1、规范答题增分专项二高考中的三角函数与解三角形问题1.(2020全国,文18)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=150.(1)若a=3c,b=27,求ABC的面积;(2)若sin A+3sin C=22,求C.2.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+3cos A=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)设点D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.3.(2020全国,文17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos22+A+cos A=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:ABC是直角三角形.4.在ABC中,D是BC上的
2、点,AD平分BAC,ABD的面积是ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.5.(2020山东,17)在ac=3,csinA=3,c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=3sin B,C=6,?6.在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.7.(2020江苏,16)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=
3、3,c=2,B=45.(1)求sin C的值;(2)在边BC上取一点D,使得cosADC=-45,求tanDAC的值.8.在m=(a+b,c-a),n=(a-b,c),且mn,2a-c=2bcos C,sin(B+6)=cos B+12这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并给出解答.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求角B;(2)若b=4,求ABC周长的最大值.规范答题增分专项二高考中的三角函数与解三角形问题1.解(1)由题设及余弦定理,得28=3c2+c2-23c2cos150,解得c=-2(舍去)或c=2.从而a=23.ABC的面积为12232sin150=3.
4、(2)在ABC中,A=180-B-C=30-C,所以sinA+3sinC=sin(30-C)+3sinC=sin(30+C).故sin(30+C)=22.因为0C30,所以30+C=45,故C=15.2.解(1)由已知可得tanA=-3,所以A=23.在ABC中,由余弦定理,得28=4+c2-4ccos23,即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4.(2)由题设可得CAD=2,所以BAD=BAC-CAD=6.故ABD的面积与ACD的面积的比值为12ABADsin612ACAD=1.因为ABC的面积为1242sinBAC=23,所以ABD的面积为3.3.(1)解由已知得sin2A+c
5、osA=54,即cos2A-cosA+14=0.所以cosA-122=0,cosA=12.由于0A,故A=3.(2)证明由正弦定理及已知条件,得sinB-sinC=33sinA.由(1)知B+C=23,所以sinB-sin23-B=33sin3.即12sinB-32cosB=12,sinB-3=12.由于0B23,故B=2,从而ABC是直角三角形.4.解(1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理,得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为SABDSADC=BDDC,且DC=22,所以B
6、D=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.5.解方案一:选条件.由C=6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=32.由sinA=3sinB及正弦定理,得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.由ac=3,解得a=3,b=c=1.因此,选条件时,问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件.由C=6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=32.由sinA=3sinB及正弦定理,得a=3b.于
7、是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.所以B=C=6.由A+B+C=,得A=-6-6=23.由csinA=3,即csin23=3,所以c=b=23,a=6.因此,选条件时,问题中的三角形存在,此时c=23.方案三:选条件.由C=6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=32.由sinA=3sinB及正弦定理,得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.由c=3b,与b=c矛盾.因此,选条件时,问题中的三角形不存在.6.解(1)在ABD中,由正弦定理,得BDsinA=ABsinADB.由题意知5sin45=2sinADB,得sinADB=25.由题意知0ADB9
8、0,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理,得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25,即BC=5.7.解(1)在ABC中,因为a=3,c=2,B=45,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=9+2-232cos45=5,所以b=5.在ABC中,由正弦定理bsinB=csinC,得5sin45=2sinC,所以sinC=55.(2)在ADC中,因为cosADC=-45,所以ADC为钝角,而ADC+C+CAD=180,所以C为锐角.故cosC=1-sin2C=255,
9、则tanC=sinCcosC=12.因为cosADC=-45,所以sinADC=1-cos2ADC=35,tanADC=sinADCcosADC=-34.从而tanDAC=tan(180-ADC-C)=-tan(ADC+C)=-tanADC+tanC1-tanADCtanC=-34+121-3412=211.8.解选:(1)m=(a+b,c-a),n=(a-b,c),且mn,(a+b)(a-b)+c(c-a)=0.化简得a2+c2-b2=ac,由余弦定理,得cosB=a2+c2-b22ac=ac2ac=12,0B,B=3.(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得16=(a+c)2-
10、3ac.a+c2ac,ac(a+c)24,当且仅当a=c时,等号成立,3ac=(a+c)2-163(a+c)24,解得a+c8,当且仅当a=c=4时,等号成立,a+b+c8+4=12,ABC的周长的最大值为12.选:(1)根据正弦定理,由2a-c=2bcosC,得2sinA-sinC=2sinBcosC.sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,2sinCcosB=sinC.sinC0,cosB=12.B(0,),B=3.(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得16=(a+c)2-3ac.a+c2ac,ac(a+c)24,当且仅当a=c时,等号成立,3ac=(
11、a+c)2-163(a+c)24,解得a+c8,当且仅当a=c=4时,等号成立,a+b+c8+4=12,ABC的周长的最大值为12.选:(1)由sinB+6=cosB+12,得32sinB+12cosB=cosB+12,即32sinB-12cosB=12,得cos(B+3)=-12,B(0,),B+3=23,解得B=3.(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得16=(a+c)2-3ac.a+c2ac,ac(a+c)24,当且仅当a=c时,等号成立,3ac=(a+c)2-163(a+c)24,解得a+c8,当且仅当a=c=4时,等号成立,a+b+c8+4=12,ABC的周长的最大值为12.
