.B1B与l相交【解析】选B.因为B1B平面A1C1,又l平面A1C1,则lB1B.3.如图,ADE
2、F的边AF平面ABCD,且AF=2,CD=3,则CE=()A.2B.3C.D.【解析】选D.因为四边形ADEF为平行四边形,所以AFDE且AF=DE.因为AF平面ABCD,所以DE平面ABCD.所以DEDC.因为AF=2,所以DE=2.又CD=3,所以CE=.4.一条与平面相交的线段,其长度为10 cm,两端点到平面的距离分别是2 cm,3 cm,这条线段与平面所成的角大小是_.【解析】如图,作出AC,BD,则ACBD,AC,BD确定的平面与平面交于CD,且CD与AB相交于O,AB=10,AC=3,BD=2,则AO=6,BO=4,所以AOC=BOD=30.答案:305.如图,在棱长为2的正方体
3、ABCD-A1B1C1D1中,E是BC1的中点,则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为_.【解析】取BC的中点F,连接EF,DF.则EFC1C,且EF=C1C=1.又因为C1C平面ABCD,所以EF平面ABCD.所以EDF为直线DE与平面ABCD所成的角.又因为DF=,所以tanEDF=.答案:6.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO平面BB1C1C.(1)证明:B1CAB;(2)若ACAB1,CBB1=60,BC=1,求点B1到平面ABC的距离.【解析】(1)连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1CBC1
4、.又AO平面BB1C1C,所以B1CAO.由于BC1AO=O,故B1C平面ABO.又因为AB平面ABO,所以B1CAB.(2)作ODBC,垂足为D,连接AD.作OHAD,垂足为H.由于BCAO,BCOD,且AOOD=O,故BC平面AOD,所以OHBC.又OHAD,且ADBC=D,所以OH平面ABC.因为CBB1=60,所以CBB1为等边三角形,又BC=1,可得OD=.因为ACAB1,所以OA=B1C=.由OHAD=ODOA,且AD=,得OH=.又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为2OH=. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.正方体ABCD-A1B1C1D1中
5、与AD1垂直的平面是()A.平面DD1C1CB.平面A1DBC.平面A1B1C1D1D.平面A1DB1【解析】选D.因为AD1A1D,AD1A1B1,A1DA1B1=A1,所以AD1平面A1DB1.2.如图,=l,点A,C,点B,且BA,BC,那么直线l与直线AC的关系是()A.异面B.平行C.垂直D.不确定【解析】选C.因为BA,=l,l,所以BAl.同理BCl.又BABC=B,所以l平面ABC.因为AC平面ABC,所以lAC.3.(2020新高考全国卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指O
6、A与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面,在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40,则晷针与点A处水平面所成的角为()A.20B.40C.50D.90【命题意图】本题考查直线与平面所成的角、线面垂直的定义以及数学文化,考查学生的空间想象能力,体现了直观想象和数学运算等核心素养.【解析】选B. 晷针与晷面垂直,而晷面与赤道所在平面平行,所以晷针与赤道所在平面垂直,进而可知晷针与OA的夹角是50,又OA垂直点A处的水平面,则晷针与点A处的水平面所成的角为40.【补偿训练】 1.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,则点C到平
7、面BDD1B1的距离为()A.1B.C.2D.2【解析】选B.如图,连接AC,DB交于点O,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为DBAC,BB1AC,BB1DB=B,所以AC平面BDD1B1.所以点C到平面BDD1B1的距离为CO,CO=AC=.2.在ABC中ACB=90,AB=8,BAC=60,PC平面ABC,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为()A.2B.7C.D.【解析】选A.如图所示,因为PC平面ABC,所以PCCM,则PCM是直角三角形,故PM2=PC2+CM2,所以当CMAB时,CM最小,此时PM也最小.由条件知AC=4,BC=4,故CM的最小值为2,又PC=4
8、,则PM的最小值为=2.4.如图,设平面平面=PQ,EG平面,FH平面,垂足分别为G,H.为使PQGH,则需增加的一个条件是()A.EF平面B.EF平面C.PQGED.PQFH【解析】选B.因为EG平面,PQ平面,所以EGPQ.若EF平面,则由PQ平面,得EFPQ.又EG与EF为相交直线,所以PQ平面EFHG,所以PQGH.【误区警示】做此题进行加条件时,四个选项需要逐一分析,要认真领会线面垂直的性质和判定定理的内容.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列命题正确的是()A.bB.abC.bD.b【解析】选AB.由性质定理可得A,B正确.
