1、押第3题 计数原理从2021年新高考和往年高考来看，计数原理是高考的一个重点内容，主要考查二项展开式的通项、二项式系数、展开式的系数、排列和组合等知识.1熟记二项式定理：，是解决此类问题的关键.2求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围（）.（1）第项：此时k+1=m,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.3对于参数问题，通常是运用通项由题意列方程求出参数即可；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系
2、4二项式系数与项的系数的区别：二项式系数是指C，C，C，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关如(abx)n的展开式中，第r1项的二项式系数是C，而该项的系数是Canrbr.当然，某些特殊的二项展开式如(1x)n，各项的系数与二项式系数是相等的5在解决排列、组合的应用题时，一定要清楚是先排列再组合，还是先组合再排列.1（2020山东高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（）ABCD【答案】A【详解】第项的二项式系数为，故选：A.2（2020山东高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名
3、男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）A12B120C1440D17280【答案】C【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况.所以共有种不同安排方法.故选：C3（2015山东高考真题）的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（）A0BCD32【答案】D【详解】的二项展开式中所有项的二项式系数之和为故选：D4（2015山东高考真题）某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（）A10B20C60D100【答案
4、】A【详解】从5人当选取3人负责教室内的地面卫生，共有种安排方式（选取3人后剩下2名同窗干的活就定了）故选：A5（2021江苏高考真题）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点到终止节点的路径共有（ ）A14条B12条C9条D7条【答案】B【详解】由图可知，由有3条路径，由有2条路径，由有2条路径，根据分步乘法计算原理可得从共有条路径.故选：B6（2021江苏高考真题）已知的展开式中的系数为40，则等于（）A5B6C7D8【答案】A【详解】，所以.故选：A.1（2022山东烟台一模）“碳中和”是指企业、团体或个人等测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排
5、等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别到A，B，C三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为（）A90B150C180D300【答案】B【详解】根据题意有两种方式：第一种方式，有一个地方去3个专家，剩下的2个专家各去一个地方，共有种方法，第二种方式，有一个地方去1个专家，另二个地方各去2个专家，共有，所以分派方法的种数为，故选：B2（2022山东济南一中模拟预测）如图为一个直角三角形工业部件的示意图，现在AB边内侧钻5个孔，在BC边内侧钻4个孔，AB边内侧的5个孔和BC边内侧的4个孔可连
6、成20条线段，在这些线段的交点处各钻一个孔，则这个部件上最多可以钻的孔数为（）A190B199C69D60【答案】C【详解】在AB边内侧的5个孔和BC边内侧的4个孔中各取两个可构成四边形，当这些四边形对角线的交点不重合时，钻孔最多，所以最多可以钻的孔数为个故选：C3（2022山东菏泽一模）的展开式中的系数是12，则实数a的值为（）A4B5C6D7【答案】C【详解】利用二项式定理展开得则的系数为.故选：C.4（2022山东模拟预测）的展开式中的系数为（）ABC160D80【答案】D【详解】解：，展开式的通项为，令，得的展开式中的系数为，所以的展开式中的系数为.故选：D5（2022山东淄博一模）若
7、，则（）A-448B-112C112D448【答案】C【详解】，.故选：C.6（2022山东临沂一模）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为（）A720B1440C2280D4080【答案】C【详解】一共有7个数字，且其中有两个相同的数字1.这7个数字按题意随机排列，可以得到个不同的数字.当前两位数字为11或12时，得到的数字不大于3.14当
8、前两位数字为11或12时，共可以得到个不同的数字，则大于3.14的不同数字的个数为故选：C7（2022山东临沂一模）二项式的展开式中系数为无理数的项数为（）A2B3C4D5【答案】B【详解】展开式通项公式为，当时，是整数，时，是不是整数，系数是无理数，共有3项故选：B8（2022山东青岛二中高三开学考试）若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则（）A9B10C11D12【答案】B【详解】由题意，二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为，可得，解得.故选：B.9（2022山东潍坊高三期末）如图，某类共享单车密码锁的密码是由4位数字组成，所有密码中，恰有三个重复数字的密码个数为（）A
9、90B324C360D400【答案】C【详解】根据题意，四个位置上恰有三个重复数字，可分两步完成，第一步从10个数字中任选一个安排在三个位置上，共有种情况，第二步在剩下的9个数字中任选一个安排在剩下的那个位置上，有9种情况，故共有 种，即密码个数为360个，故选：C10（2022山东临沂高三期末）若的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（）A90B-90C180D-180【答案】C【详解】解：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则项数n=10，即，则通项为，令，则.故选：C.（限时：30分钟）1某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至
10、少派1名教师，则不同的分配方法有（）A80种B90种C120种D150种【答案】D【详解】先对5个人先进行两种情况的分组，一是分为1，1，3，有种，二是分为1，2，2，共有种，再分配，可得不同的分配方法有种.故选：D.2“双减”政策实施以来各地纷纷推行课后服务“”模式，即学校每周周一至周五这天要面向所有学生提供课后服务，每天个小时.某校计划按照“”模式开展“学业辅导”，“体育锻炼”，“实践能力培养”三类课后服务，并且每天只开设一类服务，每周每类服务的时长不低于小时，不高于小时，那么不同的安排方案的种数为（）ABCD【答案】C【详解】第一种情况是某类服务6个小时，其余两类服务各2个小时，先选一类
11、服务时长6小时，安排到3天里，其余2类安排到剩余2天里即可，共种；第二种情况是某类服务2个小时，其余两类服务各4个小时，先选出一类服务2个小时，剩余的2类分别安排2天，共种；综上不同的安排方案共有种.故选：C3的展开式中的系数是（）A10B20C30D40【答案】C【详解】由题意，多项式，要得到含有项，则，又由的展开式为，令，可得，即，所以多项式的展开式中的系数是.故选：C.4在的展开式中，常数项为（）ABCD【答案】D【详解】的展开式通项为，令，可得，因此，展开式中常数项为.故选：D.52022年北京冬奥会和冬残奥会给世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的设计好评不断，这是
12、一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合为了弘扬奥林匹克精神，某学校安排甲、乙等5名志愿者将吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装若甲、乙必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（）A8B10C12D14【答案】C【详解】甲和乙必须安装不同的吉祥物，则有种情况，剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有，然后分配到参与两个吉祥物的安装，有，则共有种，故选：6设，若，则实数的值为（）A2B0C1D【答案】A【详解】对等式两边求导可得：令，则有因为所以所以A7在的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为（）A299BC30
13、0D【答案】A【详解】令，得.所以的展开式中所有项的系数和为 .由可以看成是5个因式相乘.要得到项，则5个因式中有1个因式取，一个因式取，其余3个因式取1，然后相乘而得.所以的展开式中含的项为，所以的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为.故选：A8给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（）种不同的染色方案.A96B144C240D360【答案】A【详解】解：要完成给图中、六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法
14、，共种染法；第二类是用四种颜色染色，即，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法由分类加法原理得总的染色种数为种故选：A9十八世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸连接起来有人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完这七座桥，最后回到出发点这就是著名的哥尼斯堡七桥问题（下简称七桥问题），很多人尝试解决这个问题，但绞尽脑汁，就是无法找到答案直到1736年，29岁的欧拉以拉丁文正式发表了论文关于位置几何问题的解法，文中详细讨论了七桥问题并作了一些推广，
15、该论文被认为是图论、拓扑学和网络科学的发端图1是欧拉当年解决七桥问题的手绘图，图2是该问题相应的示意图，其中，四个点代表陆地，连接这些点的边就是桥欧拉将七桥问题转化成一个几何问题笔画问题一笔画问题中，要求不遗漏地依次走完每一条边，允许重复走过某些结点，可以不回到出发点，但不允许重复走过任何一条边在图3中，根据以上一笔画问题的规则，不同的走法总数为（）ABCD【答案】D【详解】图中，和是偶点，和是奇点，根据欧拉找到的“一笔画”规律：凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点）一定可以一笔画成.画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点.以为起点时，有、六种画法以为起点时，所有路线与以上情况相反即可，
16、也有六种，故共有种画法故选：D10己知的展开式的所有项系数之和为81，则展开式中含的项的系数为（）A56B60C68D72【答案】A【详解】因为的展开式的所有项系数之和为81，故令，则，解得，又对，其展开式中项是：由中的常数项与的项相乘得到，或由中的项与的项相乘得到，故的展开式中含的系数为.故选：A.112022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求在北京冬季奥运会的某个比赛日，某人欲在冰壶（）、冰球（）、花样滑冰（）、跳台滑雪（）、自由滑雪（）、雪车（）这6个项目随机
17、选择3个比赛项目现场观看（注：比赛项目后括号内为“”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数的均值为（）A1BC2D【答案】C【详解】所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数为，则的取值为1，2，3，则.故选：C.12习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计哈九中落实讲话内容，组织研究性学习在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A、C、D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（）A100B120C300D600【答案】A【详解】
18、先排B元素，有5种排法，然后排剩余5个元素共，由于A、C、D顺序确定，所以不同的排法共有.故选：A132022年北京冬奥会参加冰壶混双比赛的队伍共有支，冬奥会冰壶比赛的赛程安排如下，先进行循环赛，循环赛规则规定每支队伍都要和其余支队伍轮流交手一次，循环赛结束后按照比赛规则决出前名进行半决赛，胜者决冠军，负者争铜牌，则整个冰壶混双比赛的场数是（）ABCD【答案】B【详解】由已知可得循环赛的比赛场数为场，故总场数为场，故选：B.14“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书中出现.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第
19、n行中从左至右只有第12个数为该行中的最大值，则n=（）A21B22C23D24【答案】B【详解】由题意可知，第n行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数.因为只有第12项的二项式系数最大，所以n为偶数，故，解得，故选：B15“宫、商、角、徵、羽”起源于春秋时期，是中国古乐的五个基本音阶，亦称五音如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，要求宫、商两音阶相邻且宫音阶不在正中间，则可排成不同的音序共有（）A48种B36种C32种D24种【答案】B【详解】解：将宫、商两音阶看成一个整体，再与其他3个音阶全排列，有种排法，其宫音阶在正中间的排法有种，所以宫、商两音阶相邻且宫音阶不在正中间，则可排成不同的音序共有种的排法，故选：B