9、6.如图,四棱锥S-ABCD底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论中正确的有()A.ACSBB.AB平面SCDC.SA与平面ABCD所成的角是SADD.AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角【解析】选ABCD.因为SD平面ABCD,AC平面ABCD,所以SDAC.因为四边形ABCD为正方形,所以BDAC,又SDBD=D,所以AC平面SBD,而SB平面SBD,所以ACSB,故正确.因为ABCD,AB平面SDC,CD平面SDC,所以AB平面SCD,故正确.因为SD平面ABCD,所以SA在底面上的射影为AD,所以SA与底面ABCD所成的角为SAD,正确.因为ABCD,故也正确.三、填空题(每小
10、题5分,共10分)7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB1与平面ADD1A1所成的角等于_;AB1与平面DCC1D1所成的角等于_.【解析】B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0.答案:450【补偿训练】 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件_时,有A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况).【解析】当BDAC时,BDAA1,ACAA1=A,所以BD平面AA1C,从而BDA1C,又B1D1BD,所以A1CB1D1.答案:BDAC8.已知m,n是两条不同的直线
11、,是两个不同的平面.若m,mn,则n;若m,n,则mn;若m,n,且,则mn;若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面.其中为真命题的是_.(填序号)【解析】若m,mn,则n与位置关系不确定,故为假命题.若n,则内存在直线l与n平行.因为m,所以ml,所以mn.故为真命题.若m,n,且,则m,n可能异面.故为假命题.原命题的逆否命题为“若m与n垂直于同一平面,则m,n平行”,为真命题,所以原命题为真命题,所以为真命题.答案:四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,ACB=90,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1
12、,DF交于点E,要使AB1平面C1DF,求线段B1F的长.【解析】设B1F=x,因为AB1平面C1DF,DF平面C1DF,所以AB1DF.由已知可得A1B1=.设RtAA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.又2=h,所以h=,DE=.在RtDB1E中,B1E=.在RtDB1F中,由面积相等得=x,解得x=,即线段B1F的长为.10.如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.证明:l平面PDC.【证明】在正方形ABCD中,ADBC,因为AD平面PBC,BC平面PBC,所以AD平面PBC,又因为AD平面PAD,平面PAD平面PBC=l,所以A
13、Dl,因为在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,所以ADDC,所以lDC,且PD平面ABCD,所以ADPD,所以lPD,因为CDPD=D所以l平面PDC.如图,直升机上一点P在地面上的正射影是点A(即PA),从点P看地平面上一物体B(不同于A),直线PB垂直于飞机玻璃窗所在的平面.求证:平面必与平面相交.【证明】假设平面与平面平行. 因为PA平面,所以PA平面.因为PB平面,由线面垂直的性质定理,可得PAPB,与已知PAPB=P矛盾,所以平面必与平面相交.【补偿训练】 如图,AEC是半径为a的半圆,AC为直径,点E为弧AC的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足F
14、C平面BED,FB=a.(1)证明:EBFD;(2)求点B到平面FED的距离.【解析】(1)因为FC平面BED,BE平面BED,所以EBFC.又点E为弧AC的中点,B为直径AC的中点,所以EBBC.又因为FCBC=C,所以EB平面FBD.因为FD平面FBD,所以EBFD.(2)如图,在平面BEC内过C作CHED,连接FH.则由FC平面BED知,ED平面FCH.因为RtDHCRtDBE,所以=.在RtDBE中,DE=a,所以CH=a.因为FB=a,BC=a,所以FC=2a.在平面FCH内过C作CKFH,则CK平面FED,因为FH2=FC2+CH2=4a2+=a2,所以FH=a.所以CK=a.因为C是BD的中点,所以B到平面FED的距离为2CK=a.
